CHAPITRE V

ll« 1« •ImlUtnde.

4#y— Les définitions de Yhomothilie et de la similitude pour les figures à trois dimensions sont les mêmes que pour les figures à deux dimensions (liy. lY^ chap. y). En Géométrie plane, si Ton fait abstraction de la position des systèmes, Thomothétie inverse ne donne pas d^autres figures que lliomothétie directe ; il n'en est plus de même pour les figures dans l'espace. Considérons un premier système de points A, B, C,..., et après avoir choisi arbitrairement un centre de similitude, construisons un système A^ B^^ C, . . . homothétique direct et un système A^, B% C,... homothétique inverse avec le même rapport de similitude k; ces deux systèmes sont symétriques Tun de Tautre par rapport au point 0. On les rend symétriques Tun de l'autre par rapport à un plan quelconque^ mené par le centre de èimilitude^ en faisant tourner Tun d'eux de i8o* autour d'une perpendiculaire menée par le point 0 à ce plan. Il résulte de là que les systèmes homothétîques inverses da système donné sont les symétriques des systèmes bomothétiques directs.

468 — On sait (n"" 377) qu'une droite a pour homothétique une droite parallèle. Considérons un plan P et^ dans ce plan, une série de droites passant par un même point H; chacune d'elles aura pour homothétique une droite parallèle passant par le point H' homothétique de M. On en conclut que la figure homothétique d'un plan est un plan parallèle.

Si le plan P passe au centre de similitude^ il est à lui-même son homothétique.

Puisque deux plans ont pour homothétîques deux plans parallèles, Vangle de deux plans est égal à Vangle des plans homothéliques.

Les sécantes, qui joignent deux points homologues de deux courbes homothétiques quelconques, étant constamment pa-

rallèles^ on en conclut que les tangentei aux points homologues sont parallèles.

Si l'on trace sur deux surfaces homothétiques deux séries de lignes homologues qui passent toutes par deux points homologues M et M^ les courbes homologues auront en H et M^ des tangentes parallèles; donc^ les plans tangents en deux points homologues de deux surfaces homothétiques sont parallèles.

4L99 — 5t, par deux points fixes, on mène des rayons parailèleSj et, dans un rapport constant k, on forme deux systèmes homothétiques; la démonstration est la même que celle du n** 378. II en résulte également que deux systèmes homothétiques à un troisième sont homothétiques entre eux; quand rbomothétie est de même sens et que les deux systèmes sont construits avec le même rapport de similitude^ on peut les superposer. Ainsi^ avec un seul centre de similitude, en faisant varier le rapport k de o à coy on obtient tous les systèmes homothétiques à un système donné. En particulier^ si le système donné est compris dans un plan^ les centres de similitude extérieurs au plan ne donnent pas d'autres systèmes que les centres compris dans le plan.

470 — Les six centres de similitude de quatre systèmes homothétiques deux à deux sont situés dans un même plan. Soient A, A^, A% A^'^ les quatre systèmes donnés; par les trois centres de similitude CK, 0", (^ des systèmes A et A', A et A", A et A^^^ faisons passer un plan P; ce plan^ passant par le point (y, est à lui-même son homologue dans les systèmes A et A^; il est aussi son homologue dans les systèmes A et A"; par conséquent^ le plan P est à lui-même son homologue dans les systèmes A^ et A''; donc^ il passe par leur centre de similitude. Le même raisonnement s'applique aux combinaisons A^ et A^^', A" et A^'^

Lorsque deux figures à centre sont homothétiques direcieSf elles sont aussi homothétiques inverses; et réciproquement. La démonstration est la même que celle du n"" 38o. Il résulte de là que si les quatre systèmes considérés dans le théorème précédent ont des centres^ on aura six points dans un même plan.,

418 UVRE V, CHAMTRE V.

en preMot^ soit les six centres de similitude directe « soit, d'une manière convenable^ trois centres de similitude directe et trois centresde similitude ioTerse.

4f fl— Le rapport des aires de deux polygones bomoibétiques étant égal à i*> on Toit que le rapport des aires de deux poilfédres homothétiquis, ety par suite, le rapport des aires de deux surfaces homothétiques quelconqueSf est égal à k*«

Lorsqu'on abaisse des perpendiculaires de deux sommets homologues de deux tétraèdres homothétiques sur les faces opposées, ces perpendiculaires sont deux droites homologues, elles ont pour rapport k; le rapport des bases étant A*, il en résulte que le rapport des volumes de deux tétraèdres homothétiques est égal à k'. Ce dernier théorème s'applique à deux polyèdres et même à deux solides quelconques homothétiques.

4X11 — Une figure est semblable à une figure donnée lorsque, par un déplacement convenable, elle peut coïncider avec l'une des figures directement homothétiques à la figure donnée. Il résulte du n* 469 que Ton obtiendra toutes les surfaces semblables à une surface donnée, en prenant arbitrairement un centre de similitude, et en construisant avec ce centre les diverses surfaces homothétiques qui correspondent aux valeurs de k comprises entre o et qo .

EsKxpLi I. La surface donnée est une sphère. Prenons le cenue de la sphère 0 pour centre de similitude; le rayov OA étant coBMant^ le rayon OA' sera également constant; une surface semblable à une sphère est une autre sphère qui peut avoir un rayon quelconque.

Exemple II. La surface donnée est un cône, t^renons le sommet pour centre de similitude, deux points homologues seront situés snr la même génératrice du cône. Ïm seule figure seUfiblable à «n cdne est ce cilfie lui'

ExfiiifU m. La surface est un cjUndre. Prettoms m» pwit arbUraîrc O pour centre de similitude^ et traçons sur le c;yliodre donné «ne cowrbe arbitraire Gy que nous prendrons pour directnoe du «sjpliMtK* A k comte C oorrespond une courbe bomoihétiqoe C\ et à toute génératrice du (ff^mier cylindre une droite parallèle passant par le point homologue du point où la courbe G est rencontrée par la première génératrice; ainsi, deux cylit^ •dres sont homothétiques lorsquUls ont pifitr directrices deux courbes hamôthé' iiques et leurs génératrices parajfèïes.

DE LA SIMILITUDE. - -~é<9

Considéfoiis àtux cylindres bomolhéliques, ayant le point 0 pour centre e simililode; si Ton mène par ce point une parallèle 00' aux génératrices es deux surfaces, tout point de ce^le droite est aussi un centre de similitude es deux surfaces. Il en résulte que les sections de deux cylindres Iiomoléiiques psr le méoM ^ii sont des courbes hoidoChéliqttè»,. ayant pour entre de similitude le point où le plan coupe la droite 00'. Comme les ectioDS d*un cylindre par des plans parallèles sont égales, les sections de eux cylindres honioihétiques par des plans parallèles sont homothétiques.

4LW 3 --Lei sections d'une surface du second degré par des tlans parallèle$ mni cfoi ceurbu homothétiques. L'équation générale des surfaces du second degré est

(I) A»*+AY-^A''«*-f-aB»J5-i-2B«a:-i-^B''j^ - -h2Cic-h2C'y-f-2C«-hFs=o;

)a oblicnt la projection sur le plan XOY de rintersection de :ette surface et du plan

(2) ax+by + cz = l,

m éliminant la variable z entre les équations (i) et (2). Or, dans réqualion ainsi obtenue, les coefficients des termes du second degré sont indépendants de I; on en conclut que^ lorsque l Tarie, a, h, e restant fixes, c'e^t-à-dire lorsque le plan se déplace parallèlement à lui-même, les projections sont homothétiques; les cylindres projetants, ayant pour direc* trices des courbes homothétiques, sont coupés par deux plans parallèles suivant des courbes homothétiques. Quand ceé courbes sont des hyperboles, Tune peut être homotbétique k la conjuguée de Tautre (n** 386).