CENTRE

47S— Un point I est le centre d'une surface^ lorsque les points de la surface sont placés symétriquement^ deux à deux^ par rapport à ce point. Comme une ligne droite ne rencontre une surface du second degré qu'en deux points^ il faut^ pour qu'un point I soit le centre de la surface^ que toutes les cordes menées par ce point y soient divisées en deux parties égales.

Lorsque l'origine des coordonnées est centre d'une surface du second degré^ l'équation de la surface ne contient pas de termes du premier degré. En effet, les équations d'une droite

laeaée par rorigine sont de la forme

(2) œ = mz, y = nz.

Les coordonnées z des points de rencontre de la surface et de la droite sont données par Inéquation

(3) (Am' + A^n*-f-A"-f-2BfH-2B'm-h2B''mn)«*

-h2(Cm-hC'n-|-C")s + F = o,

que Ton obtient en éliminant j; et y entre les équations (i) et (2). Si rorigine est centre^ Téquation (3) a ses racines égales et de signes contraires^ ce qui exige que le coefficient Cm + C^n + C' soit nul; et comme ceci doit avoir lieu pour une. infinité de valeurs de m et de n prises arbitrairement, il faut que Ton ait séparément

La réciproque est vraie.

4I70— D'après cela, pour déternriner le centre d'une surface du second degré, on transporte Torigine en un point I de l'espace, dont nous désignerons les coordonnées par a, 6, e, et Ton cherche s'il est possible de choisir ces valeurs de manière que la nouvelle équation ne contienne pas de termes du pre-< mier degré par rapport aux coordonnées nouvelles.

Loràqu^on déplace les axes parallèlement à eux-mêmes, les formules de transformation sont x = a-hx\ y^b-^j/, z = c + z^; substituons dans Péquation (i) et effaçons les accents, nous aurons

(4) Aaî»-hA'y*-l-AV-|-2Bya + 2B'za?-f-2B"a?y ^xîi[a, 6, c) 4-y/î(a, 6, c)-Jrzfc(a, ft, c)-\'f{a, 6, c) = o.

Les coordonnées du centre sont donc déterminées par les équations

/ï;(a,6,c)==o, fl(ayb,c) = o, /^(a, 6, c) = o;

si Ton divise par 2 et si Ton remplace les lettres à, b, c par x, y, z, ces équations deviennent

Aa?-4-B"y-hB'« + C =0,

(5) { B"a?-f-A^y-+-Bz-HC'=o,

B'x-hB y-^M'z-hC^o.

m Livra; viy CHAPitftE i.

Ainsi, on obtient les coardonni^ du centre en igalanê à uro les dérivées partielles du premier membre de Féquation de la SkUrf ace frises par rapport aux variables x, y^ z.

477— Si Ton regarde x^ y, z comme étant les coordonnées d'un point variable^ chacune des équations (5) définit un ptan; le centre de la surface est le point commun aux trois plans. Plusieurs cas peuvent se présenter.

' i^ Les trois plans se coupent en un point unique; la surface admet alors un centre unique.

2* Les trois plans se coupent deux à deux suivant des droites parallèles, ou d'eux d'entre eux au moins sont parallèles; dans et cas^ les trois plans n'ont pas de point commun, et la surface n'a pas de centre.

3^ Les trois plans se coupent suivant la même droite ou se confondent en un seul; tous les points de la droite ou du plan soat centres de la surface.

La résolution des équations (5) donne pour valem* du dénominateur commun D,

(6) D = AA'A'--AB*— A'B'»— A'B''«4-aBB'B".

Lorsque D n'est pas nul, les équations sont vérifiées par un système de valeurs finies et par un seul; la surface adniet un centre unique. Lorsque D est nul, il y a impossibilité ou indétermination, et, par conséquent, la surface est dépourvue de (Centre, ou elle en admet une infinité.

478— Supposons que tous les points de la droite CC' fig. 270) soient des centres. Si l'on joint un point M de la surface à un point quelconque I de la droite CC% et que l'on prolonge d'une longueur IN égale à MI, le point N appartient a la surface; en Joignant ainsi le point H à tous les points de CC^ on obtient une droite NN' parallèle à Œ. Si l'on joint maintenant le point N à tous les points Fig. >7o. jg QQ/^ QQ forme de même une seconde

droite HM' parallèle à NN'. La surface se compose donc de droites parallèles à CC et situées dçux à deux dans un même

cëntke et plans diaiiétraux. 4ia

plan a^ec eelte droite et à égale distance de part et d'autre ; c^'est un cyiîDdre qui a pour aie CC^ et^ eemme la trace du c^y lindre sur un plan non parallèle aux arêtes est une courbe du second degrés ce cylindre est un cylindre elliptique ou hyperbolique.

Le raisonnement précédent démontre que^ dans le cas que nous considérons^ TéquaUon (i) ne peut pas représenter d'autres surfaces courbes que des cylindres elliptiques ou hyperboliques; mais il peut airiver que celte équation repré* sente une seule droite ou deux plans^ et enûn qu'elle n'ait pas de 8Qluti<ms réelles,

Oa démontre de la même manière que, lorsque tous les points d'un plan sont des centres, Téquation (i) représente, ou deux' plans parallèles, ou un plan unique, ou qu'elle n'admet pas de solutions réelles.

479 — Lorsque la surface admet un centre I ayant pour coordonnées a, 6, c, si Ton transporte les axes parallèlement à eux-mêmes en ce point, Téquation (i) se réduit à

(7) Aa;«-hA'y*-hAV-f-2By«-+-2B'zj5-|-2B''icy-hFj==o, en posant

F, = Ao* -f- A' 6" -H A^' c« -f- 2B6C 4- 2B' ca 4- 2B" a6