Ca ■+■ 2Gb 4- 2C''(J 4- F

LfCs nombres a, 5, c vérifient les relations (5), c'est-à-dire que

Ton a

A a + B^'b + W c-hC =0,

Si l'on multiplie les deux membres de chacune de ces égalités respectivement par a, 6, c, et que Ton ajoute, il vient Aa«4-A'6«-fA"c'-f-2B6c4-2B'ca4-2B''a6-hCa+C'6-hC''c=o. La valeur de F^ se réduit donc à

f.r^r + Ca-hC^b'hCc;

on l'obtient en ajoutant à Vancien terme constant la moitié des valeurs que prennent les termes du premier degré lorsqu'on y remplace x, y, z par les coordonnées du centre.

Lorsque la nouvelle constante F^ est égale à zéro^ Téquatioa (7)^ étant homogène par rapport à x, y, Zy représente un cône ayant pour sommet Torigine (n^ 254); cependant, le lieu peut se réduire à deux plans, à une droite, ou à un point.'

480 — Nous avons vu que les tangentes aux diverses courbes tracées par un même point sur une surface sont situées dans un même plan; il n'y a d'exception que lorsque les coordonnées du point annulent à la fois les trois dérivées partielles du premier membre de Téquation par rapport à x,y,z. Dans le cas des surfaces du second degré, un pareil point est centre de la surface; ce point étant aussi situé sur la surface, quand on y transporte Torigine des coordonnées, la constante F^ est nulle; ainsi, pour les surfaces du second degré, Texception n'a lieu que dans le cas du cône,^quand le point est le sommet.

PLANS DIAMÉTRAUX.

481 — Une ligne droite ne perce une surface du second degré qu'en deux points; la surface, qui divise en deux parties égales les cordes parallèles à une même direction, a été appelée surface diamétrale.

Soient m et n les paramètres constants qui définissent la direction des cordes; transportons les axes parallèlement à eux-mêmes en un point quelconque de Fespace, ayant pour coordonnées a, 6, c, l'équation (i) prend la forme (4). Une droite, menée par la nouvelle origine dans la direction donnée est représentée par les équations a? = mj5, y=nz. On obtient l'équation qui donne les coordonnées z des points de rencontre de la droite et de la surface, en remplaçant dans Féquation (4) a? par ms, y par nz; on a ainsi

(8) (Am*H-A'n«+A''-f-2Bn-f-2B'm-f-2B*mn)js*

(w/'i-hn/i-hfc)i5-f-f(o, 6, c)=o.

Pour que le point (a, 6, c) soit le milieu de la corde menée par ce point dans la direction donnée, il faut que l'équation précédente ait ses deux racines égales et de signes contraires,

ce qui exige que les coordonnées a^ b, e Tériflent la relation

Celte équation^ étant yérifiée par les coordonnées du point milieu de Tune quelconque des cordes de la série considérée^ représente le lieu cherché. Remplaçons a, b, c par x, y, z; cette équation s'écrit

comme elle est du premier degrés elle représente un plan. Ainsi^ dans les surfaces du second degré, quelle que soit la dtrection des cordes, la surface diamétrale est un plan. 489 — Si les paramètres m et n satisfont à la relation

Am*-h- A'n«-4- A'^-H 2Bn+ aB'm 4- aB'^mn = o,

l'équation (8) s'abaisse au premier degré, c'est-à-dire que les droites parallèles à la direction donnée ne percent la surface qu'en un point. Dans ce cas^ le plan représenté par Téquation (g) est le lieu des points tels que les droites menées par chacun d'eux parallèlement à la direction donnée ne rencontrent pas la surface^ ou sont situées entièrement sur la surface.

L'équation (9) est vérifiée^ quelles que soient m et n, par les valeurs de x, y, z qui satisfont à la fois aux trois équations qui déterminent le centre.

il en résulte que tous les plans diamétraux passent par le centre de la surface, quand il en a un^ ou par le lieu des centres, s'il y en a une inflnité.

4S3 — Lorsque la surface est dépourvue de centre^ les trois plans définis par les équations (5) sont parallèles, ou la droite d'intersection de deux d'entre eux est parallèle au troisième. Dans le premier cas, on a

^y ^y Pf 9 désignant des constantes; l'équation (9) se réduit à

(am4-Pn-4-i)/i+wp-l-nq = o; elle représente, pour toutes les valeurs de m et do n, des plans

4i6 LIVKË VI, CHAPITRE I.

parallèles entre eux. Dan» le second cas^^ si )e$ {dan» défims par les deux équations /i=o> fy=o se coupent suivant une droite parallèle au plan f, = Oy Téquation générale des plans qui passent par la droite d'intersection des deux premiers étant o^fi+Pfy=o, on a

a, ^, r étant des constantes; et, par suite, l'équation (9) prend

la forme

{m -f- a)fi-F (n 4- P) /iJH- r = o;

elle représente des plans parallèles à la droite d'intersection des deux plans

fl=o, /;=o.

Ainsi les surfaces dépourvues de centre ont leurs plans diamétraux parallèles à une même droite ou parallèles entre eux.

4S4 — Considérons une direction à laquelle corresponde un plan diamétral ; si Ton prend pour axe des z une des cordes^ pour axe des x et des y deux droites situées dans le plan dia«métral^ Féquation de la surface devra être vérifiée par deux valeurs de z égales et de signes contraires, pour chaque système de valeurs attribuées arbitrairement aux variables x et y; elle aura donc la forme

f^[Xy y) désignant une fonction qui ne renferme plus que les variables j; et y et dont le degré ne surpasse pas 2. Déplaçons les axes des x et des y dans le plan XOY en conservant à Taie des z sa direction; ce changement de coordonnées s'effectue par les formules de la Géométrie plane. Lorsque la fonction f\ (^9 y) est ^^ second degré, nous avons vu (liv. III^ chap. iij^ que l'on peut d'une infinité de manières choisir les nouveaux axes OX^ OY; de telle sorte que cette fonction se réduise à Tune des formes

et alors l'équation de la surface sera elle-même ramenée à

(I) Mx»+Nff*-f-Ps«-hF4=o, ,.^.

(H) Ny'-f-P^j'H-Qxrrio, (III) Ny«-4-Ps«+F,=o.

Si la fonction Fj est da premier degrés on la ramène par le mêitie changeoieiit à la forme Qx, et Téquation de la turteee

devient

(IV) P5*-f-Qa: = o.

Enfln, si F^ ne contient pas les variables x et y, réquation de

la surface est

(V) Pj5*-hF, = o,

4Sft— Dans ce qui précède^ les lettres H^ N, P, Q désignent des constantes différentes de zéro et F^ une constante qui peut être PuUe, L'équation (III), si elle a des solutions réelles^ représente un cylindre elliptique ou hyperbolique, une droite^ ou deux plans qui se coupent. L'équation (IV) représente un cylindre parabolique. Si l'équation (V) a des solutions réelles^ elle représente deux plans parallèles^ ou un plan unique. Ainsi, quand on fait abstraction des cylindres^ on \oit que Téquation du second degré peut^ d'une infinité de manières^ être ramenée à Tune des formes (I) et (11).

Considérons l'équation (I) ; en égalant à zéro les dérivées partielles de son premier membre^ on obtient trois équations qui ont une solution unique; la surface admet donc un centrô unique^ l'origine des coordonnées. Chacun des plans des coordonnées est le plan diamétral des cordes parallèles à l'intersection des deux autres ; à cause de cette propriété, on les nomme plans diamétraux conjugués.

L^équation (II) représente dessurfaces dépourvues de centre, puisque l'équation fi=o se réduit à (} = o. Le plan XOZ partage en deux parties égales les cordes parallèles à OY et le plan XOY les cordes parallèles à OZ; les lignes parallèles i OX ne percent la surface qu'en un point, et il n'y a pas de plaii^ diamétral correspondant,

DIAMÈTRES

489— Nous avons vu que les sections faites par des plans

parallèles dans une surface du second ordre sont des courbes bomothétiques (n**473); quand ces courbes sont des courbes à centre, le lieu des centres s'appelle diamètre. Le plan sécant est représenté par une équation

(lo) 00? -j- 6y -h CJ5 5= I

dans laquelle a, 6, e sont des constantes, et l un paramètre variable; si, dans Téquation de la surface f{x, y, js) = o, on remplace z par sa valeur

(il) z = ^

tirée de Téqualion du plan^ on obtient l'équation de la projection de la courbe d'intersection sur le plan àesxy; pour avoir le centre de la courbe projection, il faudra égaler à zéro^ les déri^ vées relatives à a; et à j^. Hais on peut obtenir ces dérivées sans faire la substitution; il suffit d'appliquer à la fonction f(x, y, z) le théorème des fonctions composées en regardant z comme une fonction des deux variables xely donnée par la formule (i i) ; on a ainsi les deux équations

Quand on projette une courbe sur un plan, il est évident que le centre de la courbe proposée se projette au centre de la courbe projection; les équations (12), jointes à Féquation du plan, détermineront donc le centre de la courbe d'intersection. Comme les équations (12) ne contiennent pas le paramètre variable 2, elles représentent le lieu des centres; ainsi le diamètre est la droite représentée par les équations