PLANS PRINCIPAUX
487— Parmi les plans diamétraux d'une surface du second degré, on distingue en particulier ceux qui sont perpendiculaires aux cordes qu'ils divisent en deux parties égales; ce sont des plans de symétrie de la figure ; on les nomme plans pnncifaux. Dans ce qui précède, les axes de coordonnées étaient
[iielconquès; dans la recherche des plans principaux^ nous apposerons les axes rectangulaires. Si Ton désigne par ol, ^y y les cosinus des angles que fait arec les axes une direcion donnée^ les équations d'une corde peuvent se mettre sous la forme
0^9 b, c étant les coordonnées d'un point particulier I de cette corde, et x, y, z celles d'un point quelconque de cette même corde. La lettre p désigne la distance du premier point au second^ affectée du signe + ou du signe — , suivant qu'elle est comptée dans la direction donnée ou dans la direction opposée.
On obtient l'équation qui donne les distances du point I aux points de rencontre de la corde et de la surface en remplaçant dans réquation (4) les lettres x, y, z par ap, Pp, yp, ce qui
donne
(i5) Sp*-HTp-hR = o,
en posant^ pour abréger^
S = Aa»-f-A'P*-+-AY-H2BPy-h2B'Y«-+-28"'=^P^ T = a^:(a, 6,c)-hP/;(a, 6, c)-Hy/:(«, b,c),
Si Ton suppose le point I fixe et que l'on fasse varier les angles a, p, y, on peut regarder l'équation (i5) comme représentant la surface en coordonnées polaires. Le coefflcient S de p* ne dépend que de la direction du rayon vecteur, le terme constant R ne dépend que de la position du point 1^ tandis que le coefficient T varie à la fois avec la direction du rayon vecteur et la position du point I.
4SS— L'équation du plan diamétral des cordes parallèles a la direction (a, p, y) prend la forme
c'est-à-dire
(17) (Aa4-B''P-hB^y)a;-h(B/'a-|-A^p-4-By)î/ (B'a-}-BP4-A''y)2-hCa-hC'P-hC^y=5 0.^
Soient X, (a, v les cosinus des angles que fatt a?ec k» aiaè des coordonnées la normale à ce plan diamétral, 6 Faogle de la normale avec la direction des cordes, on a
a> -f- Ph^ + Y^ " C086
~a(Aa-hB"p-4-B'y) + P(B"a-4-...) + ..."^ S, *
Pour que le plan diamétral soit un plan principal, il faut que la normale au plan coïncide avec la direction des cordes; on doit donc aToir les relations
l«*dM*Ma^Ml»
Aa-hB"P-+-B'Y B"a + A'P + By""B'a + BP4-A''y""S^
alors réquation du pian principal devient
(19) S(aa?-hPy-l-yx)4-Ca-f-C'p + C"Y = o.
4S9 — Les équations (18) donnent les suivantes
(20) BV + (A' — S)p + By = o,
( B'a + Bp-hCA"— S)y=o;
en y joignant la relation
(21) a*+P*-hy*=i,
OB a à résoudre un système de quatre équations à quatre inconnues*
Les trois inconnues ol, p, y ne pouvant être nulles ea même temps, puisque la somme de leurs carrés doit être égale à l'unité. Tune au moins, par exemple y, est différente de zéro. Pour résoudre ce système d'équatiiws, on imaginera les premiers membres des trois équations (20) divisés par y, on tirera
a fl des deux premières les valeurs des rapports -» -; substituant
T T dans la troisième, on aura une équation ne renfermant plus
que Tauxiliaire S; la quantité S connue, comme on a déjà les
valeurs des rapports. -t ~» on obtiendra les cosinus au moyen de réquation <âi),
CENTRE «t PLANS DIAMÉTRAUX. 431
Au lieu de diviser par y, supposons qu'on tire des deux premières des équations (20) les valeurs de a et Ç^, et qu'on substitue dans la troisième, on arrivera à une équation de la forme D,Y=o ; puisque y est différent de zéro, on posera D|=o; c'est l'équation en S. Mais il est évident que le polynôme D^ n'est autre chose que le dénominateur commun des formules de résolution du système (20) considéré comme un système à trois inconnues c, f^, y. On observe aussi que Ton peut former ce polynôme en remplaçant dans le polynôme que nous avons appelé D (n« 477) les lettre A, A', A'' par A — S, A'— S, A'^— S. L'équation qui donne l'inconnue S est donc
(na) {A — S)(A' — S^A^'-^S) — (A--S)B« — (A'--8)B^»
- (A'^ — S) B"«H. îxBB'B'^ = o;
quand on développe le polynôme par rapport aux puissances de Sy on voit que le terme indépendant de S est la quantité D elle-même,
41IO— Lorsque les trois coefficients B, B'; B^' sont différents de zéro, on arrive à une forme d'équation plus commode à discater, en faisant réiimination d'une autre manière : multiplions les équations (20) respectivement par B, B'^ Bf^ et retranchons les résultats deux à deux, il vient
(23)[(S— A)B+B'B^a=[(S-AOB'+B''B]P=[(S-A")B''+BB']y,
ou
(S — A) B -h B'B" (S — AO B' -h B"B (S — A") B^-h BB'
Si Ton substitue dans l'une des mêmes équations, la première, par exemple, à la place de a, ^, y les quantités proportionnelles^ on trouve
