S— A)B H- B'B' ^ <S— A')B'H-B''B ^ (S— A")B''H-BB

W B'B By

(S— A)B4-B'B' "^ (S— AOB'-I-B'B "^ (S— A'')B"-hBfl' '~°'

43t LIVRE VI, CHAPITRE I.

ou encore

en désignant par a, b, c les quantités

. B'B^ ., B^B ., BB^ A g-» A— -gp» ^""B"'

DISCUSSION DE l'ÉQUATION DU TROISIÈME DEGBÉ.

401 — Considérons d'abord le cas le plus général^ celui où aucun des coefficients B, B^ B'' n'est nul. Prenons Téquation en S sous la forme (24) .

L— Supposons que les trois quantités a, 6, e soient diflërentes et rangées par ordre de grandeur croissante. Substituons successivement à la place de S, dans le premier membre de réquation (24), les quantités a die, bàzz!, c± ^, (e, e', e^ désignant de très-petites quantités positives. Par la première substitution, le premier terme de l'équation prend la valeur

±— * très-grande numériquement, tandis que les autres

termes conservent des valeurs finies; ce'premier terme demie donc son signe au polynôme. De même, par la seconde substitution, le second terme prend la valeur très-grande ^gTn?'

tandis que les autres termes conservent des valeurs finies; ce second terme donne donc son signe au polynôme. De même,

par là troisième substitution, le troisième terme dz-^^-n donne

son signe au polynôme.

Quand S varie de a -f- e à 5 — e', le premier membre reste fini et varie d'une manière continue ; puisque ces deux nombres donnent des résultats de signes contraires, ils comprennent entre eux une racine réelle de l'équation; ainsi il y aune racine réelle de l'équation comprise entre a et 6. On reconnaît de la même manière qu'il y en a une seconde entre h et c. Il y en a une troisième plus grande que c ou plus petite que a, suivant que BB'B^^ est positif ou négatif; en effet, quand on donne à S une valeur très-grande numériquement, le premier

lembre de Téquation (24) se réduit à — p p'/, donc si la

aantitéBB^B^' est positive, le premier membre change de gne quand S varie de c-f-e'' à 4-», et, par suite, il y a ne racine réelle plus grande que c; lorsque la quantité B'B^^ est négative, le premier membre change de signe iiand S varie de — 00 à a — s; dans ce cas, la troisième acine est plus petite que a.

Ainsi, dans le cas que nous considérons, les trois racines de équation sont réelles et inégales. A chacune de ces racines :orrespond une direction des cordes unique et déterminée; ;ar, si dans les relations (28) on remplace S par Tune des ra*» :ines, les trois parenthèses étant différentes de zéro, on obtient K>ur les trois cosinus des valeurs finies et déterminées.

IL — Supposons que deux des trois quantités a, b, Cy par exemple a et 6, soient égales. Les trois racines sont encore réelles et inégales; mais Tune déciles est égale à a. En effet, l'équation (24), mise sous forme entière^ devient

(25) B'*B''* (S — 6) (S — c) -f- B''«B« (S — c) (S — a) 4-B»B'*(S-a)(S — 6) — BB'B''(S — a)(S — 6)(S — c)=:o.

Quand a = b, le premier membre est divisible par S — a, et Ton a réquation du second degré

B/'«(B*-+-B'«)(S— c)+B«B'«(S— a)^BB^B"(S — a)(S— c) = o.

Le premier membre prenant des valeurs de signes contraires, quand on attribue à S les valeurs a et c, cette équation a ses deux racines réelles et Tune est comprise entre a et c.

Si dans les relations (23) on remplace S successivement par chacune des racines de Téquation du second degré, aucune des trois parenthèses ne s^annuUe, et chaque racine donne une direction unique et déterminée. Pour la première racine a, les deux premières parenthèses sont nulles, sans que la dernière le soit; il en résulte y = o. Pour vérifier les équations (20), il faut prendre en outre B'a-hBP = 0, ce qui détermine encore une direction unique parallèle au plan des xy.

IIF.^Enfin, si les trois quantités a, 6, c sont égales^ deux

43 i LIVRE VI, CHAWTRE I.

racines de Téquation (25) deyiennent égales ka, et la troisième est donnée par l'équation du premier degré

A cette racine simple correspond une direction unique. Pcror la racine double, les trois équations (20) se réduisent à une seule B^B^'a + B'^Bp + BB^Y^o, et îl y a indétermination; toutes les directions parallèles au plan B'B".r-hB''flîf-f-BB'z=o conviennent à cette racine double.

493 — Considérons maintenant le casoù les trois coefficients B, B\ B^' ne sont pas différents de zéro,

I. — Un seul coefficient est nul, par exemple B'^ L'équation du troisième degré (22) devient

(S-A)(8 — AO{S — A'O — (S — A)B*— (S — A')B'* = c.

Soit A< A'; les substitutions de —00 , A, A^ -h« dans le premier membre donnent des résultats affectés respectivement des signes — , -f-, — , -f-; donc Téquation a ses trois racines réelles et inégales. Les équations (20) donnent pour chacune d'elles une direction délerminéc; car des deux premières on déduit

des Valeurs finies pour les rapports -> -•

II. — ^Deux coefficients sont nuls, par exemple B' et B". L'équation du troisième degré (22} se réduit â

(S - A) [(S — AO (S — A") -B*] = o;

elle admet la racine A et deux racines réelles et inégales données par une équation du second degré. Si la quantité (A — A!) (A — A") — B* est différente de zéro, aucune des deux racines de Téquation du second degré n'est égale à Â, et^ par conséquent, les trois racines sont inégales; pour S =5 A les équations (20) se réduisent à

(A^— A)p-f-BY=ao, BpH-(A''--A)y = o,

et ne peuvent être vérifiées que par les valeurs P = o, y =0, d'où a = i, ce qui donne une direction bien déterminée. Pour chacune des deux autres racines, ces équations se rédui*

seotà a=i=o, (A' — S)P-hBY = o, ce qui donne eDCore Une direction bien déterminée.

Si Ton a (A — AO(A — A'O — B*=o, Fane de« rsMSinéi àd réquation du second degré étant égale à A^ Téquation admet la racine double A et une racine simple. A la racine simple correspond une direction déterminée; pour la racine double À, les équations (20) se réduisent à une seule

(A'— A)P4-By=o, ce qui donne touics les directions parallèles au plan

(A' — A)y-hBjs = o.

III.— Lorsque les trois coefficients B, B'^ B'^ sont nuls à la fois, réquation en S se réduit à

(S — A)(S — A'XS — A'0=o,

et admet pour racines A, A', A'^ Quand ces trois racines sont inégales, les équations (20) montrent qu'à ces racines correspondent des directions respectivement parallèles à chacun des trois axes coordonnés. Si A = A', à cette racine double coi*respondent toutes les directions parallèles au plan des œy. Enfin, si A = A' = A^^, à cette racine triple correspondent toutes les directions de l'espace; il y a ici indétermination absolue; car les équations (20] deviennent alors des identités.

Ainsi, en résume, Véqualion du troisième degré en S a toujours ses trois racines réelles. A une racine simple correspond une direction déterminée: à une racine double toutes les directions parallèles à un plan; à une racine triple toutes celtes de l'espace.

49a— Soient (a, p, y), (a', p^, f) les cosinus des angles que font avec les axes des coordonnées les directions qui correspondent à deux racines différentes S et S^ On a, en vertu des équations (20)>

Aa+B"P-i-B^y = S3f, ( Aa' -f-B^P'-t-BY — S^o'. BV + A'p + By =Sp, BV-HA'P'H-By' =S'P<,

ir«-f-Bp +A''y=Sy^ \Woi/ + B^ +AY=Sy-

à eux-mêmes au cantre de la surface; Téquation générale du second degré

(i) jLx^-hAfy*'hAf^z^'h2Byz-h2WzX'\-2B^'xy

devient

(2) Ax*4- A'y*-i- A"j5'-H 28^2 -H 28^ zx + 2B''a?y -4- F^ = o;

les coefficients des termes du second degré ne changent pas^ et nous avons appris à calculer la constante F^ (n' 479)-

Supposonsd'abord les trois racines de Téquation du troisième degré en S différentes et désignons-les par S^ S^ S''; soient, de plus, (a, p, y), (a', p', yO> {^'\ P". Y*^ ^^^ cosinus des angles que font avec les axes les directions qui correspondent à ces trois racines. Si Ton change les axes des coordonnées en prenant ces trois directions pour celles des nouveaux axes^ les formules de transformation sont

y = pa/^-PY-f-pV,

et l'équation de la surface aura la forme

puisqu'elle ne doit plus contenir les produits des variables. Hais on a

M = Aa« + A' p*+ A^' Y* ■+- 2BPy -h 2» ya 4- 2B^'ap,

c'est-*à-dire H=S (a^^). Par la mêm« raison^ on a N^S' et P = S^^ Ainsi^ dans ce cas, Téquation réduite est

49T — ^11 est facile de vérifier que les coefficients des rec* tangles des variables dans la nouvelle équation sont nuls. Prenons, par exemple^ le coefficient 26^ du terme en j^js', on a

B, = Aa^a''-f-A'P'P''+A'Yf' + B(PY'+yP'0 -h W (fa'' -f- a' y'O 4- B" {ol^^^ -h ^a/^).

RÉUUCTION DE L'^iOUATlON UU SJiXONO DEGRÉ àd9

Si Ton multiplie les deqx membres da chacune des relations

B''a' + A'p'H-B Y = ^P^ respectivement par a'', P'^j y" et que Ton ajoute^ il vient

Les deux directions (a', fi', y), (a'', P'', yo étant rectangulaires, on en conclut que Bi = o. On verrait de même que B^, = B'; = o.

4198 — Lorsque 4w% racines de l'équation du troisième degré sont égales^ à la racine simple correspond un plan prin* cipal déterqiiné, et à la racine double une infinité (Je directions de corder pjStrallèles à ce pl^n; si l'on prend pour nouveaux axes deux droites rectangulaires situées dans ce plan et la perpendiculaire au plan, la méthode précédente est applicable^ et Ton obtient l'équation

S (a/* -f- y'») -+- S" 5'» -+- Fi = G,

qui représente une surface de révolution autour de l'axe OZ^ Enfin, si les trois racines sont égales, en prenant trois nouveaux axes rectangulaires quelconques, l'équation est toujours S(j;'*+î/''-h2'")-f-Fj=o; elle ne peut représenter qu'une sphère.