CHAPITRE V

Des jpMNiboloIdes.

Les surfaces du second degré dépourvues de centre sont représentées par réquation

(ï) S'y»-+-SV-hPj?=:o.

Cette seconde classe se sobdivise en deux genres^ suivant que les coefficients S^^ S'' ont le même signe ou des signes contraires.

PARA]K>L0ÏDE ELLIPTIQUE.

54* — Considérons le cas où les deux racines S^ et S" ont le même signe, par exemple le signe -h. On peut supposer P

DES PARABOLOIDES.

négatif > et si Ton pose

réquation devient

La surface passe à Torigine; les sections faites par les plans

principaux YOX, ZOX sont deux paraboles P et Q, qui ont pour axe commun la droite OX (ûg. 290).

Coupons la surface par des plans perpendiculaires à la droite OX. Pour a:=o, la section se réduit au point 0; en attribuant à x des valeurs positives de plus en Fïg- sdo. plus grandes^ on obtient des

ellipses homotbétiques qui ont leur centre sur la droite OX et qui augmentent indéfiniment. Les plans situés à gauche du plan YOZ ne coupent pas la surface. Ainsi, la surface se com^ pose d'une nappe indéfinie située tout entière à droite du plan YOZ; on lui a donné le nom de parabolotde elliptique. La droite OX est un axe de la surface; le point 0 en est le sommets Les sections par des plans parallèles au plan principal XOY sont des paraboles égales à la parabole P, ayant leurs sommets sur la parabole Q et leurs axes parallèles à OX. Il en résulte que Fon peut regarder la surface comme engendrée par la parabole P qui se meut parallèlement à elle-même^ son sommet décrivant la parabole Q. De même, les sections par des plans parallèles au plan principal XOZ sont des paraboles égales à la parabole Q, et Ton peut regarder la surface comme engendrée par la parabole Q se mouvant parallèlement à ellemême, son sommet décrivant la parabole P, 54S — ^Les sections de la surface des plans

AX'-\-By-hCz = l, non parallèles à Taxe sont des ellipses, dont les projections sur

le plan YOZ ont pour équations

On voit que ces projections sont des ellipses homothétiques entre elles, quelle que soit la direction du plan sécant.

Lorsque le plan sécant By + Cz = l est parallèle à Taxe du paraboloïde^ la section, dont la projection sur le plan XOY a pour équation

^t une parabole dont Taxe est parallèle à Taxe du paraboloïde. Le paramètre de cette parabole étant indépendant de l, il en ré9ulte que des plans parallèles entre eux et parallèles à Taxe coupent la surface suivant des paraboles égales.

S44 — Considérons en particulier le cas où p = q; Téquation de la surface devient y*+z*==2pa?; les sections par les plans perpendiculaire^ à Taxe OX sont des cercles; ^inai, la surface est de révolution ; elle est engendrée par la parabole P tournant autour de son axe OX. Les sections par des plans non paraU^es à Taxe sont des ellipses qui se projettent sur le plan YOZ suivant des cercles. Les sections par des plans parallèlei à l'axe «ont de3 paraboles égales.