PLANS DIAMÉTRAUX ET DIAMÈTRES
ft4JI,'^LQ plan diamétral conjugué de la droite
a pour équation
,3) Êif+P=:«;
c^est un plan parallèle à Taxe. Ce plan coupe la surface suivant une parabole; cette parabole est la courbe de contact du paraboloïde et d'un cylindre circonscrit ayant ses génératrices pa rallèles à la direction des cordes. Réciproquement, tout plan parallèle à Taxe est un plan diamétral. Lorsque les droites sont parallèles à raxe> chacune d'elles ne
nés PAftABOLOIDES. 4Te
rencontre la dtirhe^ qa'en tin points et il li'y a plus de plan diamétral. Le plan diamétral s'est éloigné à Tinfini»
Le lieu du centre de la section faite par le plan représenté par Féquation Aa? + By-f-Cz = î, dans laquelle l est un paramètre variable, a pour équation
c^est une droite parallèle à Taxe. En d'autres termes, les pro* jectièns des sections parallèles sur le plan YOZ sont des ellipses homothétiques et concentriques. Réciproquement, tq^te droite parallèle à l^axe est un diamètre.
S40— Ptenons pour origine des coordonnées un point quelconque M de la surface, pour axe des x le diamètre qui passe en ce point, et pour plan des xy un plan quelconque mené par la droite MX; ce plan coupe la surface suivant une parabole; nous prendrons pour axe des y la tangente à la parabole au point M, et pour axe des z la parallèle menée par le point M à la direction conjuguée du plan XMY. L'équation de la sur*face, ne contenant pas de terme du premier degré en z, et devant se réduire, quand on y fait 2==o, à celle d'une parabole rapportée à un diamètre et à la tangente à l'extrémité, sera de la forme
les deux paramètres p^ et ^ auront le même signe, par exemple le signe +, sans quoi les sections par des plans quelconques seraient des hyperboles. On voit par là que le plan XMZ est conjugué de la direction MY. Les sections faites par des plans parallèles au plan YMZ sont des ellipses rapportées à deux diamètres conjugués.
On peut obtenir d'una autre manière le» axe^ des coordopttéts atixquelt nous venons de rapporter la surface. Considérons un plan quelconque non parallèle à l'axe du paraboloïde; ce plan coupe la surface suivant une ellipse; par le centre de reUipse^ manona iioa parallèle à Taxe jusqu'à la rencontre de la mutt^m, et ]iar ce i^nt, des parallèles à deux diamètres con-
jugués de l'ellipse; Téquation de la surface se réduira à la forme précédente.
8BGTI0NS CIRCULAIRES.
ti4kf — Considérons une série de plans parallèles coupant la surface suivant des cercles; les centres de ces cercles sont en
ligne droite; le plan mené par ce diamètre perpendiculairement aux plaus des cercles, divisant chacun de ces cercles en deux parties symétriques, est un plan principal. Âinsi^ les plans des sections circulaires sont perpendiculaires à Tun des plaus principaux.
Par le sommet 0(fig. 29i)menons un plan YOX^ perpendiculaire au Fig. S91 . plan pri ncipal XOZ ; appelons 6 Tan-
gle X^ OX et cherchons Téquation de la courbe d'intersection par rapport aux deux axes OX^ et OY situés dans son plan . Soi t^j;^ y^ z les coordonnées d'un point M du plan sécant par rapport aux axes 0\, OY9 OZ^ œ^ etj/ les coordonnées de ce même point par rapport aux axes OX^ et OY ; on a d'abord f/ = y; on a ensuite
a; = OQ = OPcose=a/cosO, 2 = PQ = OPsinO = a/sin6;
si Ton met ces valeurs de x, y, z dans l'équation de la surface^ on obtient réquation de la courbe d'intersection
y'* . iï/»sin«6 , .
^ — = 2ar cos9.
dut que le paraboloïde elliptique admet deux séries de sections circulaires, qui sont perpendiculaires à la section principale de moindre paramètre, et également inclinées sur l'autre section principale.
On peut aussi reconnaître sur l'équation delà surface l'existence des sections circulaires. U suffit pour cela de mettre l'é-
DES PARABOLOIDES.
^ w« -- f-— — 2rc=s=o SOUS la forme
PABABOLOÏDB HTPBKBOLIQUB.
ft4S--<Ionsidérons maintenant le cas où S' et S^ sont de signes contraires. Supposons que le coefficient P ait le même signe que S% et posons
réquation deyient
Les section^ faites par les plans principaux XOY> XOZ sont deux
paraboles P et Q (flg« 292) dont les axes sont dirigés en sens contraires. Le plan ZOY coupe la surface suivant deux droitesOA^ OB, qui font avec OZ un angle dont la tangente a pour valeur
Les sections fai-
tes par des plans parallèles au plan YOZ Fig.999. sont des hyperboles
1iomothétiques> mais dont la disposition varie ; si le plan est du côté OX, l'axe réel de Fhyperbole est parallèle à OY; s'il est de Vautre côté^ Taxe réel est parallèle à OZ. La surface est formée d'une seule nappe qui s'étend indéfiniment à droite et à gauche du plan YOZ; on lui a donné le nom de parahclotde hyperbolique. La droite OX est un axe de la surface; le point 0 en est le sommet.
Les sections par des plans parallèles au plan principal XOY
