BU

sont des paraboles égides à la {)«rabole9 T? et ayant leurs seoir mets sur la parabole Q. De même, les sections par des plans parallèles au plan principal XOZ sont des paialyoles égales à la parabole Q et ayant leurs sommets sur la parabole P ; de sorte qu'on peut conceToir la sur£ai:e comme engendrée par une parabole qui se meut parallèlement à elle-même, son sommet décrivant une autre parabole. & 40— Les sections par des plans

non parallèles à Taxe, sont des hyperboles doat les proJactîoxM sur le plan YOZ sont représentées par Téquation

On voit que ces des hyperboles sont homothétiques entre elles, quelle que soit la direction du plan sécant {«orsque le plan sécant

By-j-Cz^l

est paraHèle à Taie du paraboloïde, la section, dont la projection sur le plan XOT a pour équation

est une parabole «y^ïit son axe parallèle à l'axe du parab^ïde; les tsoUons parallèles sont des paraboles égales. On peut écrire tétpj^àkm préoédoile sous la forme

i|Mikl on a |r ^=Ji±:i/^p cette éqniilsoB se féduil au premier

degré; ainsi 11 y a deux séries de plans qui coupent la surface

chacun suivant une droite. Les planp de ces deux séries sont

espectivement parallèles aux deux plans définis par Péquation

DES PÀRABOLOIDES. 483

plans qui passent par Taxe OX, et chacune des droites ÛA, OB, suîTant lesquelles le plan tangentaasommetOcoupe la surface.

MANS DIAMiTRAtJX fiT DIAMÈTRES.

SSO — ^Le plan diamétral conjugué de la direction a pour équation

Pi/ ;

il est paraUèle i VêOLB* Lorsque les droUês dettetinéiit pa^ftl^ lèUs à l'asc, elles m rencontrent la surface qu^en un f^oint^ ^ le plan diamétral s'éloigne à l'inftil. Une droite pandlèlâ :ft Pun des deux plans AOX, BOX ne reneonti^e aussi la surflioé» qu^en an point; car le plan^ mené par Ift droite paraltèlemenf à Tim de ces deux plans^ eonpe la surface suivant «ne drôtte*.; Si l'on considère une direotios parallèle lîi plan AOK/^nxik non parallèle è raxe» l'équation ^) représniter tin ptam patfaU> lèle à Taxe et ooupiAt la forfaoe s«rrant unt parallèle i'^ettsr direction.

Toai plan parallèle à Taxe M un plan ^amétral, excepté knqne œ ifim est parallèda à ïim des plans AOX> BOX.

On vernit^ comme pour le parabol^rikle ^ipli(pie> qfui le dianaètve oa le lieu d« centues d'une série de sections pcrftt» lèlaa est one droite ptrallèls à Taae.

ftftfl*-Si Vaa prend peut* origine des ceordonnéea unir point quelconque M de la sorface^ pour axe des œ le diamèére qui passe en ce points pour plan des «y un plan quelcodqm* mené par la droite MX^ pour axe des y la tangente à Ift pn^ bole au point M^ et pour axe des z une parallèle à la direction amjugnée du plan XHY^ Téquation de la surface prendra la forme

Ceci nous permet de compléter Fétude des sections plames; le plan YMZ coupe la surface suiranl deu^ droites; les ptons

parallèles à ce plan coupent la surface suivant des hyperboles boniothétiques, mais dont la disposition change suivant que lé plan sécant est d'un côté ou de Tautre du plan YMZ. Si Ton prenait pour axes des y et des z les deux droites qui passent par le point H^ Téquation de la surface se réduirait à la forme

yz = kx.

GiNÈRATElCBS RBGTILIGNBS DU PABABOLOÏDE HYPERBOLIQUE.

ftftS— Il est imposable de placer une droite sur le paraboloïde elliptique; car^ si par cette droite on mène un plan, ce plan cqipera la siurface suivant une ellipse ou une parabole. Mais la même impossibilité n^existe pas pour le paraboloîde liypert)olique. Nous avons vu que tout plan parallèle à Tnn des deux plans AOX, BOX coupe la surface suivant une droite. ?ar un point quelconque M de la surface^ menons un plan parallèle au plan AOX; ce plan coupera la surfoce suivant une droite passant par le point M; un plan parallèle au plan BOX donnera uHe seconde droite passant aussi parle point M^ Ainsi^ par iout point du parabohnde hyperbolique pasient deux droites situées sur la surface.

he plan de ces deux droites est le plan tangent an point H. Il est impossible de mener par le point H "une troisième droite située sur la surface; car elle serait aussi contenue dans le plan tangent, et ce |dan ne coupo la surface que suivant deux droites. Les droites situées sur la surface du paraboloîde hyperbolique peuvent être distinguées en deux séries, dont diacune constttae toute la surface. La première série se compose des droites parallèles au plan AOX, la seconde série des droites parallèles au plan BOX; ces deux plans ont reçu le nom de plans directeurs.

II résulte de là que les projections sur le plan YOZ des droites d'un même système sont parallèles; car les plans pro* jetants des droites du premier système sont parallèles au plan directeur AOX, et, par conséquent, leurs projections sont parallèles à la droite OA. De même, les projecticms] des droites du second système sont parallèles à OB.

DES PARABOLOIDËS. 465

Projetons mainlenant les droites sur l'un des plans prinàpaux, par exemple sur le plan XOT. Nous remarquons d'abord qu'une droite ne peut être parallèle à ce pian; car la section faite par on plan parallèle au plan XOY est une parabole égale à la parabole P. La droite perce le plan principal en un point de la parabole P; mais la surface se projette sur ce plan en dehors de la parabole, la projection de la droite passant par un point de la parabole et étant située en dehors, est tangente à celte courbe. Ainsi, tes projections des ginératricet reetilignes sur les plans principaux sont tangentes aux sectiont prin' cipaîes.

Deux génératrices du même système étant situées dans deux plans parallèles au même plan directeur, et, par conséquent, parallèles entre eux, ne peuTent se rencontrer. Elles ne soai pas non plus parallèles; car leurs projections sur le plan principal XOY» étant tangentes à la parabole P, ne sont pas parallèles. Ainsi, deux droiteâ du même système ne lontjamait dans un mime plan.

Considérons maintenant deux génératrices de systèmes différents; leurs prcyections sur le plan YOZ étant respectivement parallèles aux droites OA et OB se rencontrent; si par le point d'intersection des proJeclloDS, on mène une parallèle à l'axe OX, cette parallèle ne perce la surface qu'en un point, et, par conséquent, rencontre les deux droites données au même point. On en conclat que dettr génératrices de systèmes différents te reneonlreiU toujours.

Stt3— Puisque par tout point de la surface passent deut droites, il est clair que par tout point D de la parabole principale P (fig. 398) passent deux droites DC, DH situées sur la surface. Si l'on prend pour axes des coordonnées le diamètre . DX', la tangente DS à la parabole principale, et laperpendk culaire DZ' au plan principal, Fig. 393. et si l'on désigne par 0 l'angle

486 UV«£ VI, CHAPITRE V.

SDX^ la surface aura pour équation (a^ 212)

lie plaû Z^DS a pour trace^ sur le plan principal, la tai^ente ST à ]a parabfde principale; ce (dan â/:£^o coupe la surface Rivant tes deux droites D6^ DH représentées par Kéqaation

et qui se projettent sur le plan principal suivant la tangente ST. Les deux droites DG, DH font des angles égaux avec le plan principal ou avec la perpendiculaire DZ^ à ce plan; si Pou appelle y ce dernier angle^ on a

tangY=Y/|

9 sinO

Qfawad le point D^ partant du sommet 0> pareouH la parabole prinâpate P> Tangla y que fcmt les deinr droites D6 et DH avec la verticale DZ' augmente de plus en plus^ el tend vers un wgle droit»

Les deux droites UR, D6 percent le plan principal XOZ aux points H etK appartenant à la paratMrte prtneipale Q, et situés fiur UDd perpendîcttlaire à l'axe OX, au point où il est rencontré pair la tangente D8^ les pn^ectlons HD^^ KD^ de ces deux drcntes mt le plan pHncipal XOZ sont tangentes à la parabole û> el passent par k point D'^ pro}eetion du potnt D« Le point D se projette en D'' sur le plan YOZ; les points H et K se projfet-» tisnt en H' et r; en joignant VW, D'r, on aura les ptri^ectiQilsD'H% D^G' des deux droites DH, DG sur le plan YOZ. Les peinte D et H appartenant aux paraboles principales^ on a

Bip'=ftttjBfX(My, HÎ*=2ÇX0T; les deux longueurs OIV et CMT éitont égales aitre elles, i! en résulte

od"dd;.^

(5ÏP^HT"~Vg'

ûn Moanoatt ainsi de nouveau que la projection D'^H'^ de la droite» Mi sui^ le plan YOZ e(Miserve une direction constante;

DES PAHÀfiOLOlDES. 487

de même, la projection K^'D^'G'' de la droite DG, cQn&er\e\ine direçtioa constante.

Si le point D parcourt la parabole principale P dans un sens déterminé OD^ les droites^ dont les parties supérieures au plan principal XOY font avec les tangentes prises dans le sens du mouvement des angles s^igus^ percent Fautre plan principal XOZ au-dessous du premier, leurs projections sur le plan YOZ sont parallèles à OA et ces droites forment le premier système de génératrices. Les droites, dont les parties supérieures font avec leâ tangentes des angles obtus, ont leurs projections parallèles à OB et forment le second système.

Les dùn% droites DD^ HH'' étant égales et parallèles^ la flgurç Diy^HH'' est un parallélogramme, et, par conséquent, les diagonales DH, D^'H" se coupent mutuellement en deux parties égales; ainsi le point I, où lu giéfiénitriee DB perce le plan YOZ, est le milieu de la portion DH de cette droite comprise entre les deux plans principaux; le liea du point I est la droite OA du premie^T système.

SS4 — Nous savons qti^fl fiiul tr(rfd directrices pour définir le uiouvement d'une droil^^ Pi:enans comnoe directriee^ tfoîs droites fixes A, By C appartenant à Tun de& systèsieSji paur exemple au second; ces droites seront parallèles au second plan directeur, une droite mobile glisMnl sur ces trois directrices coïncidera successivement avec chacune deç droites dn premier système^ et„ par canséquant^ epgenâi^er^ \^ p^rabc^ loïde byi>erbolique*

On peut aussi définir le mouvenacat d'une drottq en Tassujellissant à glisser sur deux droites fixes et à rester [parallèle à un plan fixe. Si Ton prend pour directrices deux droites A et B du second syslème, et pour plan fixe le preniier plan directeur il est évident que la droite mobile coïncidera successivement avec chacune des droites du premier système. Il résulte de là que le paraboloïde hyp<n boliquc peut être engendré par une droite mobile qui glisse sur trois droites fixes parallèles à un même plan, ou bien par une droite mobile qui glisse sur deux droites fixeç en pestant constamment parallèle a un même plan.

ftftft — Les réciproques sont vraies. Considérons d'abord nne

droite mobUe assujettie à glisser sur deux droites fixes OZ et ÂB (Bg. 294}, en restant parallèle à un même plan.

Prenons pour axe des y une position particulière OA de la génératrice^ pour axe des z la directrice OZ, pour plan ' des xy un plan parallèle au plan direc- Fig. 994. teur, et pour plan des %x un plan pa- '

rallèle à la droite AB. Cette seconde directrice AB aura pour équations y=^h, x = az. Soil HN une position quelconque de la génératrice; cette droite^ étant parallèle au plan XOY et rencontrant l'axe OZ, a des équations de la forme

(7) «=P> y=iiwj,

avec deux paramètres variables m et p. Pour qu'elle rencontre la seconde directrice AB, il faut que l'équation de condition

<8) amp = b

soit vérifiée. Si Ton élimine les deux paramètres m et p entre les équations (7) et (8), on obtient l'équation du lieu

(9) ayz — bx=o.

La surface est du second degré; elle est dépourvue de centre; ce n'est pas un cylindre parabolique, puisque les droites OZ et AB, non parallèles, sont situées sur la surface; c'est donc un paraboloïde hyperbolique.

556— Considérons maintenant une droite assujettie à glisser sur trois droites fixes OZ, AB, A'B^ (fig. 295) parallèles à un même plan. Prenons pour axe des z la Idirectrice OZ, pour axe des y une position particulière de la génératrice, pour plan des zx un plan parallèle aux trois directrices et dans ce plan une droite quelconque menée par le point 0 pour axe des X. Les deux directrices AB, A^B' sont représentées par les équations

Z = aX, ) Z=:Qfx.

DES PARABOLOIDES. 489

Une droite MM' qui rencontre ces deux droites peut être regardée comme l'intersection de deux plans menés, l'un par la droite AB^ Tautre par la droite A'B^; ces deux plans ont des équations de la forme

dans lesquelles "k et V désignent

des paramètres arbitraires. La

droite MM' detant rencontrer la

^*«- ^' droite OZ, on a, entre les deux

paramètres la relation

On obtient Téquation de la surface engendrée par la droite MM' en éliminant les deux paramètres X et X' entre les trois équa* tions (lo) et (ii)^ ce qui donne Téquation

(12) ft(y-~6')(« — ax) — 6'(y — ft)(a — a'a?)=o.

La surface est du second degré; on reconnaît aisément qu'elle

est dépounrue de centre; d'ailleurs elle contient des droites

non parallèles; c'est donc un paraboloïde hyperbolique,

ftft 7— Nous aifons trouyé (n^ 538) la relation qui existe^ dans

rhyperbôloïde aune nappe, entre les deux longueurs décrites

sur deux droites fixes AB, CD de l'un des systèmes par une droite

mobile de l'autre système. La relation est

beaucoup plus simple dans le paraboloïde

hyperbolique. Soient HN, M'N', M'N' (flg.

2g6) trois positions quelconques de la droite

mobile; si par chacune d'elles on mène un

idan parallèle au plan directeur, on aura

trois plans parallèles entre eux; or^ on sait

Flg. SM. que trois plans parallèles déterminent sur

deux droites AB, CD des segments proportionnels^ on a donc

la relation