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.4tt0 LIVRE VI, CHAPITRE V.

Ainsi^ d^n& le paraboUnde hyperbolique, um dfoUe m^kHe 4e Vun des 8y$lèfne& décrit sur deux droites fixes de l'autre sys^ tème des longueurs proportionnelles.

Réciproquemejdt^ lorsqu'une droite mobile glisse sur deux droites fixes ÂB, CD, en décrivant sur ces droites des longueurs proporlionnelles, elle engendre un paraboloïde hyperbolique. Soient MN, M'N^ deux positions particulières de la génératrice; concevons le plan parallèle à ces deux droites. Soit maintenant H^'^N'' une position quelconque de la génératrice; on a la relation

Si par chacune des deut droites MN, H^N^ on mène un plan parallèle au plan défini précédemment, et que par le point M" on mène un plan parallèle au même plan, on aura trois plans parallèles qui déterminent sur les deux droites AB^ CEI des Be^metiU proportionnels; le plan mené pdr le point W^ fiâssera donc par le point N^^ et contiendra la droite M^N^'; on en con^ dut que la génératrice mobile M'^N^' reste constamment parallèle à un même plan; elle engendre donc un paraboloïde }iyperbolique.

55S--€'e0tâ'après celte propriété remarquable que Vm eonstraii des modèles en fil reprtsentant le iiarabobide hyperbolique. Imaginons que l'on ait fait on cadre en boie ACOB, ayant la forme d'un qnadrilalcre gaiicbe; si Von divise kl deux cMés opposés AB, CD en un même nombre de parties ^alès; et que Ton joigne par des fils tendus les points de division correspondants^ ces âts représenteront l'un des systèmes dé génératrices redilignes d'un paraboteide hyperbolique. Si fèn divise de même les deux côtés opposés AC^ BD en un même nombre de parties ègBie»^ et que Ton joigne par des fils les points correspondants; on oMiendra le seeond système de génératrices^

Si le quadrilatère ACDB était plan^ le« tih sefttient tous situés dans le plan du quadrilatère; niais^ que Ton défonbo le quadrilatère de manière à le rendre gauche, les fils cesseront

DES PARABÛLOI»|i£. «M

d'étve «itiiéft dans un mimé plan et formeront un purabrtoïde hyperbolique; c'eftt pourquoi on a donné ansai à celte sorfaee le nom de plan gauohé^

SSII— Il est facile de déduire de l'équation du paraboloïde hyperbolique

(5) K!$!--2aj

les équationa des deux ayatèmea de géoératrkea* En effet, on peut Battre l'équation (5) soua la forme

ax.

Les deux équations du premier degré

w Y3 vp vg ^.

dans lesquelles le paramètre > est arbitraire, représentent un système de droites situées sur la surface; car^ en multipliant ces deux équations membre à membre, on retrouve Téquation (5). Les deut équations

dans lesquelles le paramètre (a est arbitraire^ représentent un second système de droites situées sur la surface. Il est clair que par tout point de la surface passent deux droites^ une de chaque système. D*ailleurs^ la première des équations (k) montre que toutes les droites du premier système sont parallèles au plan

■^ psso; et de même la première ded équations (a) mon-

VP V9

tre que toutes les droites du second système sont parallèles au

plan -^ + *p =^ o. Ainsi, les syslèmes d'équation» (k) et (a)

VP V?

représentent bien les deux systèmes de génératrices rectflignes

du paraboloïde hyperbolique^ tels que nous les avons définis

géométriquement (n*552).

ftSO— Nous ferons remarquer que, lorsqu'un paraboloïde

m LIVRE VI, CHAPITRE VI.

hyperbolique est rapporté à ses deux plans princii»ux et an plan tangent au sommet^ si l'on égale a 2éro Tensemble des termes du second degré dans Téquation de la surface^ on

obtient une équation = o, qui représente les deux

plans directeurs. La même chose a lieu quand la surface est rapportée à des axes de coordonnées quelconques; car, si Ton change d'abord la direction des axes en conservant la même origine^ la partie du second degré dans la première équation donne la partie du second degré dans la nouTcUe équation. Si Ton déplace ensuite Torigine en conservant la direction des axes, les termes du second degré ne changent pas; si donc on égale à zéro Tensemble de ces termes, on (Ibtient des plans respectivement pardlèles aux deux précédents.