DISCUSSION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES

Pour déterouner la nature de la surface^ il suffit de calculer Fj et d'examiner les signes des racines S, Sf, S^ signes qui sont donnés immédiatement par le théorème de Descartes. Si Té-* quation ayait deux racines égales^ la surface serait de réTOlution.

2? Quand l'équation du troisième degré a une seule racine nulle^ réquation peut être réduite à l'une des deux formes

S^y*-hSV-hP«=o,

S'tf'H-SV-hF. =o.

La première représente des surfaces dépourvues de centre^ et la seconde des surfaces ayant pour centres tous les points d'une droite. Pour connaître la forme qui convient à l'exemple donné, on aura recours aux équations qui déterminent le centre. Lorsque ces équations sont incompatibles^ le lieu est un paraboloïde^ elliptique si S' et S'' ont le même signe> hyperbolique si S^ et S'^ ont des signes contraires. Lorsque le lieu admet une infinité de centres^ ce lieu est un cylindre^ dont on détermine la nature par une section non ^parallèle à Taxe. Si les deux racines S' et S'' étaient égales, la surface serait de révolution.

S"" Lorsque l'équation du troisième degré a deux racines nulles^ l'équation peut être réduite à l'une des formes (n* 5oo)

SV-hF, =o.

La première représente une surface dépourvue de centre^ et la seconde une surface qui admet pour centres tous les points d'un plan. On aura encore recours aux équations qui déterminent le centre. Si ces équations sont incompatibles, le lieu est un cylindre parabolique. Si elles se réduisent à une seule, le lieu est l'ensemble de deux plans parallèles, un plan unique, ou l'équation n'a pas de solutions réelles; une section non parallèle au plan des centres déterminera la nature du lieu.

S#9-^La discussion est résumée dans le tableau snitant.

ILes troU ra^/ F^ a un signe/ cines de même I contraire k celai | Ellipsoïde, ligne. Ideirtemcs. ( Genre ellipsoî- j F^ = 0 Un point, de. I Fj de même si-( vtUn^ Dent racinesf F^ a un signe/ de même signe, l contraire à celui! HyperboMde k une d« sign^Qon-ides deux pr^miè-june nappe, traire. (res racines. (

Fi = 0... Cône.

F| de même si«( Hyperboloîde à gne. (deux nappes.

Surfaces ayant un centre unique.

Genre hyperboleîde.