CLASSE
/Une seule r».f Les dew antres/ p^raboloïde cl- /«me nuUe et pas! racines de "»^»«jimtioae I de centre. I signe. ( P* H
Genre pnrabo«*| 0e signes coa^-i Paraboloîdeiijlofde. \traires. (perbolique.
L'équation dul / L6sdettxtutres( . ^^^''^'* ®**^''"
troisième degré a I ^ ^y^ ra- I?^^^*^* ^^ "*^"*« Wedroiee.
oines nulles. / i„finiié de centres {
en ligne droite. | [ Cylindre hjper-
I De signes coa-|bolique.
Surfis p'ayanti »'"''"• L«;iLSL*"**''''
pas de centre, ou I ^ • / »««o»pei«.
„-^ :.A.:tA j. I Deu* racines! centra. "' I nulles et pat «fej CjKlMlre parabolique.
centre. l
.uHm et «eï^l Bf^P'*" P««"èle».
flnité de centresj ï^ idansunpun. \
RSMAHQîiK.^La réduction exi^iquée au chapitre H sappose les ax€« primitifs rectangulaires* Or, il eat évident que si Voa conitruit j avec deux systèmes d'axjes diflérenis, les lieux repré- «entés par une inéme équation du second degré, ces liieux seront toujours damême espèce; cependant F une des sarfaces pourra être de révolution sans qu'il en soit de même de la seconde. Les conclusions précédentes s'appliquent donc à un système d'axes quelconques.
DISCUSSION DES ÊWATIONS ffUMÉRIQUES. M»
ExBttpLK. Quelles sont les surfaces représentées par l'équation
o(ac*H-2ys)H-*(y»-W2w)4-c(s"H-2iry)=i;
dfl99 bqy$lle a, h, e désignent des parainètres arbitraires?
Quelles que soient les valeurs attribuées aux paramètres, rorljgine est un centre de la surface : ainsi Téquation ne comprend que des surfaces Si centre. L*éqnation du troisième àegfé ^S 99X
(S-.a)(S-6){S-c)-a«(S-a)-6*(S--6)-c"(S-c)-2afrc=0, ou S*— (a -h6 -+- c) S*— (a*-4-b*H-c'— 6c— ca— <i6) S -h a*4-b*-Hî*-- 3a6c=0.'
Si, pour abréger, on désigne par m et n les deux sommes a + 6 + c et hc-^-ca-^-ah, on a identiquement
o' -h 6* -+■ c*— 6c — ca — a6 s= m*— 3 n, et Féquaiion eu S prend la forme
La 4|aMlicé M^«*a« «« a*'^à*H^d*-*èe«-M-*aft' étiirt égaie âi
M 4M«ai (amala iié||^tl«i( «Ile aa aa lédait I aéra (^t ion^u'oa a a«»A=««. OiM c« «it, réqiiatioA praposéf «e réduit à ia ^ra»«
elle représente deux plans parallèles, réels ou imaginaires, suivant que le coefficient a est positif ou négatif.
Suppoaoaa matotettaïkl «^ les Itata cd«aW«nt8 a, b^ e na soient pas égaux entre eux, et représentons par k* la quantité positive m* — 3n; les trois racines de Téquatûn «n 5 sont i» at itik^ at Téquaiion proposée peut être ramenée à la forme
fnx*-4-fcy'--fc2'=l
par une transformation de coordonnées. La surface est un hyperboloîde à une ou à deux nappes, suivant que le coefficient m est positif ou négatif. Lorsque ce coeiieicfU «al nul, l'équaitOA représenta un cylindre dont la seciion droite est une hyperbole équilatère.
L^hyperbolotde sera de révolution, si Ton a m = di A:, ou m*=fc*, c^eslà-dire n^^O ou 6c+ca+a^s«0« Alors la direction de Taxe est déterninée par les formules (n* 600)
aa=s6^=:CY,
496 UYRE M, CHAPITaE VL
8Î les trois nombres a» fr» e sont différents de zéro» et par les formules
si les deux coefGcients b et e sont nuls. Dans ee cas Taxe de févolation est la bissectrice de l'angle TOZ.
DEUXlillB MÉTHODE.
&#S — On forme les équations qui déterminent le centre de la surface; il y a plusieurs cas à distinguer.
i^ La surface admet un centre unique. Dans ce cas^ pour simplifier, on transporte les axes au centre^ et Téquation se réduit à
(i) Aaî»-f-A'y«-HAV-4-aBy«-l-2B'«a: + aB''a?y-4-Fi=o.
Lorsque le terme constant F^ est nul, le lieu est un point unique ou un c6ne. Pour décider la question, on fait une section par un plan parallèle à l'un des plans coordonnés; si la section est une courbe réelle, le lieu est un cône; si la section est imaginaire, le lieu est un point.
Examinons le cas où le terme constant F| est différent de zéro. Supposons que Péquation renferme les carrés des trois variables; en résolvant par rapport à %, et posant, pour abr^er,
M=B'»— A^'A, N=B'B— A''B", P=B«— A''A', on a
A''jf=-.(B'«4-By)±:VM«"-haN«v-*-P»"— A'^F,.
Le plan
(a) A!f%^^(Vai^By)
est le plan diamétral des cordes parallèles à OZ. La trace de la surface sur ce plan diamétral se projette sur le plan XOY suivant la courbe définie par Féquation
(3) Maî»-f-aNaîy-^Py*— A''F»=so.
Cette courbe admet un centre unique; car on a
N«— aiP=*A''D,
D étant le dénominateur ou le déterminant relatif aux équations
