DISCUSSION DES ÉQUATIONS NUIIÉRIQUES

du centre. En outre, le terme constant — A'^Fi est différent de zéro.

Supposons que le lieu défini par Téqualion (3) soit du genre ellipse; ce lieu sera une ellipse réelle ou une ellipse ima-* ginaire; mais pas un point. Si le lieu est une elHpse réelle^ la courbe a pour centre Torigine^ et Ton sait que le polynôme Ma?*+ aNay -H Py' — A^Pj conserve un signe invariable^ lorsqu'on remplace â? et y par les coordonnées d'un point intéHeur (ce signe est celui du terme — A^F^) ; pour tous les points exté* rieurs>le polynôme a on signe contraire. Si la quantité — A^^F^ est poeitite^ tous les points de la surface se projettent à Tinté^ rieur de TeUipse; la surface est donc une Ilipsoïde. Si la quantité

— A'F est négative^ les points de la surface se projettent en dehors de Pellipse, et l'on a un hyperboloïde à une nappe. Lorsque le lieu est imaginaire, la fonction Mx^-haNxy-hPy'— A'^Fj conserve un signe invariable pour tous les points du plan XOY (ce signe est celui du terme —A'TJ et ne s'annule pas; si la quantité — A^'F^ est positive^ la surface se compose de deux nappes indéfinies séparées par le {dan diamétral; c'est un hyperboloïde à deux nappes; si la quantité — A^'F^ est négative; la valeur de z étant toujours imaginaire^ l'équation (i) n'a pas de solutions réelles.

Supposons actuellement que l'équation (3) définisse un lieu du genre hyperbole; le terme — A"F, étant différent de zéro, le lieu est toujours une hyperbole, et non le système de deux droites. Si la quantité — A'^F^ est positive, tous les points de la surface se projettent entre les deux branches de l'hyperbole; la surface est donc un hyperboloïde à une nappe. Si la quantité

— A^'Fj est négative, la surface est un hyperboloïde à deux nappes.

On peut remarquer que le signe de la quantité — A'^F^ indique si le diamètre OZ est réel ou imaginaire. Ce diamètre, joint à deux diamètres conjugués de la section, forme un système de trois diamètres conjugués de la surface qui permettent de reconnaître immédiatement l'espèce de cette surface. Supposons que la seclion diamétrale soit une ellipse réelle;» cette ellipse admet deux diamètres conjugués réels; si la quan-

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ti(Q -^ A^'fi est positive» le troisième dimnètre étant aniâ réel, la surface est un ellipsoïde; si cette quantité est négative^ tê troisième diamètre étant imaginaire, la sorliioe est an hyperboloïde à une nappe. Lorsque la section est une ellipse imaginaire) elle admet deux diamètres conjugués imaginaires; n le tnNsième diamètre est réel^ le lieu est un hyperboloide à deux nappes; s'il est aussi imaginaire» le lieu est uû ellipsoïde ima» ginaîre* Supposons maintenant que la section soit nne hyperbole; de deux diamètres conjugués de cette hyperbole » Tun est réel, Tautre imaginaire; si le troisième diamètre est véel^ la surface est un hyperboloide à une n^>pe; s'il est imagmaire^ la surface est un hyperboloïde à deux nappes.

Nous ferons encore remarquer que la secticHi diamétrale est la courbe de contact d'un cylindre circonscrit a la surfiioe et ayant ses arêtes parallèles à Faxe des c.

Lorsque deux des coefflcients A^ A^ À/^, par exemple A et A' sont de signes contraires^ la surface est un byperboldlde; car la section faite par le plan je = o est une hyperbole^ . Supposons maintenant que Tun des coeffici^its des carrés^ A'' par exemple, soit nul^ Téquation

(4) ^{By + Vùc)!-^ (Aa;»+ A'y*-f- 2B"aJy -h PJ = o

étant du premier degré par rapport k », k tout système de valeurs réelles de â; et de y correspond une valeur réelle de z; ainsi la surface s'étend à Tinfini; c'est donc l'un des deux hyperboloïdes. Le cône asymptote est représenté par l'équation

a (By -f- B<d5) jB H- (A»«4- AV+ 2B''iry) = o;

on voit que la droite OZ est, une arête de ce cône. Si la surfoce est un hyperboloïde à une nappe^ deux droites parallèles à OZ sont situées sur la surface; or^ les équations d'une droite parallèle à OZ sont x = aL, y=^^i la coordonnée s da point d'intersection de cette droite et de la surface est donnée par réquation

a(B(i-4-»^(3^«*f-Aa«-f-A^|î«-f-2B''aP-f.F,=iO.

Pour que la droite appartienne à la surface^ il faut que Ton