DISCUSSION DES ÉQUATIONS NOMÉWQDES

puisse choisir a et p de manière que l'équation précédélife soit yérifiée quelle que soit z, c'est-à-dîte de mailièt-e que Von kit simultanément

d'où

La surface est un hyperbolofde à une nappe, si la yaleur de a* est positive^ un hyperboloïde à deux aapfles^ si cette yalentr est négative.

2f La surface est dépourvue de centre. Cette surface MfMt être que Tun des paraboloïdes ou le cylindre parabolique. Si c'est un ptraboleSde> Pan au moins des trois fiatm oogd^ilnéi n'est pas pandlèto à Taie, et donnera une sectiou éUlpIfquli M hyperbolique suivant que le paraboloïde est elliptique Ott hyperbolique. Si la surface est un cylindre parabolique^ les sections par les trois plans coordonnés sont des sections paraboliques.

Lorsque la surface est un paraboloïde^ les pians diamétraux représentés par les équations /^=:o^ fy^=^o, /^ ^ o se coupent

suivant des droites parallèles à Taxe de Id suff^ce ; de deux de ces équations^ oft déduira les coefficient angulaires et et 6 dé l'axe. Les plans perpendiculaires à Taxe sont définis par Téquar tion ar-|-6yH-x=/; le lieu des centres de Ces sections parallèles^ ou l'axe de la surface, est donné par lesdqusrtîow {tf 4^

3^ La surface a pour centres tous les points d'une droite. La surface est un cylindre; l'un^ au moins^ des trois plans coordonnés n'est pas parallèle à son axe; la section du cylindre par ce plan détermine son espèce.

4® La surface a pour centres tous les points d'un plan. Dans ce cas, le lieu est l'ensemble de deux plam parallèles, un plan ttoique* ou l'équation ne représente rien. Pour décîdM la queftti<^n> on fait une section par l'un des plans coordonné» non parallèle au plan des centres.

Les éqiutîont qui détermineiit le centf e sont

2aî4-y-HΫ = 0, 2a;4-3y4-2 = 0, 4aPH-9«-h4 = 0.

Ces équations n'admettent qu^une solution 37=5» !/ = — 3, «==--2. Si

l'on transporte Torigine su centre, le ternie constant ptenà la valeur —5, et Téquatton se réduit à

4aj*-4- 3»'+ 9z*'\- Soc* -h 4aî» — 5 = 0. En résoif ant psr rapport à a;, on a

2x=— y-i2«dbV— .2y*— 6«'-H4y2-h5.

L*éqiiatîon

représente une ellipse réelle ; le ternie constant sons le signe radical étabt positîfy la surface se projette sur le plan des yz ï Tintérienr de Teilipse; c'est donc un ellipsoïde.

Si Ton remplaçait, dans Téquation donnée, le terme constant 9 par 44, la nourelle équation ainsi obtenue ne représenterait plus qu'un point. Si Ton remplaçait le terme constant par un nombre plus grand que 44, Téquation n'admettrait pins de solutions réelles.

EnwLE H. 4œ*— 45y*-+-<*!/»-H4«^-+-^-^*^— ^y-f-î**— ^8=^' Les équations qui déterminent le centre sont

2» — »-+-«-+• 4 =sO, 2aî4-45y — 7«H-47 = 0, 2aî-+-7y4*42=:0.

Elles n'admettent qu'une solution a: = — r» y=-— 5» s =■ — 4. Lorsqu'on transporte Torigine au centre, l'équation de la surface devient

4a;*+15i/'+44y« + 4za;^4irv — 6 = 0.

N Celle*K;i résolue par rapport à x donne