CHANGEMENT DE LA DIRECTION DES AXES

50— Supposons maintenant que Ton change la direction des axes en conservant la même origine. Nous traiterons

d'abord un cas particulier qui se pré- ^ ^ sente souvent dans la pratique, celui

où les axes des deux systèmes sont rectangulaires. Imaginons que Ton change la direction des axes en faisant ^ tourner l'angle droit XOY (fig. 3o) F^g 3^- d'un certain angle a autour de l'ori-

gine pour ramener dans la position X'OY^ et considérons l'angle a comme positif, si la rotation s'effectue de OX vers OY, et comme négatif, si la rotation s'exécute en sens inverse.

Par un point quelconque M du plan menons des parallèles MP et MP' aux axes OY et OY^ désignons par xety les coordonnées du point M relatives aux premiers axes, et par a/ et y' les coordonnées du même point relatives aux nouveaux axes. Les projections des deux chemins OPM, OP'M sur un aste quelconque sont égales. Projetons ces deux chemins d'abord sur l'axe OX; la projection de la longueur OP est cette longueur elle-même, prise avec le signe -+• ou le signe — , suivant qu'elle est portée dans la direction OX, ou dans la direction opposée; c'est, dans tous les cas, Tabscisse x; PM étant perpendiculaire sur OX, sa projection est nulle; la projection du premier chemin se réduit donc à X, Projetons maintenant le chemin OP'M; et d'abord projetons le premier côté OP^; si la longueur OP' est portée sur OX'^ il faut la multiplier par cosa, ce qui donne la projection OP'xcosa; si cette longueur est portée en sens inverse, il faut la multiplier par cos(a-+-ir), ce qui donne

DF X cos (a H- tu) ou — OP'Xcosa; mais^ dans le premier 2as, on a a/ = OF, dans le second cas, a/= — OP'; ainsi la projection du côté OP' est toujours exprimée par x' cosa. Considérons le second côté P'M; s'il est dirigé dans le sens

OY', îl fait avec OX' Tangle a + -» et sa projection est P'Mxcos (a-f-- y, s'il est dirigé en sens inverse, il fait avec

OX Tangle an hic, et sa projection est — P'Mxcos ( a 4- - ] ;

mais on a, dans le premier cas y^=:P'M, dans le second cas y'= — P'M; ainsi, la projection de P'M est toujours exprimée

par y cos(aH-- J- Il en résulte que le chemin OP'M a pour

projection j/cosa-hy'cosfa-f-- J» ou a;'cosa — y'sina. En

égalant les projections des deux chemins OPM, OP'M, on obtient la relation x = oc! cosa — yf sina.

Projetons ensuite les deux chemins sur Taxe OY. La projection de OP est nulle; celle de PM, prise avec le signe convenable, est y; ainsi la projection du premier chemin se réduit à y. Les deux directions OX' et OY' font avec OY les angles

h a et a, ce qui donne pour la projection du second che-

min a/cosf ha) 4- y' cosa, ou ic' sina -h y' cosa, et Ton

a la relation y = a/ sina -h y' cosa. On obtient ainsi les formules

(3) a; = 5/ cosa — y' sina, y = rr' sina -h y' cosa,

qui expriment les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles.

5fl — Occupons-nous maintenant de la question générale. Soient OX et OY deux axes quelconques faisant entre eux un angle 6, OX' et OY' deux nouveaux axes dont on définit les directions par les angles a et p qu'ils font avec OX (flg. 3i); on convient de regarder les angles a et ^ comme positifs, quand une droite mobile les décrit en tournant de OX vers OY^ et

comme négatifs^ quand la droite tourne en sens contraire. Par

un point H quelconque du plan menons les droites MP et MP' respectivement parallèles aux axes OY et OY'.

Pour avoir x, nous projetterons les deux chemins OPM, OP'M sur une direction OH perpendiculaire à OY, et telle qu'une droite, partant de la position OY, tourne d'un angle égal à

de OY vers OX pour arriver à la

Vig. 31.

position OH. La direction OX faisant avec OH Tangle 0,

et la direction OY étant perpendiculaire à OH, la projection du premier chemin se réduit à â?sinO. La direction OX' fait avec OH un angle égal à l'angle HOX, augmenté

de Tangle XOX', cequi fait f- — 6j4-a; de même, la direction OY' fait avec OH un angle égal à (~— 9)-l-P; on a donc pour la projection du second chemin

3^ COS ( - — 9 -h a j -I- î/' cos ( - -— 0

ou od sin (6 — a) H- y' sin (9 — P),

ce qui donne la relation

a; sinO = a/ sin (6 — a) -i- yf sin (9 — P).

Pour avoir y, projetons les deux chemins OPM, OFM sur une direction OK perpendiculaire à OX, et telle qu'une droite,

partant de la position OX, tourne d'un angle égal à - de OX

vers OY pour arriver à la position OK. La direction OX étant perpendiculaire à OK et la direction OY faisant avec cette

droite l'angle h 9, la projection du premier chemin se

réduit à y sin 9. Les angles que les directions OX' et OY^ font avec OK sont égaux aux angles qu^elles font avec OX, diminués

de -» ce qui donne

a, et h P; la projection du

TRANSFORMATION DES COORDONNEES. 45

second chemin est donc a/cos [— ^-1- « j -h y' cos (— -4- p\ » ou a^ sin a + y' sin p, et Ton a la relation

y sin 6 == x' sina + j/ sin p.

On obtient ainsi les deux formules

__ a/ sin (6 — g) + y^ sin (6 — p)

/i\ I smô

__a^sinaH-y^sinfi ^ imê '

pour la' transformation des coordonnées obliques en d'autres coordonnées obliques.

On en déduit facilement des formules servant à revenir des nouveaux axes aux anciens. L'angle des nouveaux axes est p— a; les axes OX et OY font avec OX' les angles — a et ô — a; ilsufût donc, dans les formules précédentes, de remplacer 6 par ^ — a, a par — a, p par 6 — a, ce qui donne

^a;sinp-hysin(P — 6)^ (5) / sin (fi — a)

/ — a? sin g H- y sin (6 — a)

^ "" sin (P — g)

SU— On déduit de ces formules générales quelques formules particulières qu'il est bon de connaître. 1*" Cas où les axes primitifs sont rectangulaires. Dans ce cas

00 a 6 = - 9 et les formules (4) se réduisent à

j aî = a/cosg-l-y'cosP,

l y sic'sing-f-y'sinp.

2' Cas où les nouveaux axes sont rectangulaires. Supposons

[i=a-i- -» les formules (4) deviennent

x^ sin (9 — g) — y^ cos (9 — ot)

sin9

or sm«-+- y cosa

^ — sin9

On pourrait supposer aussi p==a — \ ce qui revient !|

changer le sens de Taxe OY', et, par conséquent, le signe dej* dans les formules (7).

3° Cas où les deux systèmes d'axes sont rectangulaires. Si,

dans les formules (6), on suppose p = a-h-» on obtient *lea

formules (3) déjà trouvées,

( x = x^cosoi — ^'sina, i y = a/ sina-hy^cosa.

On les obtiendrait aussi en supposant dans les formules (7)