r = y — s=fc V«'— 44y»— Myz
L'équation
s»— 44y»— 44ya-4-6 = 0
représente une hyperbole ; le terme constant sous le signe radical étant positif, la surface est un hyperboloîde à une nappe.
Lorsqu*on remplace dans l'équation proposée le terme ^48 par —42, on obtlnot une nouvelle équation qui représente un cône ; si l'on remplace le terme constant par un nombre plus grand que — 4 2, on a un liyperbo* loTde ï deux nappes.
DISCUSSION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. KOf
Les équations qui déterminent le eenire sont
205 + ^-^4 = 6^ 2aîH-4y — 6*4-4=0, 4y — 8a — 4 = 0.
Si l'on retranche la première de la seconde, on obtient Téquation
y — 2« = 0, ou iy — 8« = 0,
incompatible avec la troisième. L'équation proposée représente donc une surface dépourvue de centre. L^équaiion de la section de la surface par le plan des ODy est
4x*4- 4y'-h 4xy + 4» + 2y = 0 ;
cette section étant une ellipse, la surface est un paraboloide elliptiqiie. L*axe, ayant pour coefficients angulaires ^ 1 et 2, est représenté par les équations
— (8x-h4y-|-4) = 2aî-|-4y — 6«4-4=24s— 12y-+-3.
Exemple IV. 4ac* — 2y«--425*+ 42y«-h4a?y-h4a?-f-2y-f-3» = 0. Les équations qui déterroinenl le centre sont
Si Ton retranche la seconde de la première, on obtient Féqnation y— 2s=0, iocompatible avec la troisième; ainsi la surface n*a pas de centre. Le plan des xy coupant la surface suivant une hyperbole
4x* — 2y'H- 4a;y -H 4aî4- 2y = 0,
la surface est un paraboloîde hyperbolique, dont les équations de Taxe sont
"-(8x-+-Ay-f-4)=— 2y4-6«-4-2ir+4=— 24s4-42y + 3.
Exemple V. Jc'-f-2y*-f-4«'— 4y«— îajy-hïo?— 2y — 4=aO. Les équations qui déterminent le centre sont
aj — y-|.4 = 0, 2y — 2« — 05 — 4 = 0, y — 2« = 0.
En ajoutant les deux premières membre à membre, on obtient la troisième; donc la surface admet pour centres tous les points de la droite a7=2s— 4, y=: 2«; sa trace sur le plan.XOY est Tellipse
iB*+2y* — 2a5yH-2aî — 2y — 4 = 0.
Ainsi, la surface est un cylindre elliptique.
TROISlèME MÉTHODE.
^•4-7^Cette méthode est basée sur certaines transformations que Ton peut faire subir à une fonction du second degré à trois irariables^ et elle revient, comme nous le verrons, à
une tFamfonnaUon de coordonnées. Dans ce qui iuit^ les lettres a, b, c, k désigneront des quantités oopstantes, et les lettres cl, p, y des fonctions linéaires d'une on d^ pli^sieurs des yariables x, y, fi.
Considérons en premier lieu un polynôme du second degré à une seule variable x,
" (I) Aa?*+Bx + C;
le coefficient A étant dilSfêrent de zéro^ on peut écrire le polynôme
et^ par conséquent^ le ramener à la forme
Soit maintenant un polynôme du second degré à deux variables
(3) kx^+Bxy-hCy^-hDx-hEy + F,
4ans lequel nous supposerons d'abord que l'up des coefficients de x^ et de j/S C par exemple^ n'est pas nul* Le polynôme (3)^ est du second degré par rapport à y, en l'ordonnant par rapport à cette variable^ on a
Cy« -h (Bo; 4- E) ï 4- Aoî* H- Da? -h F, ou
La seconde partie Aag*-4-Da?4-F — ^ ^ft ^ est un poly-
nôme en xéu second ou du premier degrés ou une constante. Si elle est du second degré, on la mettra sous la forme b^^-hk; ainsi, lorsque le coefficient C n'est pas nul, on peut réduire le polynôme (3) à Tune des formes
(4) aa*-f-6p«4-A,
(5) aa»+p,
(6) aa«-f.*. V
Lorsque les deux coefficients A et C sont nuls à la fois, B est
DISCUSSION DIS ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. SOS nrraiwiirfflnwit différtbt de léro, et l'on a
Bxy + Da; -H Ey 4- F = a; (By + D) + Ey -H- F ^(«^ + |)(By+D) + (F-^);
le polynôme prend la forme
(7) ap + *.
11 est bon de remarquer que la forme (7) se ramènç à la forme (4); car oa a identiquement
Les polynômes -^ ^ ^ contiennent toutefois les deux
variables x et y, tandis que dans le polynôme (4) la fonction ^ ne renferme que \% tariable x.
Considérons enfin un polynôme à trois variables
(8) Aa?*-hA'y*-(-A"«*+2By«4-2B^&r-+-aB''<ïf + %{:x + iCJy + 2ÇJ'% + Y^
et supposèna que Tun des carrés, s* par exemple, ait son coefficient diflérent de aéro. En ordonnant par rapport à je, on a
A'^j5*+2 (By-4-B' aî-hC" ) z-h Aa?*4-A'y*-|-2 B"ic»-|-2 Ca?+2 C'y-hF, ou
La seconde partie est un polynôme du second ou du premier degré par rapport aux variables a? el y ou une constante; si elle est du second degré^ on la mettra sous Tune des formes (4), (5), (6); ainsi le polynôme (8) prendra l'une des formes
(9) a(3t«-+-6fi*-trCY*-f-*,
(10) aa'4-&p*H-y,
(11) aa*-h6^* + *, {12) aa*4-fi,
(i3) aoL^ + k.
Lorsque les trois coefficients A, A^^ A^^ sont nuls à la fois.
Tun au moins des coefficients B, B', B^^ par exemple B, est
différent de zéro; alors on a
= 5{2By-H2B'x + 2C'0 / B'^ C^\
2Ca;-h2C'y + 2C''js-f-F 2B''j;y + 2Ca? + 2C'y-+-F
2B'aJH-2C0-H2Cfl5-hF
•BOB— i^v^-a I
La seconde parlic étant un polynôme en x du second degré au plus, le polynôme proposé peut être ramené à Tune des
formes
(i4) a[i + CY'-+-ft,
(i5) aJi-Hy,
(i6) afi^-A^
Si Ton remplace le produit afi par ( -\ — {^ -\ » les
formes (i4), (id), (i()) se ramènent aux formes (9), (10), (11). % SUS— Cela posé^ lorsque Ton donne une équation numérique du second degré, on commence par ramener le premier membre de cette équation à Tune des formes précédentes, et il est facile d'en déduire l'espèce de la surface. Considérons, par exemple, le cas où Téquation peut être mise sous la forme
(17) aa«H-6p*+cy'H-ft = o.
Imaginons que Ton effectue une transformation de coordonnées
en prenant pour plans des j/z^^ des z'x/y et des xfyf les plans définis par les équations a=o, P=o, y=o.
D'un point quelconque M de l'espace (fig. 297) abaissons une perpendiculaire MN sur le plan X' (V Y' et menons MI parallèle à (W ; désignons par x^ y y z les anciennes coordonnées du Fig. 297. point M, par xf.^yZ' les coordonnées
nouvelles, par 6 l'angle des deux droites MN, MI, angle qui est le même pour tous les points de l'espace, et soit enfin y==:ma?-+-ny-*-pz + ç. La perpendiculaire MN a pour ex-
DISCUSSION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. VM pression dans le premier système de coordonnées (n* 4a8)
et dans le second
MN==±z'co86.
Dans chacune des formules^ le signe du second membre change lorsque le point M passe d'un côté du plan X'OY^ àTautre;
si donc on appelle h le produit cos6Vm*-t-n*+p*, affecté d'un signe convenable^ on aura pour tous les points de l'espace la relation Y = A5j'. On démontrerait de même les relations ^ = gy^f oL = fx^. Il en résulte que Téquation de la surface^ par rapport aux nouveaux axes^ est
(i8) apx'^-i-bg^yf^-hch^z'^-hk^o.
La surface est une surface à centre unique^ et les nouveaux plans des coordonnées sont trois plans diamétraux conjugués. L'espèce de la surface est indiqué immédiatement par les signes des coefficients a, b, c, k.
566 — Remarque I. La transformation des coordonnées suppose que les plans définis par les équations a = o, p=o, y=o se coupent en un point unique. Cette condition peut n'être pas remplie^ lorsque les fonctions linéaires a, p, y ^^^^ prises arbitrairement ; mais elle l'est toujours lorsque ces polynômes proviennent de la transformation d'une fonction du second degré d'après la méthode indiquée.
Remarque IL Lorsque les trois coefficients a, b, c n'ont pas le même signe^ la surface est un hyperbolo'ide; si, dans l'équa* tion (i8)^ on supprime le terme constant k, on obtient l'équation da cône asymptote par rapport aux nouveaux axes; on en conclut qu'en supprimant la même constante k dans l'équation (17)^ on obtiendra l'équation du cône asymptote par rapport aux axes primitifs.
Remarque IlL Lorsque a et 6 sont positifs^ ceik négat|fs> la surface est un hyperboloïde à une nappe. Si l'on pose c = — c^, k= — k^, cette équation devient
les deux systèmes de génératrices rectilignes sont donnés par
«06 LIVRE VI, CHJO'ITRfi VL
les équ^itons
aVS-.yVcT=i(VÂ;~PVft), aVs-yV^=^(V*;+pV6).
dans lesquelles "i ei [l sont des paramètres arbitraires.
56y — Lorsque le premier membre de l'équation se réduit à la forme (lo), on reconnaît par la même transformation que la surface est un paraboloïde, elliptique ou hyperbolique, suivant que les coefficients a et 6 ont le même signe ou des signes contraires. Dans ce dernier cas, si Ton suppose a positif, b négatif et égal à — 6^, on voit que les deux systèmes de génératrices rectilignes sont définis par les équations
Ai {*•
les droites du premier système sont parallèles au plan
aVâ-f-pV5^=o, celles du second système au plan
aVâ — PV^=o;
I^ensemUe des deux plans directeurs est représenté par IV quation aa* — 6^ ^* =; o, ce qui est conforme à It remarque du n^56o.
Lorsque le premier membre se réduit à la forma (li), en prenant pour nouveaux plans des coordonnées les deux plans «=0, ^=0, et un troisième plan non parallèle a ladrmta d'intersection des deux premiers, on voit que la surface est un cylindre elliptique ou hyperbolique. La forme (12) correspond au cylindre parabolique, et la forme (i3) au système de deux plans parallèles.
Les formes (14)9 (i5), (16) se ramènent aux précédentes; mais cette réduction n'est pasi nécessaire. On voit directement que la fonne (i4) donne un hyperboloïde à une nappe, si cet i ont des signes contraires, un hyperboloïde à deux nappes s'i)^ ont le même signe, Dans le premier cas, soit c positif,
