P~ — OF"" OP

Si Ton appelle a ce rapport constant^ Téquation de la droite

est - = a ou y = cm;. Supposons enfin que la droite^ sans être

parallèle à Fun des axes^ ne passe pas par l'origine (fig. 40); une parallèle à cette droite menée par Torigine aura pour équation^ d'après ce qui précède, y = (U?; or, Texcès de Tordonnée de la droite proposée sur l'ordonnée correspondante de la parallèle est une quantité constante h; donc la droite proposée a pour équation y = ax + 6.

SIONIFIGATION DES COEFFICIENTS.

0M — L'équation de toute droite non parallèle à Taxe des y peut être mise sous la forme

La constante h est Tordonnée du point H (fig. 40) où la droite coupe Taxe des y; on rappelle ordonnée à Y origine.

La constante a ne dépend que de la direction de la droite; elle est la même pour toutes les droites parallèles; on rappelle coefficient angulaire ou de direction. Menons par Torigine une demi-droite OA parallèle à la droite proposée et située par rap* port à Taxe X^X du même côté que la demi-droite OY. Appelons 8 Tangle des axes^ a Tangle de OA arec OX^ angle qui peut yarler de o à ir ; on a^ dans la disposition de la figure 40y

fl ^ y ^ MP ^ sinMOP sina x~ OP"^sinOMP "" sin (9 — a)*

et^ dans celle de la figure 41^

y MP sinMOP sina sina

X — OP — sinOMP"" — sin(a — e)""sin(0 — a)'

on a donc^ dans tous les cas^

. . ^ ' 8Ui(6 — a) i

Quand les axes sont rectangulaires, cette relation se réduit à

(4) tanga = a,

et détermine Tangle a, que fait avec Taxe OX la direction OA. Quand les axes sont obliques, de la relation (3) on déduit la formule i

(5) tanga = — ; z-

^ ' ^ H-acos6

Cette formule n'étant pas calculable par logarithmes, pour obtenir l'angle a au moyen des tables, on la transforme de la manière suivante. On a, en effet,

a — I sina — sin(9 — a) ^\ 2/

a + I "" sina + sin (6 — a) . ô

tang-

d'où (6) tangua — -j==^=ilang-.

92 — Lorsqu'on veut construire la droite représentée par une équation du premier degré à coefficients numériques^ on cherche ordinairement les points où elle coupe les axes, et on fait passer uue droite par ces deux points.

Soit, par exemple, l'équation 2a? — 3y = 5; pour y = 0, on a a; = I ; pour a? = o, y = — - f ; on portera, à partir de l'origine sur Taxe des x, la longueur | dans la direction OX, sur Taxe des y la longueur f dans la direction OY^

Quand l'équation ne renferme pas de terme constant, la droite passe par l'origine. On en détermine un second point, en donnant à x une valeur particulière; soit, par exemple^ l'équation 2y 4- 3ic = o; l'équation étant vérifiée pour x = o, y = o, la droite passe par l'origine; si Ton fait a? = 2, on a y = — 3; construisant le point qui a pour coordonnées a? = 2, y =—-3, on obtiendra un second point que Ton joindra à l'origine.

—L'équation générale de la ligne droite

Aa? + By-4-C = o

renferme deux coefficients ou paramètres arbitraires; car on peut diviser Téquation par Tun des coefficients, et il restera les rapports des deux autres coefficients à celui par lequel on a divisé. Quand on metTéqualion sous la forme y = ax-{-by ces deux paramètres sont a etb. Pour fixer la position de la ligne droite dans le plan, il faudra donner les valeurs des deux paramètres, ou deux équations entre ces deux paramètres servant à déterminer leurs valeurs.

PROBLÈME I

•4 — Trouver l'équation générale des droites qui passent par un point donné.

Appelons x' et t/ les coordonnées du point donné M. L'équation d'une droite quelconque est

y=zax-\-b.

Pour que cette droite passe par le point H, il faut que les coordonnées de ce point vérifient l'équation de la droite; si donc on remplace les coordonnées variables x ety par les coordonnées a/ et 2/ du point M, on aura l'équation de condition

y^ = ax^-{-b.

Cette relation entre les deux paramètres a et 6 détermine l'un d'eux en fonction de l'autre, par exemple le paramètre 6 en fonction de a; en remplaçant dans l'équation de la droite 6 par sa valeur y' — aa/ tirée de l'équation de condition, on obtient l'équation

L'équation (7), dans laquelle le coefficient angulaire a est arbitraire, représente toutes les droites qui passent par le point H. Quand on fait varier le paramètre a, la droite tourne autour dn point H.

Nous avons supposé que toute droite est représentée par une équation de la forme y = ax'hby quelle que soit sa position dans le plan. Cependant il y a une exception, c'est lorsque

s» LIVRE n, CHAPITRE I.

la droite est parallèle à Faxe des y ; car, dans ce cas^ le coefficient angulaire a est infini^ ainsi que rordonnée à Torigine b. Cependant^ si dans Téquation (7) on remplace a par le rapport

— t qu'on mette Téquation sous la forme

et qu'on fasse ensuite n = o, on obtient Téquation x=a/, qui représente la parallèle à l'axe des y, menée par le point Bf •

PROBtÈHB II.

65— Par un point donné mener une droite parallèle à une droite donnée.

Soit y = ax-{-b l'équation de la droite donnée AB, oc^ et

T/ > î^ les coordonnées du point donné M

(âg. 4^). La droite demandée devant

passer par le point donnée son équation^

comme nous l'avons dit, sera de la forme

fô r y'-t/ = a^(X'-a/).

ï'iir- ^' Cette droite devant être parallèle à la

droite AB^ son coefficient angulaire a' sera égal au coefficient angulaire a de la droite AB; on aura donc a^=^a, et la parallèle demandée CD sera représentée par Téquation

PROBLÈME ni.

66— iHen^r une droite par deu^ points donnés.

Soient M et M^ (fig. 43) les deux points donnés^ x^ et y^ les

coordonnées du point M^ x" et y^^ celles du point M^ La droite MH^ passant par le point H^ est représentée par une équation de la forme

il s'^agit de déterminer le coefficient a, de manière que cette droite passe aussi par le point H^ Il faut pour cela que les coordonnées du point M^ vérifient l'équation (7), ce qui donne la relation

d'où roû déduit

On voit que le coefficient angulaire de la droite MM' est égal au rapport de la différence des ordonnées à la différence des abscisses des deux points donnés. Si, dans Téquaiion (7), on remplace a par sa valeur^ on obtient Téquation de la droite MM'^

équation que Ton peut mettre sous la forme

X — od y — y'

Lorsque le point M est à l'origine^ on a o^' = o, y' = o> et réquation (8) se réduit à '

919 — Il arrive souvent que la droite est définie par les points T/ Â et*B où elle coupe les axes (flg. 44); ap-

pelons a l'abscisse du premier point, 6 Fordonnée du second, et soit

^' ^ ' Aa;-+-By+C = o

"^ réquation de la droite cherchée. Si Ton y fait successivement y = o et a? = o, on ob- Fig- ^- tient les points où la droite coupe les axes;

on a ainsi a=— t» 5=— rr; d'où A= » B=— v-'En

A B ah

remplaçant A et B par leurs valeurs, on met l'équation sous la

forme simple

PROBLÈME IV

6§ — Trouver le point d'intersection de deux droites données.

Soient

Aaî-hBy + C =0,

les équations de deux droites données AB et CD (fig. 4^), M le

point d'intersection de ces deux droites, i Le point M appartenant à chacune des droites, ses coordonnées yérifient à la fois les deux équations; si donc on résout ces deux équations simultanées à deux inconnues X et y, on obtiendra les coordonnées du point M,