BC^-CB^ CA^ — AC
^""AB' — BA'' ^*~AB-^Ba'
Quand le dénominateur AB' — BA^ est différent de zéro, les formules donnent pour x et y des valeurs finies et déterminées et les deux droites se coupent efléctiTement en un point M. Mais quand le dénominateur AB' — BA' est nul, sans que les numérateurs le soient, on obtient pour x et y des valeurs infinies; ceci indique que les deux droites proposées sont parallèles; et, en effet, dans ce cas elles ont leurs coefficients angu-
laires égaux — ^ = — ^. Si Ton a è la fois j-=— = ^, les
deux numérateurs sont nuls en même temps que les dénominateurs, et les valeurs de x et de y se présentent sous la forme -;
il y a indétermination, et, en effet, les deux droites proposées
A' B' C coïncident; car, si Ton pose -- = ^ = 77 = *, d'où A' = A *,
6^= Bt, G= Ci, que Ton remplace dans la seconde équation, et que Ton divise par k, cette équation devient identique à la première.
PROBLÈME V
%9— Trouver F équation générale des droites qui p€tësent par le point d^intersection de deux droites données.
Soient
(10) Aa?-+-By-4-C =0,
les équations des deux droites données. On pourrait traiter la question en cherchant les coordonnées du point d'intersection des deux droites par la résolution des équations (10) et (i i), et
LIGNE DROITE. 6i
faisant passer use droite quelconque par ce point (n"" 64). Mais on arrive au même résultat par une marche beaucoup plus rapide.
Si Ton ajoute membre à membre les deux équations (lo) et (il), après avoir multiplié Tune d^elles par une quantité arbi^ traire \ on obtient une équation du premier degré
(12) (Aa;-f-By-|-C)-h^(A'a;-hB'y-f-CO = o,
qui représente une troisième droite passant par le point d'intersection des deux premières; et, en effet, les coordonnées de ce point, vérifiant à la fois les deux équations (lo) et (ii), annulent les deux parenthèses, et, par conséquent, satisfont à l'équation (12). Cetteéqualion (i2),danslaquelielecoefficient>. est arbitraire, représente toutes les droites qui passent par le point d'intersection des deux droites données; car, on peut déterminer ce coefficient de manière que la droite passe par un point quelconque H du plan, ayant pour coordonnées a/ et y' ; il suffit pour cela que Téquation de condition
soit vérifiée, ce qui donne
^'^' ^"~ A^a/-hB'2/'-hC'' Quand on fait ^=0, Téquation (12) devient Ax4-By-l-C=o;
c'est la première droite. Si Ton remplace X par — « et qu'après
avoir multiplié par n, on fasse n = o, on a la seconde droite A'j? + B'y + C'=o.
Si, dans Féquation (12), on remplace 1 par sa valeur (i3), on obtient Téquation
. Aa; + By4-C __ A^x-hWy-hC^ ^^^^ Ax^4-By/4-ry""A^ic^-t-B^y^-+-C'
qui représente la droite passant par le point M et le point d'intersection des deux droites données. Les numérateurs sont les premiers membres des équations des deux droites données, les dénominateurs les valeurs de ces polynômes, quand y on remplace xeïy par les coordonnées du point donné. On reconnaît immédiatement, à Tinspection de cette équation, que la droite
6i LIVRE II, CHAt>iTRE I.
qu'elle représente passe par le poiot donné et par le point d'ioii tersecUon des deux droites données.
Une équation du premier degré en a? et y contenant un pai ramètre arbitraire X représente une infinité de droites ; lorsque ce paramètre n'entre qu^au premier degré dans Téquation, oi; peut mettre Féquation sous la forme (i^)^ on voit alors qu< toutes les droites passent par un même point, le point d'intersection des droites (lo) et (ii).
PROBLÈME ^1
y O — Reconnaître si trois points sont en ligne droite* Soient M, Mf, BF' les trois points donnés, xf eiyf les coordonnées du premier point, a/' et \f celles du second, œ^'^ et y"^
celles du troisième (fig. 46). Les coefficients angulaires des droites MM^, MM"
soiï* i^czj' a^n^^j (û' 66); quand
les trois points M, M^, M'' sont en ligne droite, les deux droites MM^, MM'' coin- T\g. 46. cident, leurs coefficients angulaires sont
égaux, et Ton a la relation
PROBLÈME VU
7%.^ Reconnaître si trois droites passent par un même point.
Soient
Aa;-f-Bî/4-C E=o^
les équations des trois droites données. On cherchera le point d^intersection des deux pfemières droites, et on substituera les coordonnées de ce point dans la troisième équation.
On peut aussi traiter la question par une autre méthode; L'équation
représente toutes les droites qui passent par le point d'inler-
LIGNE DHOITË. 63
section des deux premières droites; si la troîsièfne droite passe par ce points on doit pouvoir déterminer le paramètre 'kj de manière que TéquatioD précédente représente cette troisième droite; pour que deux équations représentent une mAme droite^ il est nécessaire que les coefficients soient proportionnels; on a ainsi les deux relations
A + XA/ B + ^B' C-hia
if
à une inconnue >.. L'élimination de cettç inconnue conduit à une équation de condition.
7S — Considérons^ par exemple^ les trois médianes d'un tri-
y^ angle OAB (fig. 47) ; prenons le sommet
yi( 0 pour origine, les deux côtés OA et OB
y/ \ pour axes des coordonnées, et dési-
y^^^TL^^^^ gnons par a et 6 les deux longueurs OA
y/^-^^^/y^ ^^ OB. La médiane AE, coupant les
* ^ * axes à des distances a et - de Tori-
gine, a pour équation
de mAme^ la médiane BF a pour équation
Le point D, milieu de AB, a pour coordonnées OF = - » OE = -;
la droite 00, qui va de l'origine à ce point, est représentée par l'équation
En résolvant les deux premières équations, on obtient les
coordonnées a; = ^« i^ = q* du point d'intersection G des deux
premières médianes AE et BF. Ces coordonnées vérifiant la troisième équation, on en conclut que la troisième médiane passe aussi par le point G.
On voit d'abord immédiatement que les trois médianes passent par un même point ; car^ si Ton retranche les deux premières équations membre à membre, on obtient la troisième. 9^3 — Comme exemple de trois points en ligne droite, considérons un quadrilatère OâCB (fig. 48); si l'on prolonge les
quatre côtés indéfiniment
on forme ce qu'on appelle
un quadrilatère complet; les
côtés se coupent deux à deux
en six points ou sommets;
en joignant les sommets op-
A' T posés, on obtient trois dia-
Fig. 48. gonales AB, A'B', OC ; nous
allons démontrer que les trois points D, E, F, qui divisent ces
diagonales en deux parties égales, sont en ligne droite.
Prenons les côtés OA et OB pour axes des coordonnées; désignons par a et a^ les deux longueurs OA et OA', par b etV les deux longueurs OB et OB'. Le point D, milieu de AB, a pour
ri h
coordonnées a/ = — » 2/^ = — Le point E, milieu de A'B', a
pour coordonnées x" = -'9 y"z=-— Pour avoir les coordon-
nées du point F» milieu de OC, cherchons celles du point C, intersection des deux droites AB', A'B, qui ont pour équations
En résolvant ces deux équations simultanées, on obtient les coordonnées du point C,
gg' (b — V) bV (a — gQ ^— a6 — g'6' ' ^^ ab — a'b''
Le point F étant le milieu de la droite OC, ses coordonnées a;'", ^'^ sont les moitiés de celles du point C; on a donc
gg' {b — V)
Ayant les coordonnées des points D, £, F, on reconnaît aisément que les trois points sont en ligne droite. Les droites DE
LIGiNE DROITE. 65
rt DF ont pour coefficients angulaires
bV [a — gQ .
y" — y' ^ y — b yf^' — y' ab'-a'b' V — b^
x'—xf a' — a )d" — xf'^aa'(b — y) ~a'—a'
ab — a'bf ^
ces deux coefficients angulaires étant égaux entre eux^ on en conclut que les trois points D^ E, F sont en ligne droite.
PROBLÈME YIII.
74 — Trouver V angle de deux droites:
Soient y = aa5-h6, y = afx-hV^ les équations de deux
droites données. Par Torigine^ et du côté de Taxe X^X où se trouve OY, menons des demi-droiles OA et OA^ parallèles aux droites données (fig. 49) i appelons a et et! les angles que font ces directions avec OX, V Tangle qu'elles Fig. 49. font entre elles, et, pour préciser, sup-
posons af> a. On a évidemment \ = (x/ — a, d'où
° 1-l-tanffalanffa'
tanga tangi
Quand les axes sont rectangulaires, on sait que
tanga = a, tanga< = a'; si Ton substitue dans la formule précédente, il vient
(i6) tangV =
. Quand les axes sont obliques, on a (n"" 6i) :
asinô , , a'sinô
tanga == — ; s» tanga' = — ; — -, t*
^ i-f-acosô ° iH-a'cosô
et, par suite,
/ V i \T (a'— a)sin8
De ces formules, on déduit la relation qui existe entre Itef coefficients angulaires de deux droites perpendiculiaires entre elles. En effet, quand Tangle V est droit, sa tangente devenant
infinie, on a, si les axes sont rectangulaires,
(i8) n-aa' = o,
et, si les axes sont obliques,
(19) i-f- aal H- (a + d) cosô = o.
PROBLÈME IX
Tft — D'tin point donné abaisser une perpendiculaire sur une
droite donnée, et trouver la longueur de cette perpendiculaire.
Soit
(2) y=zax-^b
réquation de la droite donnée AB, ocf et y' les coordonnées du Y point donné H (fig. 5o). Supposons d'abord
les axes rectangulaires. Une droite quelconque passant par le point H a une équation de la forme (n® 64)
Fig.w. Pour que cette droite soit perpendicu-
laire à la droite AB, il faut que la relation (n» 74) i -f-aa^=o
soit vérifiée; d'où Ton déduit 0'= • En remplaçant a' par
sa valeur, on obtient l'équation de la perpendiculaire MP
« (20) y-y'=--^[x^xl).
On trouvera les coordonnées a? et y du pied P de la perpendiculaire, ou le point d'intersection des deux droites AB et HP, en résolvant les deux équations simultanées (2) et (20) ; mais nous préférons chercher les différences x — xf et y — j/'; réquation (2) peut être mise sous la forme
y — y^z^aix — x') — (y'— aoc^ — 6);
si> dans cette équation, on remplace y — y^ par sa valeur donnée par réquation (20), on trouve
/ a{y^ — ax^—b)
et, par suite, en vertu de Téquation (20),
, yf—ax^ — b
En appliquant la formule de la dislance de deux points (n** 55), on obtiendra la longueur l de la perpendiculaire MP,
dou (21 i = ±^-n=== —
On prendra le signe de façon que Ton ait pour l une valeur positive. Il est aisé de voir que le numérateur est positif ou négatif, suivant que le point M est placé par rapport à la droite AB du côté des y positives ou du côté des y négatives» En effet, soit N le point où la droite AB est rencontrée par la parallèle à Faxe des y menée par le point H; le point N étant sur la droite AB, l'ordonnée y^ de ce point est égale à aa/-f- 6, de sorte que la formule {21) devient
VU- a*
La différence y' — yx est positive dans le premier cas, négative dans le second cas.
On aurait pu obtenir immédiatement la longueur de la perpendiculaire sous cette dernière forme, en remarquant que le triangle rectangle MNP donne
MP = MNsinMNP =±{^ — Vd cosa =± ^'~^'-
TS— Supposons maintenant les coordonnées obliques; les droites AB et MP seront perpendiculaires si leurs coefficients angulaires a et a! vérifient la relation n-aa'+(a+aOcos8=o,
d'où l'on déduit a^=— ^"^^^^^ . L'équation de la perpen-
a + cos6 ^
diculaire MP est donc
/ x j I + a cosô . „ (22) V — v'= K-i'^x^ — ^)*
En résolvant les deux équations simultanées (2) et (22), on
obtiendra les coordonnées a; et ^ du point P; si, comme précédemment, on cherche les différences x — a/,y — y^, on trouve
(î/' — aj/ — 6) (a 4- cosô)
i-f-o'-|-2acos9
/ __ (y^ — aa/ — 6)(i + aco5&) .
-^ -^ i4-a*-4-2acos6 '
substituant ces différences dans la formule de la distance de deux points (n* 56)
I = V(£c — x'y-h (y — 2^0* -f- 2 (X — xO (y — y') cosO, on a
f±{y^ — 0^ — 6)V(aH"Cos9)*-f-(iH-flcos9)'-— 2(a4-cos9)(i-|-acos6)<
i-haacosG-Ho*
En développant les calculs, on voit que la quantité placée sous le radical contient le facteur i — cos'6 ou sin'ô, et s'écrit
(i + 2a cosô-f- a*) sin*8; il en résulte
(23) j^^(y'-a^'-b)sinh
Vi-l-2acos6-ha*
Le numérateur est positif ou négatif suivant que le point M est placé par rapport à la droite ÂB du côté des y positives^ ou du côté des y négatives. On prendra le signe de façon que Ton ait pour { une quantité positive.
yy — Dans ce qui précède, nous avons supposé l'équation de la droite donnée mise sous la forme y = ax-hb.Si celte équation avait la forme générale
(i) Ax-i'By-hC = o; le coefficient angulaire a de la droite donnée étant égal à
— g^» on aurait dans le cas des coordonnées rectangulaires
a' = = -T^ » et la perpendiculaire abaissée du point M serait
représentée par l'équation
on plus simplement
La formule (21), dans laquelle on remplace a et 6 par leurs
valeurs — ^^ —0' devient
(,5) i = ^!^jfiM±^.
Cette formule exprime la distance d'un point à une droite en coordonnées rectangulaires : le numérateur est le premier membre de Téquation de la droite, dans lequel on remplace x el y par les coordonnées du point; le dénominateur est la racine carrée de la somme des carrés des coefficients de x et de y. Quand les axes sont obliques^ on a
/ B — Acos6
^""A-BcosS'
l'équation de la perpendiculaire est
f «\ Jg — xf y — y'
^^^f A — Bcos6""B — Acosô'
et la formule (23) devient
, , , . (Aa^-hBy'-f- C)sin6
VA'+B*— 2ABcose
Il est aisé de reconnaître le signe du numérateur, suivant la position du point M par rapport à la droite AB. Soit N (flg. 5o) le point où la parallèle NQ à Taxe des y rencontre la droite AB; pour le point N, l'expression Ax -l- By -4- C est nulle; quand le coefficient B est positif, si Ton marche dans le sens des y posi- Uves, le terme By augmente, et la fonction prend des valeurs positives de plus en plus grandes) si Ton marche dans le sens apposé, elle prend des valeurs négatives. C'est le contraire qui ^ lieu, lorsque B est négatif.
PROBLÈME X
'8— Par le point d'intersection de deux droites données, ^mer une droite perpendiculaire à une droite donnée.
Soient
Ax-hBy-hC =o,
A^x-i-Bfy-hO = o,
A"x-hB"y-hC=:o,
les équations des trois données en coordonnées rectangulaires; toute droite passant par le point d'intersection des deux premières droites est représentée par une équation de la forme
(Aaî-HBî/-hC)-f-7^(A'a;4-B'y + C0 = o;
pour qu'elle soit perpendiculaire à la troisième droite, on doit avoir
d'où Ton déduit
A^7A + ^A0 .__ AAM-BET
en remplaçant 7. par sa valeur, on obtient l'équation de la droite cherchée
(28) (A'A''-f-B'B") [Ax 4- By + C) = (A'^A+B'^B) (PJx-^Wy+C). 79— Les trois droites données forment un triangle dont les sommets sont les points d'intersection de ces droites deux à deux; l'équation (28) représente la perpendiculaire abaissée de Fun des sommets sur le côté opposé. En permutant les accents, on aura les équations des perpendiculaires abaissées de chacun des deux autres sommets sur le côté opposé :
(A"A + B"B)(A'ic-hB^y4-C0 = (AA' -hBW ){k'x+B'y-hC''), (AA^ + BBO (X"x+li"y'hC) = (A'A^'-h B'B'') (A x-^B y-hC ).
On voit qu'en ajoutant les deux premières équations membre à membre, on obtient la troisième. On en conclut que les trois hauteurs d'un triangle passent par un même point.
PROBLÈME XI
^O— Trouver le lieu des points également distants de deux points donnés.
Supposons les axes rectangulaires et soient a/ et y^, x^ et y" les coordonnées des deux points donnés. Si Ton désigne par X ei y les coordonnées d'un point quelconque du lieu. Té-
quation du lieu sera
(X — a/)» + (y — y')*={x — »")»-+- (y — y"j% ou plus simplement
(29) {ar~a/)(x-^^±^ + (f-y')(y-^±^ = o.
Ce lieu est une droite perpendiculaire sur le milieu de la droite qui joint les deux points donnés.
PROBLÈME XII
Sfl. — Trouver le lieu des points également distante de deux droites données.
Nous supposons encore les axes rectangulaires; soient
Xx-hBy-i-C =0, A'a? + B'y + C'=o,
les équations des deux droites données. Si Ton désigne par x et y les coordonnées d'un point quelconque du lieu^ Féquation du lieu sera
,^ , Ax + By-hC A^x + B^y-hG
(ÔO) ■ ■ : = -h , ■= •
A cause du double signe^ cette équation représente deux droites^ qui sont les bissectrices des angles formés parles deux droites données.
