ÉQUATION DE LA LIGNE DROITE EN COORDONNÉES POLAIRES
8S— Soit 0 le pôle et OX Taxe polaire. On peut déterminer la position d'une droite AB par la longueur a de la perpendig culaire OD abaissée de Torigine sur cette
^M droite (fig. 5i), et par Tangle a que fait
^ cette perpendiculaire avec Taxe polaire^
\ cet angle étant compris entre o et 2ir. Ap-
y '■" ^^ . pelons p et to les coordonnées d'un point
\ quelconque H de la droite; en projetant Fi«&i* le rayon yecteur OM sur la perpendicu*
laire 0D> on a
(3i) pcos(w — a) = a,- ou p = ■: ••
^ ' " ^ ' ^ cos (w — ol)
n LIVRE II, CHAPITRE I.
Cette équation est de la forme
^ Acosco + Bsinw
Réciproquement, toute équation de cette forme représente une droite; car si Ton revient aux coordonnées rectilignes^ en prenant Taxe polaire pour axe des Xy et une perpendici^Iaire menée par le pôle pour axe des y, Péquation se met sous la forme kx-\-By = C.
AUTRE FORME DE l'ÉQUATION d'UNE DROITE.
83— L'équation (3i) développée devient
p coscd cosa 4- p sinco sina = a,
ou, en coordonnées rectilignes rectangulaires,
(33) a? cos a 4- y si n a — a = o.
L'équation de la droite étant mise sous cette forme, le premier membre a une signiflcation géométrique très-simple. Considérons un point quelconque M du plan, ayant pour coordonnées polaires p et (ô, et pour coordonnées rectilignes xeiy; de ce point abaissons une perpendiculaire MP sur la droite AB (fig. 52). La projection du rayon vec- Fig. 62. ' teur OM sur la droite OD est p cos(cd — a); mais cette projection est égale à OD, augmentée ou diminuée de la perpendiculaire PM, suivant que le point M et Torigine O sont situés de part et d'autre de la droite ou du même côté; si donc on désigne par p cette perpendiculaire, affectée du signe -fdans le premier cas, du signe — dans le second cas, on aura, d'une manière générale,
a -f- p = p cos (o) — a) = a: cosa + y sina, d'où p = a? cosa -f- y sin a — a.
Ainsi, le premier membre de l'équation (33) représente la distance d'un point quelconque du plan ayant pour coordonnées o; et j/ à la droite définie par cette équation, distance affectée d'un signe convenable.
Il est facile d'en déduire les coordonnées x. et y^ du pied P le la perpendiculaire; les différences x — x^,y — y^ étant les [projections de la droite PH sur les deux axes^ on a
X — a?j =p cosa = (x cosa -f- y sîn a — a) cosa, y — yi=p sina= (xcosa-i-y sina — a) sîna.
La forme (33), sous laquelle on peut toujours mettre Téqualion de la droite, est utile dans un grand nombre de questions.
