MP — N

Quand x augmente indéfiniment, le dénominateur augmente indéfiniment, et par conséquent, la différence y^ — y tend vers zéro. La droite CL, dont s'approche indéfiniment la branche de courbe A'^M, est dite asymptote de cette branche de courbe qui est comprise dans l'angle LCIV. On verrait de même que les branches A"M^, A'N, A! "S* sont comprises dans les angles L^CD', H^CD, HCD et ont pour asymptotes les droites CU, CH', CH. Ainsi la courbe est comprise dans les deux angles opposés par le sommet LCIV, HCH', et chacune des droites indéfinies HL, H'L' est asymptote à deux branches de courbe.

Si l'on met Téqualion (i) sous la forme (3), et que Ton néglige le terme constant^ on obtient une équation

(6) (aCy+Boî + E)*— M(a; + ^y=o,

qui représente les deux asymptotes. Il est bon d'observer, en outre, que les coefficients angulaires de ces deux droites sont donnés par l'équation

(7) m=-i±^VBÏ^^4ÂC,

OU Cm*-hBm4-A = o,

que l'on obtient en remplaçant dans les termes du second degré de l'équation (i) x par i et y par m. lis— 2^ N*— MP < G. Le trinôme

étant la somme de deux quantités positives, la valeur de Y est réelle pour toutes les valeurs de x et ne s'annule jamais; Y

acquiert sa valeur minimum =— pour a?=— îî- Soit I

2CVm m

N [fig. 70) le point de Taxe des x dont Tabscisse est — — ; menons IC parallèle à Taxe OY et prenons les longueurs CB et CB' égales D' à la valeur minimum de Y; les deux points B^ et B'' appartiennent

N au lieu. Quand x varie de — tj à

-hoc>, ou de — jTj a — 00, la valeur de Y croit indéfiniment; si donc par les points B' et B"^ on mène des parallèles au diamètre Diy^ on voit que la courbe se compose de deux branches infinies situées en dehors des parallèles. On donne encore

à cette courbe le nom d'hyperbole.

N Si Ton attribue à x les deux valeurs x= — u^^f ce qui

revient à porter à partir du point I les deux distances IP=IQ = a, les valeurs correspondantes de Y sont égales; il en résulte que le point C est centre de la courbe^ et que les deux droites DD', IC, sont deux diamètres conjugués. On reconnaît également que les deux droites

qui se coupent au centre, sont asymptotes des branches infinies.