GENRE PARABOLE

M.20 — Supposons enfin que le coefflcient M soit nul. La valeur de Y se réduit à

Y = -^V2NxTP.

Nous subdiviserons ce cas en plusieurs autres.

I® N > o. Si Ton pose ^ =a/, on aura

Y=4tV2N(x — a;0.

Quand x varie de a?^ à + oo , la quantité Y est réelle et varie

de o à -f- 00 ; mais elle est imaginaire pour les valeurs de x inférieures à o/. Si donc, par le point P^ dont Tabscisse est o/, on mène P^A^ parallèle à Taxe des y, on voit que la courbe est tout entière située à droite de cette parallèle; elle est formée d'une seule branche passant par le point Fig. 71. A' et s'étèndant à Tinfîni de part et d'autre

du diamètre DIV (flg. 69); on a donné à cette courbe le nom

de parabole.

2^ N < o. La quantité Y est réelle, quand x varie de o/ à

— Qo; la courbe passe par le point A' et s'étend à Tinfini du

côté des x négatives; on l'appelle aussi parabole. 3^ N = o. La valeur de y se réduit à

'"^ ±:;^VP.

Bx-hË — 2G

Si P est positif, cette équation représente deux droites parallèles au diamètre DD' et situées à égale distance de ce diamètre. Si P = o, ces deux parallèles se confondent avec le diamètre; enfin si P est négatif, l'équation n'a pas de solution réelle.

Dans le cas où H est égal à zéro^ Téquation (i) peut se mettre sous Tune des trois formes

(12) (2Cy-4-Bx-4-E)*H-2Na:4-P = o, (i3) (2Cy-+-Ba;-4-E)*H-P = o, (i4) (2Cy + Bx-f-E)*=o.

1 SI — ^Nous avons supposé dans ce qui précède que le coefficient C est différent de zéro. Lorsque le coefQcient C est nul^ et le coefficient A différent de zéro^ on pourrait résoudre Téquation par rapport à x etconstruire le lieu comme précédemment; le premier terme du trinôme placé sous le radical ayant pour coefficient B% et par conséquent ayant une valeur positive ou nuUe^ le lieu sera du genre hyperbole ou du genre parabole. Mais il est préférable de résoudre Téquation par rapport à la variable qui n'y entre qu'au premier degré; d'ailleurs cette nouvelle méthode est seule applicable quand les deux cocfQ* cients A et C sont nuls à la fois.

En ordonnant l'équation (i) par rapport à y, on a

(Bo: 4- E) y H- Ax' -H Da? -H F = 0,

Ax*H-Da7H-F

doù y

BoîH-E

Supposons d'abord que B soit différent de zéro, et effectuons la division^ en ordonnant par rapport aux puissances décroissantes de X jusqu'à ce que l'on arrive à un reste indépendant de X, Nous distinguerons deux cas, suivant que le reste est différent de zéro ou égal à zéro. Dans le premier cas, on obtiendra un résultat de la forme

y=zax-hb-h Tz rr = ax + b-\-

Bx-i-E X — d Pour fixer les idées supposons c> o. Construisons le lieu auxiliaire défini par l'équation y = ax-hb, et posons Y = -,

L'équation y^zax-hb représente une droite DïV (fîg. 72); pour chaque valeur de x, il faut augmenter l'ordonnée de cette droite d'une quantité QM égale à la valeur de Y. Cette quantité devient infinie pour a: = d; prenons doûc un pointe ayant

pour abscisse d et menons CC^ parallèle à OY. Si Ton donne à x

une valeur d-hx^, oc' étant positif, Y a une valeur positive, et quand x tend vers zéro, Y augmente indéfiniment; si, au contraire,^ augmente indéfiniment, Y tend vers zéro ; on obtient ainsi une branche de courbe comprise dans l'angle C'ID^ et formée de Fig. 72. deux arcs infinis asymptotes res-

pectivement aux deux droites IG et ID'. Aux valeurs de ar inférieures à d correspondent des valeurs négatives de Y, et Ton obtient une seconde branche comprise dans l'angle CID, et formée de deux arcs infinis asymptotes aux droites IC, ID. A deux valeurs de x' égales et de signes contraires, correspondent des valeurs de Y qui sont aussi égales et de signes contraires, et, par suite, deux points M et M' symétriques par rapport au point I, qui est centre de la courbe. Si la constante c était négative, on obtiendrait encore une courbe formée de deux branches infinies; mais ces deux branches seraient situées dans les angles C^ID, CID'. Dans les deux cas, la courbe est une hyperbole.

1!82 — Lorsque le reste de la division est nul, on a

Ax^-^ï)x-hE='-(Bx + E){ax-hb),

et réquation prend la forme (y — ax — 6) (B^r-f-E) = o; elle se décompose en deux autres y — ax — 5 = o, B^ -f- E == o, qui représentent deux droites, dont l'une est parallèle à Taxe des y.

Lorsque A est nul en même temps que C, il suffit de faire dans la discussion précédente a = o; la droite DD' devient parallèle à Taxe des x; on obtient ainsi, soit une hyperbole ayant ses asymptotes parallèles aux axes des coordonnées, soit deux droites respectivement parallèles aux axes.

1133 — Supposons maintenant que le coefficient B soit égal à zéro, en même temps que C. Le coefQcient A est nécessairement différent de zéro, autrement Téquation serait du premier degré. La valeur de y est de la forme y = aa?*H- 6a5 + c;

COURBES DU SECOND DEGRÉ. ii5

elle est réelle quelle que soit la valeur de x; en faisant varier X de — 00 à -f-ûo, on obtient une branche infinie; c'est une parabole.

fl 34— -Remarque. Dans la discussion de Téquation du second degrés nous avons trouvé trois espèces de courbes : des courbes fermées, des courbes formées de deux branches infinies, et des courbes n'ayant qu'une branche infinie. Nous avons appelé ellipses toutes les courbes fermées données par réquation du second degré; hyperboles toutes les courbes formées de deux branches infinies; et paraboles toutes celles qui n'ont qu'une brahche infinie.

Nous avons vu au commencement de cet ouvrage (liv. I, chap. Il) que les courbes désignées par les mêmes noms en Géométrie élémentaire sont représentées par des équations du second degré. Nous verrons plus tard que, réciproquement, toutes les courbes représentées par Téquation du second degré jouissent des propriétés qui servent de définition en Géométrie élémentaire, de telle sorte que les deux modes de définition sont équivalents.

En résumant la discussion, on voit que c'est le signe de la quantité B* — 4A.C qui indique l'espèce de la courbe représentée par réquation du second degré; la courbe est une ellipse, une hyperbole ou une parabole, suivant que la quantité B*— 4AC est négative, positive ou nulle.

Toutefois, il importe de se rappeler que l'équation ne représente pas toujours une courbe ni même un lieu; dans le cas où la quantité B' — 4^0 est négative, l'équation représente une ellipse, ou un point, ou n'admet pas de solution réelle; dans le cas où la quantité B' — 4AC est positive, l'équation représente une hyperbole ou deux droites qui se coupent; enfin, dans le cas où B' — 4AC = o, l'équation représente, soit une parabole, soit deux droites parallèles, ou une seule droite, ou elle n'admet pas de solution réelle.