TANGENTES AUX COURBES DU SECOND DEGRE

1S& — Soit f (x, y) = o l'équation d'une courbe ; si l'on appelle xeiy les coordonnées du point de contact M,^X et Y les

coordonnées variables d'un point quelconque de la langenle, nous avons vu (n** 89) que la tangente est représentée par Téquation

ou XfL-hY rr—(xfl+yf^) = o.

Lorsque la courbe est du second degré, on a

f{x, 2/) = Aa;«-[-Ba:yH-Cy^+Da;H-EyH-F; /'i = 2Aa;-hBt/H-D, fl = Bx-h2Cy-hE, ic/'i-[-j//*;=2Aa;*-[-2Ba?yH-2Cy'-hDxH-Ey.

Le point de contact M étant situé sur la coiybe, ses coordonnées X eiy vérifient la relation

(i) Aa?' + BaJî/-hC2/* + Da: + Ey-hF = o;

on en déduit

Aa;*-hBicy-4-Cî/*=— (Doj + Ey-hF), et, par suite.

L'équation de la tangente au paint dont les coordonnées sont 07 et 2/ devient ainsi

(2) (2Aaî + By-hD)X-i-(Bx-h2Cy-hE)Y+'(Da; + Ey + 2F)=a

On remarque que les coordonnées a; et y du point de contact n'entrent qu'au premier degré dans cette équation. Comme celte équation peut être mise sous la forme

(3) (2AX + BYH-D)^ + (BX-f-2CY-hE)y-f-(DX-|-EY + 2F) = o,

on remarque aussi qu'elle ne change pas, quand on y remplace X et Y par x et y 9 et réciproquement.

4186— Proposons-nous maintenant de mener des tangentes à la courbe par un point donné P non situé sur la courbe et ayant pour coordonnées x^ et y^. Prenons pour inconnues les coordonnées a; et y de l'un des points de contact M; ces coordonnées doivent vérifier l'équation (i); la tangente au point M est représentée par Téqualion (2) ; cette tangente devant passer par le point P, les coordonnées de ce point vérifieront l'équation (2) ou réq nation (3), et Ton aura

(4) (2Aaî, + By, + D)x-t-(Ba:,-}-Cy,-4-E)yH-(l)x,H-Ey,-h2F) = G

Les coordonnées x ei y sont donc déterminées par les deux équalions simultanées (i) et (4). L'une étant du second degré^ Fautre du premier degré, le système de ces deux équations admet deux solutions^ et l'on peut mener par un point donné P deux tangentes à une courbe du second degré. La résolution de ces deux équations revient à chercher les points d'intersection des lignes définies par chacune d'elles; la première est la courbe proposée, la seconde une droite passant par les deux points de contact. On peut remarquer que l'équation (4) de la corde des contacts a la même forme que l'équation (i) de la tangente; il suffit de remplacer dans celle-ci les coordonnées du point de contact par celles du point P.

EXERCICES

l» Construire les courbes représentées par les équalions

a^y-\^2x — 5y=z0y ar* — 2ary-]-y*-|- Sa: — 7 Z= 0, 2y* + 7a;y-|- 3ar> — 3y-|"^ — 2 =: 0, «"-f-Sary — ixizzO, 3x- — 5J-y-|"2y'+3a? — 2y^0^ 5x'-(-4a?y-{-y« — 2a?4-5 = 0, 2x« — -Ijcy -|-y*+2a?-J-l = 0, X* — 2j:y 4-y* — ix+2y — 8 = 0.

to Lieu du point dont Tordonnée est moyenne proportionnelle entre les ordonnées correspondantes de deux droites données.

3° Trouver le lieu du centre d*un cercle qui coupe deux cercles donnés sous des angles donnés*

4* Ou donne un cercle tangent à deux droites rectangulaires OX, OY et deux points P et Q placés symétriquement par rapport à la bissectrice de l'angle; on mène au cercle une tangente quelconque qui coupe les côtés de l'angle en A et B; trouver le lieu du point de rencontre des droites AP, BQ.

5» Le triangle ABC est circonscrit à un cercle donné, Tangle C est consent, le sommet B décrit une ligne droite ; quel est le lieu du sommet A?

6o Étant donnée la parabole [ax + 5y)* -{- dx •■{• cy -\' f :=: 0 rapportée à deux axes obliques dont Tangle est 0, on rapporte la courbe à son axe et b la tangente au sommet; Téquation prend la forme y^=i2px; calculer b

constante p. Même question pour la parabole i/- -f- i/t- = ^ .