CENTRE

427 —Nous avons appelé centre d'une courbe un point fixe C par rapport auquel tous les points de la courbe sont symétriques deux à deux. En discutant l'équation générale du second degré, nous avons reconnu que l'ellipse etThyperbole ont un centre. Nous nous proposons maintenant de rechercher directement le centre d'une courbe du second degré, sans résoudre réquation. La méthode que nous suivrons repose sur ce théorème : quand l'origine des coordonnées est centre d'une ligne du second degré, l'équation de la ligne ne contient pas de termes du premier degré.

Soit, en effet,

(i) Aa;*-4-Ba:y + Cy*-4-Da:4-Ey4-F = o

l'équation d'une ligne du second degré ayant l'origine pour centre (flg. 78); l'équation d'une droite MM^ menée par l'origine est de la forme y = mx. L'élimination de y entre cette équation et celle de la courbe donne l'é- Fig. 73. quation

(2) (A-hBm-hCm*)a;«-f-(D + Em)a;-{-F = o,

qui détermine les abscisses des deux points de rencontre. L'origine étant le milieu de la droite MM^ l'équation précédente doit avoir ses deux racines égales et de signes contraires, ce qui exige que le coefficent de la première puissance de x soit égal à zéro; on a ainsi D + Em = o, et, comme cette condition doit être vérifiée pour une infinité de valeurs de w, on doit avoir séparément D=o, E=o. Réciproquement, lorsque ces conditions sont remplies, Téquation (2) a ses deux racines

égales et de signes contraires, quelle que soit la valeur de m, el, par suite, Torigine est centre de la courbe.

19S — Pour reconnaître si un lieu du second degré a un centre, on transportera les axes parallèlement à eux-mêmes ' en un point arbitraire dont nous désignerons les coordonnées par a et b, puis on examinera si Ton peut déterminer ces quantités de manière que la nouvelle équation ne renferme pas de termes du premier degré.

Les formules pour déplacer les axés parallèlement à euxmêmes sont a; = a-ha/, y = b-^j/. En substituant dans l'équation (i), on obtient Téquation nouvelle

Aa/«-+.Baî't/'+Cî/'«+(2Aa + B6 + D)^ + (BaH-2C6 + E)y' + Aa'4-Ba64-C&*H-Da-i-E6 + F==o,

dont il importe de remarquer la composition. Désignons, pour abréger, par [{x^ y) le premier membre de Téqualion (i) qui est une fonction entière du second degré en x et y; dans réqualion (3) les termes du second degré sont les mêmes que dans réquation (i); les termes du premier degré ont pour coefficients les dérivées partielles de la fonction f{x^ y) prises par rapport aux variables x et y, et dans lesquelles on a remplacé ces variables par a et 6 ; enfin, le terme constant est la valeur que prend le polynôme f{x, y) pour £C = a, y = b. L^équation (3) peut donc s'écrire ainsi

(4) Aa/^-hBa/2/'-+-Cy'»-h/^:(a, 6)ac'-+-/*i(a, b)y''^f(a,b) = o.

En égalant à zéro les coefficients de a/ et de y^, on obtient les deux équations du premier degré

^ ^ 1 Ba'-h2C6+E = o.

On voit par là que Von détermine le centre d'une courbe du second degré en résolvant les deux équations que Von obtient en égalant à zéro les dérivées partielles du premier membre de Véqualion proposée, prises par rapport à x et à y.

129— Si Ton considère a et 6 comme des coordonnées variables, chacune des équations (5) définit une droite, et il y a lieu de distinguer plusieurs cas.

420 LIVRE Ilï, CHAPITRE IL

I® B* — ^kC^o. Les deux équations sont Yéritiécs par un

système de \aleurs do a et de 6 et par un seul; les deux droite^ se coupent et la ligne admet un centre et un centre unique dont les coordonnées sont