B^ — 4AC

2® B* — 4AC = o. Les droites (5) sont parallèles ou se confondent; dans le premier cas le lieu n'a pas de centre; dans le second cas, il admet comme centre chacun des points de la droile définie par Tune des équations (5). Il est facile de voir que, dans ce dernier cas, s'il y a un lieu, ce lieu se compose nécessairement de deux droites parallèles. Soit, en effet, CO

la droite, lieu des centres (fig. yi), et M un point appartenant au lieu ; joignons le point M aux divers points de la droite ce, et prolongeons chacune de ces droites d'une longueur égale à elle-même, les points N, N', N", . . . ainsi obtenus, appartiendront encore au lieu; or, tous Fig. 74. ces points sont situés sur une parallèle

à ce. En opérant de même avec le point N on aurait une seconde parallèle MM'. D'ailleurs, Téquation (i) ne peut pas représenter d'autres points que ceux de ces deux droites; autrement une droile rencontrerait le lieu en plus de deux points. Si le point M était situé sur la droite GC^ les deux parallèles se confondraient avec le lieu des centres.

IL30 — Lorsque la courbe admet un centre, si Ton transporte les axes parallèlement à eux-mêmes en ce point, Téquation se simplifie et devient

(7) Axf'-{'Ba/y'-{-Cy'*-h¥^ = o,

puisque les termes du premier degré disparaissent. Le terme constant F^ de la nouvelle équation a pour valeur

F,=:Aa^-4-B(i5-4-C6^+Da + Eft-HF,

a et 6 désignant les coordonnées du centre. Mais les quantités a et 6 satisfont aux équations (5); si l'on multiplie les deux membres de chacune d'elles respectivement par a et 6 et que l'on ajoute, il vient

2 Aa'-f- 2Ba6 -I- 2C6*-f- Da -i-E6 = 0,

d'où

et, par suite.

Il est bon d'observer, qu'en remplaçant a et 6 par leurs valeurs, on a aussi