B* — 4AC

Lorsque le nouveau terme constant F^ est nul, Téqualion se

réduit à

(8) Aa/«H-BVî/'-+-Cî/'^=o.

On en déduit

Si la quantité B*— 4AC est négative, l'équation n'admet qu'une solution réelle x' = o, y^ = o. Si la quantité B* — 4AC est positive, l'équation représente deux droites passant par l'origine. Dans ce cas, l'équation (7), dans laquelle on attribue à la constante F^ une valeur quelconque, définit une hyperbole; nous avons vu (n** 117) que les asymptotes d'une hyperbole passent par son centre, et que les coefficients angulaires en sont donnés par la formule

— B±VB»— 4AC

tu — ' jL— •

ces asymptotes ne sont autre chose que les droites représentées par réquation (9) ou par l'équation (8). Ainsi, quand une équation du second degré représente une hyperbole rapportée à son centre, on obtient l'équation des asymptotes en suppri-, mantle terme constant dans la première équation.

122 LIVRE m, CHAPITRE II.

DIAMETRES.

13 1— Si Ton coupe une courbe du «second degré par une série de droites parallèles^ le lieu des points milieux I des cordes MM' terminées aux deux points de rencontre est un diamètre de la courbe. Soit m le coefficient an- Fig.75. gulaire des cordes, et

* réquation de la courbe. Si Ton transporte les axes parallèlement à eux-mêmes en un point arbitraire I du plan, ayant pour coordonnées a et 6, Téquation de la courbe devient (n** 128)

(4) Àa/*-f-Ba;'2/'+Cî/*+fi(a, b)x^+fl{a, b)y'-hf(a, 6) = o.

Menons actuellement par Torigine I une parallèle MM' à la direction donnée^ l'équation de cette parallèle est j/ = ma/. L'élimination de t/ entre cette équation et celle de la courbe conduit à réquation du second degré

(lo) (A-hBm-f-Cm*)a/*-f-[/^i(a, b)-hfl(a,b)m]a/-{-f{a,b)=o,

qui donne les abscisses des points de rencontre. Pour que Torigine I soit le milieu de la corde MM' (fig. 75), il faut que réquation précédente ait ses racines égales et de signes contraires, c'est-à-dire que a et 6 vérifient la relation

fUa, 6)-f-mA(a, 6)=o;

cette équation, devant être satisfaite par les coordonnées du

point milieu de Tune quelconque des cordes considérées, est

réquation du lieu. Si Ton y remplace a et 5 par x et y, elle

devient

(II) f'rioo, y)-hmf',(Xy y) = o, ou

(2 Ao? -4- By -h D) -h m (Ba? -+- 2Cy -h E) = o.

Cette équation étant du premier degré, on en conclut que le

diamètre correspondant à une série quelconque de cordes pa-

' rallèles est une droite DD'. Appelons m' le coefficient angu-

laire du diamètre^ on aura la relation

(12) mf=—-—- — - — ^ ' B+2Cm

1 S!8 — Remarque I. La direction du diamètre varie, en général, avec celle des cordes; cependant, lorsqu'on a

-^ = -H ou B»— 4AC = o, B 2C -^ y

c'est-à-dire lorsque la courbe est une parabole, la valeur de m'

€st constante et égale à 7^- Ainsi tous les diamètres de la

parabole sont parallèles entre eux.

ISS — Remarque II. Si le nombre donné m vériûait la

relation

(i3) A-4-Bm + Cm* = o, d'où

l'équation (10) s'abaisserait au premier degré; chacune des droites parallèles à la direction donnée ne couperait la courbe qu'en un point, et il n'y aurait pas lieu de chercher le diamètre correspondant à cette direction. Dans le cas de Tellipse, les racines de l'équation {i'3) étant imaginaires, la circonstance dont nous parlops ne peut se présenter; ainsi, à toute direction des cordes correspond un diamètre. Dans le cas de l'hyperbole, les racines de l'équation (i 3) donnent les directions des asymptotes; ainsi, une droite parallèle à l'une des asymptotes de rhyperbole ne rencontre la courbe qu'en un point. Dans le cas de la parabole, l'équation (i3) a ses racines égales et la valeur de m est le coefQcient angulaire commun à tous les diauiètres; une droite menée dans cette direction ne rencontre la parabole qu'en un point.

134 — Remarque III. Les valeurs x et y qui satisfont aux équations simultanées

2Aaî-f-By-i-D=:o, Ba;-h2Cy-i-E = o,

vérifient l'équation (i i) quelle que soit la valeur de m; donc, si

124 LIVRE m, CHAPITRE II.

le lieu a un centre unique, tous les diamètres passent par le centre, et, s'il en a une infinité, tous les diamètres se confondent avec le lieu des centres.

Les deux équations qui déterminent le centre représenlenl deux diamètres; le premier correspond aux cordes parallèles à Taxe des x, le second aux cordes parallèles à Taxe des y.

Remarque IV. Dans le cas de Tellipse et de l'hyperbole, toute droite menée par le centre est un diamètre; car on peut disposer de m de manière que le coefficient m^, donné par la formule (12), ait une valeur quelconque. Cependant, si la valeur obtenue pour m se réduisait à Tune des racines de Féqualion (i3), elle ne serait pas admissible, puisque les droites correspondantes ne donnent pas de diamètres; mais alors la valeur de m' est égale à celle de m; elle corresiiond à Tune des asymptotes.

DIAMÈTRES CONJUGUES.

€S5 — Supposons B' — 4AC diff'érent de zéro. La relation (12) entre m et m' peut s'écrire

(i4) 2Cmm' ^- B (m -f- mO -h 2 A = o.

Imaginons que l'on mène des sécantes telles que MM'' parallèles au diamètre DD' (fig. 75); soit m" le coefficient angulaire du diamètre EE^, qui divise ces cordes en deux parties égales, on aura de même, entre la direction m' des cordes et la direction m" du diamètre correspondante EE'', la relation

2Cm^m"-f- B (m/ -H- m'') -h 2 A = o;

cette équation et la précédente étant du premier degré par rapport à m" et à m, on voit que l'on a m"= m. Les deux diamètres DD^ EE^ dont les coefficients angulaires sont m' et m, jouissent de cette propriété que chacun d'eux divise en deux parties égales les cordes parallèles à l'autre; on les a nommés, pour cette raison, diamètres conjugués.

L'ellipse et l'hyperbole ont une infinité de systèmes de diamètres conjugués. On peut prendre pour premier diamètre une droite quelconque menée par le centre, pourvu qu'elle ne se confonde pas avec l'une des asymptotes, si la courbe est une hyperbole.