AXES

ftSO— DaDs les courbes du second degré, les diamètres perpendiculaires aux cordes qu'ils divisent en deux parties égales sont des axes de symétrie.

La parabole ayant tous ses diamètres parallèles, si Ton imagine une série de cordes HM' [Qg. 76) perpendiculaires à la direction commune des diamètres, le dia- Fig. 76. mètre AA^ qui divise ces cordes en deux

parties égales, sera un axe de la courbe et ce sera le seul. Le

coefflcient angulaire des diamètres est -^; donc, si les axes

des coordonnées sont rectangulaires, l'axe de la courbe est le

diamètre des cordes ayant pour coefficient angulaire -^ ; son équation (n"" i3i) est

B(2Aa?-hRy-hD)-h:2C(Bx-h2Cy-|-E) = o.

Lorsque la courbe est une ellipse ou une hyperbole, à tout

axe AA' (fig. 77) en correspond un second BB', formant avec le premier un système de diamètres conjugués; la question est ainsi ramenée à la recherche des diamètres conjugués perpendiculaires entre eux. Si les coordonnées sont rectangulaires, on obtient les

coefficients angulaires dés axes en joignant à l'équation (i4) 1&

relation mmf= — i. On en déduit m -h m' = 2

amsi,

met m' sont les racines de l'équation du second degré

(i5) Bu*-f-2(A — C)u — B = o.

L'ellipse et l'hyperbole ont deux axes. Si l'on avait B = o, et A=C, l'équation serait une identité, et la courbe aurait une infinité de systèmes de diamètres conjugués rectangulaires; dans ce cas, le lieu est un cercle.

MSy — Nous avons vu (n* i3o) que, lorsque la quantité

B* — 4AC est négative, réquation

(8) Aa?*4-Biry-hCy*=o

représente deux droites passant par Torigine; Téquation (i5> donne les directions des axes, c'est-à-dire les bissectrices des angles formés par ces deux droites; on obtiendra les équations

de ces bissectrices elles-mêmes, en remplaçant u par - dans réquation (i5), ce qui donne

(16) Bx»— 2(A — C)a:y— By«=o. "

Comme les directions des axes dépendent uniquement des coefficients des termes du second degré, si la courbe est une hyperbole, les axes, parallèles aux bissectrices des angles formés par les droites (8), sont les bissectrices des angles des asymptotes.

On appelle sommet d'une courbe du second degré les points où elle est rencontrée par un axe. La parabole, ayant un seul axe qui ne rencontre la courbe qu'en un point, n'a qu'un sommet; l'ellipse a quatre sommets et l'hyperbole deux.