ELLIPSE ET HYPEBBOLE RAPPORTÉES A DEUX DIAMÈTRES CONJUGUÉS
flSS — Supposons que l'on prenne pour axe des x un diamètre d'une courbe du second degré, et pour axe des y une parallèle aux cordes que le diamètre divise en deux parties égales; l'équation
devra donner pour chaque valeur de x deux valeurs de y égales et de signes contraires, ce qui exige que l'on ait
Bic-hE = o,
quelle que soit la valeur de x, et, par suite, B = o, E = o. L'équation aura donc la forme
(17) Ajî»4-Cî/»-hDic-hF = o.
Si la courbe est une ellipse ou une hyperbole, en prenant
pour axe des y le diamètre conjugué du premier, on aura par
la même raison D = 0, ce qui réduit l'équation de la courbe à
la forme
(18) Aa?*4-Cy«-i-F = o.
PARABOLE RAPPORTÉE A UN DIAMÈTRE ET A LA TANGENTE A L^EXTRÉMITÉ DE CE DIAMÈTRE.
flSO — La parabole n^admet pas de diamètres conjugués; mais^ si Ton prend pour origine le point où le diamètre rencontre la courbe, le terme constant F de Téquation (17) sera nul; on sait, d'ailleurs, que les droites parallèles au diamètre ne coupent la courbe qu'en un point; ainsi, à chaque valeur de y correspond une seule valeur de a?, ce qui exige que A = o. L'équation de la parabole sera donc de la forme
(19) Cy*-hD^ = o.
On peut remarquer que Taxe des y n'est autre chose que la tangente à l'origine.
Les^formes (18) et (19) se rapportent à une infinité de systèmes d'axes obliques et à un seul système d'axes rectangulaires.
Réduction de réqnation du fteeond degré.
140 — Pour étudier avec plus de facilité les propriétés d'une courbe du second degré, il impgrte de simplifier autant que possible son équation, en la rapportant à des axes de coordonnées convenablement choisis. Nous avons vu, dans le chapitre précédent, que l'équation du second degré peut toujours être ramenée à l'une des deux formes
Quand la courbe est une ellipse ou une hyperbole, on ramène son équation à la forme (a) en prenant pour axes des coordonnées un système de deux diamètres conjugués quelconques; généralement les coordonnées seront obliques; elles seront rectangulaires si l'on rapporte la courbe à ses deux axes. Quand la courbe est une parabole, on ramène son équation à la forme (P), en prenant pour axe des x un diamètre quel-
conque, et pour axe des y la tangente à Textrémité de ce diamètre; si Ton veut que les coordonnées soient rectangulaires, on prendra pour axe des x Taxe de la courbe.
C'est à Taide de ces deux formes d'équations, en coordonnées rectangulaires, que nous démontrerons la plupart des propriétés des courbes du second degré. Nous allons expliquer la marche à suivre pour effectuer la réduction de Téquation. Soit
(i) Aa;*+Ba7y-i-C2/*-hDa?4-Ey4-F = o
une équation du second degré, en coordonnées rectangulaires ; si les coordonnées étaient obliques, on ferait une première transformation pour les rendre rectangulaires.
