ELLIPSE ET HYPERBOLE
441— Examinons d'abord le cas où la quantité B* — 4AC est différente de zéro; la courbe admet un centre unique, dont les coordonnées a et 6 vérifient les deux équations (n° 128)
2Aa4-B6-hD = o, Ba4-2C64-E = o;
transportons les axes parallèlement à eux-mêmes au centre
C (fig. 72); nous savons que les termes du second degré ne changent pas, que ceux du premier degré disparaissent, et que le terme constant F^ de la nouvelle équation est donné par la formule Da-hE6
Fig. 78.
F. L'équation
de la courbe, par ce premier changement de coordonnées, se simplifie et devient
(2) Aa;î-f-B^,y,-+-Cî/î + F4 = o.
Faisons maintenant tourner les axes des coordonnées supposés rectangulaires d'un angle a autour du centre C pour les faire coïncider avec les a«es de la courbe; les formules de transformation sont
x^ = x' cosa — tf sin a, y^ = x' sin a 4- y' cos a. En substituant dans Téquation (2), on obtient la nouvelle
RÉDUCTION DE L'ÉQUATION. i29
équation
LCOs'a+Csiii*a-+-Bsinacosa)a!/'+ (Asin*a+ Ccos'a — Bsinacosa) y'-
-+-[2(C — A)sinacosa+B(cos*a — sin'a)]a/y^+F,=o.
Oq peut disposer de Taugle a de manière à annuler le coefficient du terme tnoc/yf ; pour cela^ on posera
(4) 2 (C — A) sina cosa + B (co8*a — sin*a) = o, ou (5) Blang'a + 2(A — C)tanga — B = o.
Cette équation du second degré est la même que Téquation (i5) du n"" i36, par laquelle on détermine les directions des axes de la courbe. Mais on peut résoudre Téquation (4) plus simplement en la mettant sous la forme
(C— A)sin2a-hBcos2a = o, d'où (6) tang 2 a = -r r-, •
Si Ton exclut le cas du cercle où l'on a à la fois B = o^ et  = C^ Féquation (6) admet une solution positive iù moindre que TT^ et les diverses valeurs de l'angle 2a qui satisfont à cette équation sont comprises dans la formule
où k désigne un nombre entier quelconque positif ou négatif; on en déduit
Les diverses valeurs de a ne donnent que quatre directions différentes pour Taxe CX^; ces quatre directions sont opposées deux à deux et forment deux droites rectangulaires. Nous
prendrons pour a la valeur -» qui est toujours positive et
inférieure à -• Le terme en xfj/ disparaît dans l'équation (3);
il reste à calculer les coefficients des termes en x/^ et en ij'^. Si
Ton pose
M = A cos'a H- C sin*a -i- B sina cosa ,
N = A sin*a H- C cos*a — B sina cosa;
ona M4-N = A4-C,
N={A — C)(cos'a — sin'a)-l-2Bsinacosa = (A — C)cos2a-|-Bsin2a.
130 LIVRE m, CHAPITRE III.
L'équation (6) donne
sm2a= — * C0S2a =
±:VB*+(A— C)« ±VB*-4-{A— C)*'
il en résulte M — N = ± VB*-h(A — C)«.
On calculera donc les deux coefficients M et N à Taide des
formules
I M-hN = A+C.
' 1 M — N=d=VB»4-(A— C)*.
Nous avons choisi la valeur de 2a positive et inférieure à tz ; sin2a ayant une valeur positive, il faudra mettre devant le radical le signe de B. De cette manière Téquation de la courbe est ramenée à la forme simple
(8) Ma/»-hNy'»-hF4 = o.
Si Ton retranche les deux équations (7) membre à membre après les avoir élevées au carré, on obtient la relation
