V4G(AH-C

Si le coefficient P était nul, Téquation (11), ne renfermant plus x^j ne pourrait représenter que deux droites parallèles à raxe OX^. Lorsque ce coefficient est différent de zéro, on déplace les axes parallèlement à eux-mêmes; en posant x^=a'ha:^, ^1= 6 -h î/', réquation (i i) devient

Nî/»+Pic'-f-(2N6-hQ)y'-h(N6*+Pa-f-Q6 + F)=o.

Oq disposera des coordonnées a et 6 de la nouvelle origine A de manière à annuler le coefficient de j/ et le terme constant,

2N6h-Q = o, N6*-hPa-}-Q6-+-F=o,

132 LIVRE ni, CHAPITRE III.

ce qui donne pour a et 6 des valeurs finies et déterminées^ et réquation sera ramenée à la forme simple

(12) Ny'*-f-Px' = o.

On a fait d'abord tourner les axes des coordonnées autour de Forigine de manière à rendre Taxe OX^ parallèle à l'axe de la parabole ; on a transporté ensuite les axes parallèlement à eux-mêmes au sommet A de la parabole. De cette manière la parabole est rapportée à son axe et à la tangente au sommet. 1143 — Remarque. Pour effectuer la réduction de Téquation du second degré, nous avons supposé les axes rectangulaires ; si les axes étaient obliques et faisaient entre eux un angle 0, on pourrait rapporter la courbe à des axes rectangulaires, en conservant l'axe des x et prenant pour axe des y une droite perpendiculaire à Taxe des x. Les formules de transformation

sont

a/sinO — v'cos9 v'

sm6 ^ sinô

les termes du second degré dans la nouvelle équation ont pour coefficients

BsinQ — 2Asin9cosô ^, C+Acos*9 — Bcos6

sin*6 sin*6

Il est bon de remarquer que ces coefficients satisfont aux relations suivantes

A + C-Bcos9 B^4AC , /

sin^9 -A+L, sin»9 "^ -4AC.

Les quantités A'4- C et B'* — 4A'C^, qui sont égales à M-f- N et à — 4MN, conservant des valeurs invariables pour tous les systèmes d'axes rectangulaires, il en résulte que les quantités

A + C — Bcos9 B' — 4AC sin*9 ' sin*9

restent constantes par rapport à tous les systèmes d'axes obliques.