VÎ3 " VÎ
L^équation de la courbe rapportée aux axes OX^ et OY^ est donc
o 1 io8 72
On obtient les coordonnées du sommet en joignant à cette
équation la suivante 26^^+ -^ = 0. On en déduit
Vi3
^*""~i3Vî3' ^*"" 27.13 V73*
Si Ton transporte les axes en ce points l'équation devient
Vi3
l'eUlpsé.
^roposons-nous de construire la courbe représentée par l'équation
Ma;»-hNî/«4-F4 = o,
dans laquelle les deux coefficients M et N ont le même signe^ par exemple le signe +.
Si la constante F^ a une valeur positive, Téqualion, ne pouvant être satisfaite par des valeurs réelles de x et y, ne représente aucun lieu géométrique.
Si F^ est égal à zéro, Téquation^ n'étant satisfaite que par x=o, y = o, représente un seul point, l'origine 0.
Examinons maintenant le cas où F. a une valeur négative, et posons Fi=— H, l'équation devient
Maî'-+-Ny« = H.
Résolue par rapport à y, elle donne
Fi g. 81.
136 LIVRE m, CHAPITRE IV.
Pour que Fordonnée soit réelle, il est nécessaire el il suffit
que la valeur numérique de l'abscisse soit plus petite que
i/^; portons sur Taxe X^X,
à partir de Torigine, deux longueurs OA, OA' égales à
i/rr et par les points A, A' menons des parallèles à Taxe Y^Y, la courbe est située tout entière entre ces deux parallèles (fig. 8i). A chaque abscisse OP, cornprise entre ces limites, correspondent deux ordonnées PM, FM' égales et de signes contraires; quand x = o, l'ordonnée acquiert sa plus grande valeur numérique \/î^; portonssur Y' Y,
à partir de Torigine, deux longueurs OB, OB^ égales à i/î^' et
par les points B, B' menons deux parallèles à Taxe X^X; la courbe est située tout entière entre ces deux nouvelles parallèles, et, par conséquent, elle est renfermée dans le rectangle CDEF formé par les deux couples de parallèles. Si, pour abréger, on représente par a et 6 les deux quantités
Vm' Vn' l'équation prend la forme
d'où
(2) y=±-Va«— X*.
Quand x croît de o à a, la valeur numérique de y décroît de 6 à G, ce qui donne un arc de courbe BMA, et^ à cause du double signe, l'arc égal B'M^A. Quand x varie de o à — a, la valeur numérique de y décroît encore de 6 à o, ce qui donne deux autres arcs BM^A^, B'NA' égaux aux premiers. Ces quatre arcs égaux forment l'ellipse.
La droite A' A est un axe de l'ellipse; car à chaque abscisse OP correspondent deux ordonnées PM, PM^ égales et de signes
contraires. La droite B'B est aussi un axe de Tellipse; car, si on résolvait Téquation par rapport à x, on verrait de même qu'à chaque ordonnée OQ correspondent deux abscisses QH^ QMj égales et de signes contraires. Les points A, A^, B, B^ où les axes rencontrent Tellipse^ sont les sommets de Tellipse. Les longueurs A' A, B'B des deux axes sont respectivement égales à 2a et à 26.
L'ellipse devient un cercle quand les axes sont égaux.
Il est aisé de voir que l'origine 0 est centre de l'ellipse; en eJETet^ soient Xy y les coordonnées d'un point quelconque M de l'ellipse^ il est évident que l'équation (i) est aussi satisfaite par les valeurs — x, — y; il existe, par conséquent, un second point N de l'ellipse qui a ses coordonnées — OP', — P'N respectivement égales aux coordonnées OP, PM du point M, mais de sens contraires; les triangles OPM, OP'N sont égaux; donc OM = ON, et la ligne MON est droite à cause des angles égaux POM, FON. Ainsi^ les points M et N de l'ellipse sont deux à deux symétriques par rapport au point 0; donc le point 0 est centre de l'ellipse.
14ft — Pour étudier comment varie la distance du centre aux différents points de l'ellipse, ou le rayon de l'ellipse, cherchons Féqualion de l'ellipse en coordonnées polaires, en prenant le centre 0 pour pôle et Taxe OA de la courbe pour axe polaire. Si dans l'équation (i) on remplace x et y par p cosco, et p sin ct), on a
/^\ p*cos*û) p*sin*a>
a' Supposons a > 6, et mettons l'équation sous la forme
p' a* \6* ay
Si Ton fait varier w de o à -» la quantité \ croît, et par conséquent p décroit constamment de a à 6. Le maximum de p esta, le minimum 6.
146— Désignons par x et y les coordonnées d'un point
Fig. 82.
138 LIVRE ni, CHAPITRE IV.
quelconque du plan et considérons le polynôme
Pour un point M situé sur Tellipse (flg. 82), le polynôme est
égal à zéro. Imaginons qu'un point mobile P parte du point M et s'éloigne sur le prolongement du rayon OM; les deux coordonnées a? et y augmentant en valeur absolue, le polynôme va en croissant indéfiniment; il prend donc des valeurs positives de plus en plus grandes. Au contraire, si le point mobile se rapproche du centre, le polynôme diminue et prend des valeurs négatives.
Ainsi le polynôme ~ 4- n "" ^ reste négatif pour tous les
points situés à Tintérieur de Tellipse, sur Vellipse il est nul, et il devient positif pour tous les points situés en dehors de Teliipse.
147 — Les carrés des ordonnées perpendiculaires à l'un des axes de Pellipse sont proportionnels aux produits des segments correspondants formés sur cet axe.
En effet, si l'on désigne par j? et j^ les coordonnées d'un point quelconque H de Tellipse' (fig. 81), on a, en vertu de réquation (2),
