HYPEBBOLE RAPPORTÉE A SES ASYMPTOTES

401I.— Si l'on prend pour axes des coordonnées les deux asymptotes de la courbe, l'équation ne renfermera pas de

termes du premier degré, puisque Torigine est au centre; elle

^' sera donc de la forme

Les droites parallèles à OY ne coupent la courbe qu'en un point; donc pour chaque valeur de x, y n'a qu'une valeur, ce qui exige que le Fig. 112. coefficient C soit nul; par la même

raison le coefficient  doit aussi être nul; ainsi l'équation se

réduit à

H (8) Biry = H, ou xy = :^ = k*.

Les axes étant pris comme l'indique la figure, la constante

est positive, puisque pour tous les points de la courbe les coordonnées X eiy ont le même signe. On détermine facilement la constante A* lorsqu'on connaît les axes de la courbe; en effet, l'équation (8) doit être vérifiée par les coordonnées de Tun quelconque des points de la courbe, si Ton considère en particulier le sommet A, on a, pour ce point

On donne quelquefois à la constante A:^ le nom de puissance de

l'hyperbole.

Quand Thyperbole est rapportée à ses asymptotes^la tangente

TT' au point M, dont les coordonnées sont x et y, a. pour

équation

(9) yX-hxY=:2k\

L'abscisse du point de rencontre de la tangente avec l'axe OX s'obtient en faisant dans cette équation Y = o, d'où

X = OT = — = 2a: = 20P;

on reconnaît de nouveau que le point de contact M divise en deux parties égales la portion TT^ de la tangente comprise entre les asymptotes.

AIRE d'un segment HYPERBOLIQUE.

9OO—N0US commencerons par établir le théorème qui sert ordinairement à Tévaluation des aires. Considérons Taire comprise entre Taxe OX, une courbe, une ordonnée fixe ÂB, et une ordonnée mobile MP (fig. 11 3), correspondant à l'abscisse x; cette aire, que nous désignerons par S, est une fonction de la variable Xy dont nous nous proposons de déterminer la dérivée. Donnons à a? un accroissement Ax = PP^ assez petit pour que de M Fig. 113. ^" ^^ Tordonnée varie dans le même sens ;

par les points M et M^ menons des parallèles HC, M^D à Taxe OX; Taccroisseinent AS de Taire est plus grand que le parallélogramme HPFC, et plus petit que le parallélogramme DPFM^; le premier parallélogramme a pour mesure y. Ax.sinô, 6 étant Tangle des axes, le second (j^ + Ay) Aor.sinO; on a donc

y.Aaî.sinO < AS < (j/-i-Ay) Aaî.sînO,

et, en divisant par Aa?,

ysine < 7— < (y-h Ay)sin9.

Supposons maintenant que Ton fasse tendre A a? vers zéro. Le

rapport -— est compris entre deux quantités, Tune y sinO,

Tautre ayant pour limite cette quantité; donc le rapport a aussi pour limite y sin 0. Ainsi la dérivée de Taire considérée comme une fonction de Tabscisse est y sin8. Réciproquement, Taire S est une fonction primitive de ysinB, considérée comme une fonction de x.

Quand les axes des coordonnées sont rectangulaires, la dérivée de Taire est égale à y.

901 —Considérons une hyperbole rapportée à ses asymptotes, et proposons-nous d'évaluer Taire comprise entre Tasymptote OX, Thyperbole, Tordonnée fixe AB correspondant à Tabscisse a, et Tordonnée \ariable MP correspondant à Tab-

scisse X (fig. ii4). De Téqualion (8) on déduit y-^— » et, par

suite,

S' = t/sin0 = i*sin8x —

Fig. 114.

C= — /:*sin9La. On a ainsi

Or - estladérivéedeLjj;doiic

É'sinSx- est la dérivée do

kr %\ïi^hx; on a^ par conséquent^

S = /<»sineLa:-hC.

On détermine la constante C par la condition que Taire soit nulle pour x=a, ce qui donne

(lo) S = A-*sinO(Lx — La) = A»sinôL(^

L'abscisse a restant constante, si Ton fait augmenter x indéflniment^ Faire S augmente aussi au delà de toute limite. La même chose a lieu quand on fait tendre a*\ers zéro, X restant fixe.

Dans le cas particulier où Thyperbole est équilatère, on a sinO = i; si Ton suppose en outre ** = !, et que Ton compte Taire depuis l'ordonnée qui répond à Tabscisse i, c'est-à-dire au sommet de la courbe, la formule précédente se réduit à

C'est à cause de cette propriété que Ton désigne aussi les logarithmes népériens sous le nom de logarithmes hyperboliques. Si Ton suppose k = i et a = i, la formule (lo) devient

S = sinOL(j7).

On pourra prendre 0 de manière que S soit le logarithme de x dans un système quelconque dont la base est plus grande que e.

EXERCICES

1^ On donne deux points  et B, par ces deux points on mène deux droites mobiles AM et BM telles que Tangle MÂB soit double de MBà; trouver le liea des points d*intersection M.

2* Quel est le lieu des centres des circonférences qui interceptent des longueurs données sur les côtés d*un angle donné?

i78 LIVRE m, CHAPITRE V.

3® On donne deux droites fixes, une droite mobile coupe les deux premières de manière à former un triangle de grandeur constante ; on deinande le lieu des centres de gravité de ces triangles.

i* Les sécantes menées de Tun quelconque des points d^une hyperbole à deux points 6xes pris sur la courbe interceptent sur Tune ou Tauire asymptote des longueurs constantes.

5^ Toute corde d*une hyperbole divise en deux parties égales la portion de Tune ou Tautre asymptote comprise entre les tangentes à ses deux extrémités.

6® Si, sur une corde d^une hyperbole considérée comme diagonale, o» construit un parallélogramme dont les côtés soient parallèles respectivement aux asymptotes, Pautre diagonale passera par le centre.

7^ On donne un point fixe et une droite fixe ; un angle de grandeur constante tourne autour de son sommet placé an point fixe ; trouver le lieu du centre du cercle circonscrit au triangle formé par les côtés de Tangle et la droite fixe.

8* Un triangle ABC est inscrit dans une hyperbole ; deux de ses côtés ont des directions invariables; trouver le lieu du milieu du troisième côté.

9® Sur Tune des diagonales d'un rectangle prise pour corde on décrit un cercle ; trouver le lieu des extrémités des diamètres parallèles à la seconde diagonale.

iO^ Étant donnés un angle et un point fixe, par ce point on mène une sécante quelconque, et par les points où cette sécante rencontre les deux côtés de Tangle, on mène des droites respectivement parallèles à ces côtés; trouver le lieu du point d'intersection de ces parallèles.

\\9 Trouver le lieu d'un point tel, qu'en menant par ce point des parallèles aux asymptotes d'une hyperbole. Taire du triangle formé par ces parallèles et rhyperbole soit égale à une constante donnée.

42* Trouver le lieu d'un point tel que Tune des bissectrices des angles formes par les droites qui joignent ce point à deux points fixes  et B ait une direction donnée.

43<> Toute hyperbole équHatère circonscrite à un triangle passe par le point de rencontre des hauteurs.

4 4® Étant donnée une ellipse, on mène deux diamètres conjugués quelconques; trouver le lieu du point d'intersection de Tun deux et d'une droite menée par un point fixe perpendiculairement à l'autre.