CHAPITRE VI
Be la iparalbole.
909 — Le second des types auxquels on réduit Téquation générale du second degré est Ny*+Pj: = o, ou
(i) y»=2pa?.
Le cas où p est négatif se ramène au cas où p est positif par le changement du sens des œ positifs; nous supposerons p positif. On Toit immédiatement que la courbe représentée par Féqua lion ( i ) est symétrique par rapport à l'axe des x et qtfeUe passe à Porigine. L'équation (i), résolue par rapport à y, donne
y=±}/2px.
Pour que Tordonnée soit réelle, il est nécessaire que Tabscisse
soit positive; si Ton fait croître x de o à -h 00 , la valeur absolue de y croit aussi de o à qo ; on a ainsi deux arcs inflnis AD et ÂD\ qui forment la parabole (fig. ii5].
La droite AX est Taxe de la parabole ; le point A en est le sommet; la longueur p, qui détermine la courbe, s'appelle le paramètre de la parabole.
903 — Construction de la courbe par points. — L'ordonnée HP du point H est moyenne proportionnelle entre la longueur constante 2p et Tabscisse AP. Portons sur AX et dans le sens des X négatifs une longueur AQ égale à 2p; puis décrivons diverses circonférences ayant leurs centres sur QX et passant au point Q; ces circonférences coupent de nouveau Taxe AX aux points P, P', . . . ei la droite AY aux points N, N', — Par les points P, F,. . . menons des perpendiculaires à Taxe AX; par les points N, N', . . • des perpendiculaires à AY; les points de rencontre M, M', . . . appartiennent à la parabole.
Fig. ii;
18a LIVRE III, CHAPITRE VI.
304 — Des relations
MP' = 2pxAP, FF' = 2pxAF,
A 'A f ^' AP
on déduit ; = -rrrrr
Les carrés des ordonnées perpendiculaires à l'axe de la parabole sont proportionnels aux segments de Vaxe compris entre le sommet et les ordonnées.
905 — Par le point M de la courbe menons une parallèle à Taxe, et imaginons qu^un point mobile parcoure cette parallèle. Si dans la fonction
y* — 2pa?
on remplace x eiy par les coordonnées du point mobile, cette fonction se réduira à zéro lorsque le mobile sera en M, elle aura une valeur positive pour une position du mobile extérieure à la courbe et une valeur négative pour une position intérieure.
306 — Nous avons vu que les branches infinies de l'hyperbole ont des asymptotes; il n'en est pas de même de la parabole. Et, d'abord, puisque y augmente indéfiniment avec x, il n'y a pas d'asymptote parallèle à Taxe de la parabole. En second lieu, soit y^:=ax-hb Téquation d'une droite quelconque oblique à Taxe, la différence des ordonnées des points de la droite et de la courbe qui correspondent à une même abscisse est égale à
ax-hb — }J2px
et peut se mettre sous la forme
Quand x augmente indéfiniment, le premier facteur augmentant indéfiniment, et le second tendant vers la valeur a différente de zéro, le produit augmente indéfiniment. Donc il n'y a pas non plus d'asymptote oblique à l'axe*
TANGENTE
SOV— La tangente au point M^ dont les coordonnées sont x
et y^ a pour équation
(2) yY = p{X-f-ar).
Soit T le point où la tangente rencontre Taxe de la parabole
(fig. ii6); si dans l'équation (2) on fait Y=o, on trouve X=—rr; donc AT = AP. Ceci donne un moyen facile de construire la tangente à la parabole en un point donné M; on abaissera la perpendiculaire MP sur Taxe, on prendra AT = AP et Ton pjg ijg joindra les points M et T.
SOS — Mener une tangente par un point extérieur H^. — Soient x. et y^ les coordonnées du point M, ; les points de contact seront déterminés par Téquation de la corde des contacts
jointe à celle de la courbe (i). On en déduit
y = »i ± Vyî — 2p^i, x=
up
ces yaleurs sont réelles toutes les fois que le point M^ est exté* rieur à la courbe.
Pour construire la droite MM^ on cherche les points où elle coupe les axes des coordonnées; si^ dans l'équation (3)^ on fait y = o, on trouve x= — Xj, c'est-à-dire que AI est égal à
APj; si Ton fait x = o, on trouve y = ^—^; on obtiendra le
point K par une quatrième proportionnelle.
900 — Tangente parallèle à une droite donnée. — Si Ton désigne par m le coefficient angulaire de la droite donnée^
réquation - = m, jointe à celle de la courbe^ détermine les
coordonnées du point de contact y=z^^ x=^-^- On en dé-
duit l'équation de la tangente
4) Y = mX-h
182 LIVRE m, CHAPITRE VI.
310 — Normale, — La normale HN en on point M de la parabole, dont les coordonnées sont xety,a pour équation >
En 7 faisant Y = o^ on obtient l'abscisse du point N où elle rencontre Taxe ; on trouve
PN = X — a;=p.
Ainsi^ dans la parabole, la soiLS-normale PN est œnstante et égaleau paramètre p.
DIAMÈTRES
211— En appliquant l'équation générale des diamètres des courbes du second degré à la parabole dont l'équation est y* — 2px = o, on obtient l'équation
(6) my-^p = o, ou îr=^-
On retrouve cette propriété déjà démontrée au n** i32, savoir que tous les diamètres de la parabole sont parallèles à Vaxe. Comme on peut prendre le coefficient angulaire m des
cordes de manière que — ait telle valeur que Ton voudra,
y, il en résulte que, réciproquement, toute parallèle à l'axe est un diamètre.
^'^ p' Soit A' le point de rencontre du dia-
mètre et de la courbe (fig. 117); l'ordon-
X née du point A^ étant égale à — et le coefficient angulaire de la tangente en ce point ayant pour valeur ^» c'est-à-dire m, on en
Fig. 117. conclut que la tangente à Vextrémité d'un
diamètre est parallèle aux cordes que ce diamètre divise en deux parties égales.
212— Parabole rapportée à un de ses diamètres et à la tangente à son extrémité. — Nous avons vu (n** iSg) que, lorsqu'on prend pour axes des coordonnées un diamètre A'X'et
la tazigeate A'Y^ à son extrémité, réquatioii de «a parabole prend la forme
Si Von appelle a et b les coordonnées du point A' par rapport aux axes primitifs, et que l'on mène AF parallèle à A'T, on sait que Ton a A'P' = AT = AP5 les coordonnées du sommet A
par rapport aux nouveaux axes sont donc a et — V4a*4-6*; comme elles doivent vérifier l'équation (7), on en déduit
On a aussi
