TN
A^N sin6'
PN
d'où
sine' |/ — lii — . — .
sin*6 sin*Ô
S13 — La parabole, rapportée à un diamètre A'X et à la
tangente A^Y (fig. 118), ayant pour équation y* = 2p'x, il est évident que l'équation y Y = p' (X -h ap) représentera, soit la tangente au point M, si x et y désignent les coordonnées de ce point, soit la corde des contacts des tangentes issues d^un point extérieur, si a: et j^ désignent les coordonnées de ce point extérieur.
Les tangentes aux deux extrémités M et Pig. 118. M' d'une corde coupent le diamètre en un
même point T, tel que A'T = A^I. Il en résulte que la droite des contacts MM', relative à un point extérieur T, est divisée ea deux parties égales par le diamètre TX qui passe en ce point, et que, de plus, on a A' I = A' T.
Ceci donne le moyen de construire une psurabole par points,
184 LIVRE III, CHAPITRE Vl.
lorsqu'on connait deux tangentes TM, IW, et les points d^ contact M et H^ On mène la corde MM^ on joint le milieu I aii point T, le milieu A^ de la droite TI est un point de la courbe, et la tangente en ce point est parallèle à HM^ A Taide de la tangente A'T^, qui touche la courbe en A^, et de chacune des tangentes données, on déterminera deux nouvelles tangentes avec leurs points de contact; et ainsi de suite. Cette méthode est fréquemment employée pour raccorder deux droites par un arc de parabole, lorsqu'on ne peut se servir d'un arc de cercle, c'est-à-dire lorsque les distances TM et TM' ne sont pas égales.
AIRE d'un segment PARABOLIQUE.
214 — ^Proposons-nous d'évaluer Taire S du triangle mixtiligne A^IM (fig. ii8). Si l'on considère cette aire comme une fonction de l'abscisse du point M, la dérivée S^ est donnée par la formule
S' = ysin6=: V2pîc.sin6 = V2p.sln9.aJ .
On en déduit
S = :qV2p.sin9.x H-C.
La constante C est nulle puisque Faire se réduit à zéro pour x = o. On a ainsi
S = ^x yflpxsin^ = ^^y sinô.
L'aire S est égale aux deux tiers du parallélogramme A'IMN; et, par suite. Taire du triangle mixtiligne A'NM est le tiers du même parallélogramme.
EXERCICES
\^ Lieu du sommet d^uo angle cîrconscrll à la parabole, et tel que le triangle formé par les côtés de Tangle et l'arc de parabole ait une aire constante.
^^ Lieu des points desquels on peut mener à une parabole deux normales rectangulaires.
30 Une sécante tourne autour d*uD point fixe pris sur Taxe d'une para-
bole; par les points où elle coupe la parabole on mène des normales; trouver le lieu du point de concours de ces normales.
4<> Une parabole se roeut parallèlement à elle-même, de manière que son sommet décrive la parabole dans sa position initiale ; du sommet de la parabole fixe on mène des tangentes à la parabole mobile ; trouver le lieu des points de contact.
5<* Lieu du point tel que la somme des carrés des normales menées de ce point à une parabole donnée soit constante.
6® Étant donnée une courbe du second degré inscrite dans un angle» on mène une tangente quelconque à cette courbe ; trouver le lieu du point de concours des médianes ou des hauteurs du triangle formé par la tangente mobile et les côtés du triangle ; trouver aussi le lieu du centre du cercle circonscrit au même triangle.
7® Étant donnée une ellipse, par un point fixe on mène deux droites rectangulaires quelconques, et aux points où ces droites rencontrent l'ellipse on mène des tangentes à cette ellipse ; trouver le lieu des points de rencontre de ces tangentes.
80 Même problème, quand on remplace les droites rectangulaires par des droites parallèles à deux diamètres conjugués d'une autre ellipse donnée.
9^ Un angle de grandeur constante tourne autour de son sommet placé sur nne courbe du second degré donnée; aux points où les côtés de Tangle rencontrent la courbe on mène des tangentes à cette courbe. Trouver le lieu des points de rencontre de ces tangentes.
40* Trouver le lieu du centre d'un triangle équilatéral formé par trois tangentes ou par trois normales à une parabole.
44* L*aire d*un triangle qui a pour sommets les points de contact de trois
tangentes à une parabole est le double de Taire du triangle formé par ces
tangentes et a pour expression ± — (y' — y") (y" — y'") {y'" — y') , en
désignant par y', y", y'" les perpendiculaires abaissées des sommets du triangle sur Taxe.
i2* On mène une tangente quelconque à une hyperbole, on joint les points où elle coupe les asymptotes respectives à deux points fixes; trouver le lieu du point de concours des deux droites.
43* Mener à une parabole une normale telle que l'aire comprise entre celte normale et la courbe ait une valeur minimum.
