CHAPITRE VII

Slft — Proposons-nous d'abord la question suivante : Étant donnés un point F et une droite DE (fig. 119), trouTer le lieu

du point dont les distances au point et à la droite donnés sont entre elles dans un rapport constant.

Traçons dans le plan des axes rectangulaires quelconques; appelons a et P les coordonnées du point F, et soit mx ■+• ny 4- * = o l'équation de la droite DE; les distances d'un point quelconque Fig. 119. H du lieu au point F et [à la droite DE

sont d(Hinées par les formules

MF si l'on désigne par k le rapport constant ^» le lieu aura

pour équation

n vTT-T ûT5 ,k{mx-]-ny-{-h)

ou (X - a)^4- (y -fY = ^.^^. '

Ce lieu est une courbe du second degré. La quantité B* — 4AC, qui sert à Kiistinguer l'espèce de la courbe, étant égale à 4 (k^ — i), la <M>urbe est une ellipse, une parabole ou une hyperbole^ suivant que le rapport le est inférieur, égal, ou supérieur à l'unité.

ItlO — Réciproquement, étant donnée une courte du secotid degré, nous nous proposerons de chercher s'il existe dans le plan de la courbe un point fixe F et une droite fixe DE tels que le rapport des distances de chacun des points de la courbe au point F et à la droite DE soit constant. Si Ton trouve

un point et une droite jouissant de cette propriété^ le point s'appellera foyer de la courbe, et la droite directrice.

On peut énoncer la question d^une autre manière : les axes des coordonnées étant quelconques et foisant entre eux un angle 6, supposons qu'on ait trouvé un point F ayant pour coordonnées a et p et une droite DE ayant pour équation

MF «w?-f-ny-4-ft = o, tels que le rapport ^ soit égal à une

quantité constante k; la distance MP d'un point M de la courbe dont les coordonnées sont a; et y à la directrice DE ayant pour

d= (ma? -h nt/ 4- ^) sin9 expression , i» on aura

ym* -h n* — 2mn cosô

jip ^ j, *(ma; + ny + h) sinfl Vw* + n' — 2mn cosô

Ainsi la distance d'un point quelconque M de la courbe au foyer F s'exprime pat une fonction entière et du premier degré des coordonnées a; et y du point M.

Inversement, si un point fixe F jouit de cette propriété que sa distance à un point quelconque M de la courbe s'exprime par une fonction entière et du premier degré des coordonnées X et y du point M, ce point F est un foyer, c'est-à-dire qu'il existe une droite DE, telle que le rapport des distances de chacun des points de la courbe au point F et à la droite DE soit constant. En effet, supposons que Ton ait

FM =dz (mx -hny + h),

en désignant par mx-i-ny-i-h une fonction entière et du premier degré des coordonnées a: et y du point M. Considérons la droite DE qui a pour équation

m^H-ny-hA = o;

la distance du point M à cette droite est donnée par la formule

„p =b {mx -\-ny-hh) sin6 ^

Vm* + n* — 2 mncosô

- MF slm^ H- n* — 2 m» cos«

on a donc iîï=; = :— s •

MP smO

Ainsi le rapport des distances de cbacun des points de la

courbe au point fixe F et à la droite fixe DE est constant; le point F est donc un foyer de la courbe, et la droite DE la directrice correspondante. En désignant par k la valeur du rapport constant, on a ftsînO = Vtn*-f-n* — 2mncosô.

Voilà pourquoi on définit souvent le foyer d'une courbe du second degré un point fixe F, tel que sa distance à un point quelconque M de la courbe s'exprime par une fonction entière et du premier degré des coordonnées du point AI. On obtient réquation de la directrice en égalant cette fonction à zéro.

Il est évident à priori que cette propriété algébrique du foyer est indépendante de la position des axes des coordonnées dans le plan; car une fonction entière et du premier degré conserve ce même caractère quand on change les axes des coordonnées.

Si Ton prend Taxe des y parallèle à la directrice. Taxe des x étant quelconque, l'équation de la directrice devant se réduire à la forme mx + ft = o, le coefficient w sera nul et la distance du foyer à un point quelconque M de la courbe s'exprimera par une fonction entière et du premier degré ±:(ma?-hft) de Tabscisse x du point M.

On voit par là que la recherche du foyer et de la directrice dans les courbes du second degré revient à la détermination d'un point F, tel que sa distance à un point quelconque M de la courbe s'exprime par une fonction entière et du premier degré des coordonnées x e\y du point M. Supposons les axes rectangulaires, et soit

(i) Air*+Ba;y-hCî/*-l-Da?-f-Ei/ + F = o

réquation d'une courbe du second degré donnée. Appelons a et p les coordonnées du foyer cherché, les coordonnées de chacun des points de la courbe devront vérifier réquation

yl[x^oLf-^[y — ^Y=± (mx + ny 4- h), ou (2) (a? — a)*4-(y — P)*--(ma;-hny + A)* = o.

Les équations (i) et (2), représentant toutes les deux la même courbe, sont identiques, c'est-à-dire que les coefficients des termes correspondants doivent être proportionnels; on aura

donc pour déterminer les cinq inconnues a, % m^ n, h^ les cinq équations

— m* — 2mn i — n* — 2(a-hmfe) — 2(p+nA) a'+p*

Afin de faciliter le calcul, nous considérons séparément les trois courbes du second degré rapportées aux systèmes d'axes rectangulaires qui ont servi à simplifier leurs équations.

«1 y— Soit

réquation d'une ellipse donnée rapportée à ses axes. Cette équation ne contenant pas de terme en xy^ il faut que le coefficient — 2mn de ce terme dans Téquation {2) soit nul, ce qui exige que Ton ait, soit w = o, soit m = o. Supposons d'abord n = o; les coefficients des termes du premier degré devant être aussi nuls, on aura, a -Mnft = o, P = o, et les équations (3) se réduiront à

On en déduit m*= — ; comme on peut toujours supposer

m positif, sans quoi on changerait les signes des coefficients

m, n, h dans Téquation (2), on prendra m =

Si,

dans réquation a* (i — m*) = A* — a*, on remplace h par sa valeur tirée de réquation a-hm/i = o, on trouve a*=a^— 6% d'où a=dz\/a* — 6% A=q=a.

On obtient ainsi deux foyers F et F' (fig. 120) situés sur le

E grand axe et à égale distance de part et d'autre du centre. Pour les construire, du sommet B-du D~x petit axe comme centre, avec un rayon égal à a, on décrira un cercle; les points F et F' où ce cercle

190 LIVRE m, CHAPITRE YH.

coupe le grand axe, sont les loyers. Si, pour al^ger, on pose

a* — 6"=c*, ona a=±c, m = -» ft=ipa; les signes supérieurs se rapportent au foyer F, les signes inférieurs au foyer F^ On sait que Ton a Téquation de la directrice en égalant à zéro le polynôme mx-hny + h; cette équation se réduit à

-aî=pa=o, ou a5=±— • On obtient ainsi deux directrices; a ^ c '

au foyer F correspond la directrice DE qnî a pour équation

œ= —; au foyer F' la directrice D'E^ qui a pour équation

rr= • Ces directrices sont perpendiculaires au grand axe

et à égale distance du centre; la détermination du point I> revient à une troisième proportionnelle; on la construit de la manière suivante : sur le grand axe comme diamètre décrivons un cercle., par le foyer F élevons une perpendiculaire à cet axe, et au point N où la perpendiculaire coupe le cercle^ menons une tangente au cercle; le point où cette tangente rencontre le grand axe est le point D.

Nous avons vu aussi que le rapport constant des distances de chacun des points de la courbe au foyer et à la directrice

correspondante est égal à VïnM-w* en coordonnées rectangu-

laires; on a donc k = m =— Le rapport - est ce qu'on appelle

excentricité de Tellipse.

!ïl 8— Supposons maintenant m = oj les coefficients des termes du premier degré devant être nuls, on aura ol=o, ^-{-nh = o, et les équations (3) se réduisent à

On en déduit

Pour obtenir ces nouvelles solutions, il suffit de permuter dans les premières les lettres a et &, m et n, a et p. Comme nous avons supposé a plus grand que b, ces deux solutions sont

imagioaires. Ainsi on peut attribuer aux eonstanted quatre systèmes de -valeurs qui rendefit identiques les équations {2) et (4); mais il n'y a que deux de ces systèmes qm donnent des foyers et des directrices réete.

THÉORÈME I

919 — Xft êomme ieê disimneeê de chacun éks points de f ellipse au^ deux foyers e&ê c&nstanie, La distance d'un foyer à un point quelconque M de la courbe

(CiJS \

Le signe — dans la parenthèse se rapporte au foyer F> le signe + au foyer F^; on choisira le signe placé en ayant de la parenthèse de manière à a\oir une quantité positiYe.

Dans Tellipse, le rapport - étani moindre que Tunité et

1 abscisse x moindre que a en yaleur absolue, le terme —

est plus petit que a en valeur absolue, et, par conséquent, la parenthèse a le signe du second terme. On prendra devant la parenthèse le signe — pour le foyer F et le signe -H- pour le foyer F^; on a ainsi

MF = a— — » MF = a-h— ; a a

d'où Ton déduit

MF-|-MF/ = 2a.

399— CoBOLLAiRE I. La somme des distances d'un point

intérieur à l'ellipse aux deux foyers est plus petite que le grand

o^e; la somme des dislances d'un point extérieur est plus

grande que le grand axe.

Considérons d'abord un point N (fig. 121) situé à l'intérieur

^ de Tellipse. Joignons ce point aux deux foyers et prolongeons la droite F^N jusqu'à sa rencontre avec l'ellipse en H. Le point M appartenant à l'ellipse, la somme des deux rayons vecteurs ^ii^7m7 MF 4- MF' est égale au grand axe AA';

iiiais la ligne droite NF est plus petite que la ligne brisée

192 , UVRE m, CHAPITRE VIL

NM + HF; en ajoutant de part et d'autre la même longueur F'N, on voit que le chemin F'N+NF est plus petit que F^M-hMF, c'est-à-dire plus petit que AA^

Considérons maintenant un point P situé hors de Tellipse; la droite PF' rencontre Tellipse en un point M. La h'gne brisée MP -h PF est plus grande que la ligne droite MF; en ajoutant de part et d'autre la même longueur F'M^ on voit que le chemin p/p -I- PF est plus grand que F'M + MF, c'est-à-dire plus grand que AA'.

11 est clair que les réciproques sont vraies. Si la somme des distances d'un point du plan aux deux foyers est plus petite que le grand axe, ce point est intérieur à l'ellipse. Si la somme est plus grande que le grand axe, le point est extérieur.

Il résulte de là que l'on pfeut considérer l'ellipse comme le lieu des points dont la somme des distances aux deux foyers est égale à 2 a. C'est ainsi qu'on définit l'ellipse en Géométrie élémentaire, et c'est sur celte propriété que repose la construction de l'ellipse par points, ou d'un mouvement continu, dont nous avons parlé au commencement (n*"^ 12 et 1 3).

331. — Corollaire IL L'ellipse est le lieu des points également distants d'un foyer ¥ et du cercle décrit de Vautre foyer F' comme centre, avec un rayon égal au grand axe. Si l'on joint

les foyers à un point quelconque M de l'ellipse, et si Ton prolonge le rayon vecteur F^M d'une longueur MH égale à MF, on obtient une longueur F' H constante et égale au grand axe ; le lieu du point H est donc la circonférence décrite du foyer F' comme centre avec le grand axe pour rayon. La portion HH du Fig. 125. rayon étant le plus court

chemin du point M à cette circonférence, on voit que le point

FOYERS ET DIRECTRICES. i93

M de l'ellipse est également distant du foyer F et de la circonférence. On a donné à ce cercle le nom de cercle directeur.

THÉORÈME II

922 — La tangente à reUipse fait des angles égaux avec les rayons vecteitrs, qui vont du point de contact aux deux foyers. Prenons deux points voisins M et M^ (flg. i23) sur Tellipse; du foyer F comme centre, avec FM^ pour rayo^i, décrivons un arc de cercle qui coupera en C le rayon vecteur FM, la longueur MC représente la difTérence des deux rayons vecteurs FM et FM', ou la diminution qu'éprouve le rayon vecteur FM quand on passe du point M au point voisin M'. De même, si du foyer F' comme centre, avecF'M' pour rayon, on décrit un arc de cercle qui coupera î'is- 123. en D le rayon vecteur F' M prolongé, la

longueur MD représentera la différence des deux rayons vecteurs F' M et F' M', ou Taccroissement qu'éprouve le rayon vecteur F'M quand on passe du point M au point M'. Ainsi, quand on passe du point M au point M', le rayon vecteur FM éprouve une diminution MC, tandis que Vautre rayon vecteur F'M éprouve un accroissement MD. Puisque la somme des deux rayons vecteurs FM-l-F'M reste constante, l'augmentation de Tun est égale à la diminution de l'autre, et, par conséquent, les deux longueurs MC et MD sont égales.

Par les deux points M et M' menons la sécante MS; dans les deux cercles considérés précédemment, traçons les cordes M'C et M'D. Sur la sécante MS portons une longueur MO, arbitraire, mais invariable, et par le point G menons GH parallèle à M'C, GK parallèle à M'D; à cause des parallèles, on a les rapports

égaux

MG MW MD.

MH""MG ""MK'

puisque les deux longueurs MC et MD sont égales, il en résulte que les deux longueurs MH et MK sont aussi égales.