BB
Supposons maintenant que le point H^ se rapproche indéfiment du point M; la sécante HS tend vers une position limite MT (fig. 124)^ qui est la tangente à Tellipse. En même temps^ les points C et D se rapprochent du point M^ les cordes M'C et M^D, prolongées, tendent vers les tangentes aux cercles décrits des points F et F' comme centres avec FM et F' M pour rayons et, par conséquent, deviennent perpendiculaires aux rayons FM et F' M; leurs parallèles GH et GK prennent aussi des directions perpendiculaires à ces mêmes rayons, et, par conséquent, les angles H et K deviennent droits.
Les limites des deux triangles MGH, MGK (flg. i23) sont deux triangles rectangles MGH, MGK (fig. 124); ces deux triangles,
ayant Thypoténuse MG commune et les côtés MH et MK égaux entre eux comme limites de loqpieurs égales, sont égaux ; d'où l'on conclut Tégalité des deux angles GMH, GMK. Il en résulte que la tangente MT à Tellipse divise en deux parties égales Tanglc FMK formé par Tun des rayons vecteurs MF et le prolongement de l'autre F' M.
L'angle F'MT' étant égal à son opposé par le sommet GMK, on voit que la tangente TT' fait, avec les deux rayons vecteurs qui vont au point de contact, des angles égaux FMT, F^MT^
223 — Corollaire I. Menons au point M (fig. i25) une perpendiculaire MN à la tangente TT^, nous aurons la normale à Tellipse. Les deux angles FMN, F^MN sont égaux comme complémentaires des angles égaux FMT, F'MT'; ainsi la normale à Vellipse au point M est bissectrice de Vangle FMF^ des Fig. 125. rayons vecteurs qui vont de ce point aux
deux foyers.
284— Corollaire II. Supposons qu'une lumière soit placée au foyer F (fig. 126) d'une ellipse; les rayons lumineux, partant du point F, se réfléchissent sur Tellipse en faisant un
iDgIe de réfleicion égal à Tangle d'iDcidence. Soit FM Tun de
ces rayons ; menons la tangente TT' à
Fellipse en ce point; le rayon réfléchi,
devant faire avec MT' un angle égal à
FMT^ sera dirigé suivant MF^ Ainsi les
rayons réfléchis viennent tous concou-
Fig. 126. rir au second foyer F' où ils forment
une image très-brillante de la flamme placée au premier foyer
F. C'est de là que vient la dénomination de foyer.
325 — Corollaire III. Réciproquement^ Tellipse est la seule courbe qui jouisse de la propriété que sa tangente fasse extérieurement des angles égaux avec les rayons \ecteurs qui vont du point de contact à deux points fixes F et F'. Cherchons, en «ffet, réqualion de la courbe en coordonnées bi-polaires, et désignons par t* et r les deux rayons vecteurs MF, MF' (flg. i23). Quand on passe d'un point M de la courbe au point voisin M^ les deux rayons vecteurs m et r éprouvent des variations
AM=— MC, Ai?=-|-MD, W MD MK
et Ton a
Au MG "^ MH
Quand le point M' se rapproche indéflniment du point M, ia
droite MH^ devient tangente et les deux angles H et K, comme
nous l'avons dit, deviennent droits. Nous supposons d'ailleurs
les deux angles GMH, GMK (flg. 124) égaux entre eux; les
deux triangles rectangles GMH, GMK sont donc égaux, et Ton a
A V M = Wi; le rapport — tend vers une limite égale à — i.
Si Ton considère v comme une fonction de u, on voit que la dérivée de cette fonction est égale à — i; en remontant à la fonction primitive, on a v =— ti -h C; et, par suite, tiH-v =G. Donc la courbe est une ellipse.
SIÏ6— Corollaire IV. Le lieu des projections des foyers sur les tangentes à l'ellipse est le cercle décrit sur le grand axe comme diamètre. Prolongeons le rayon vecteur F' M d'une longueur MH égale à MF; la tangente divisant en deux parties égales Tangle FMH, est perpendiculaire sur le milieu I
«96 LIVRE m, CHAPITRE VIL
de la droite FH (flg. 127); joignons ce point au centre O de Tellipse. La droite 01^ qui divise en deux parties égales les
côtés FF, FH du triangle F'FH, esl parallèle au troisième côté F^H, et en est la moitié; la longueur F' H étant égale au grand axe ÂA^, la distance 01 est constante et égale à OA. Donc le lieu du point I est la circonférence de cercle décrite du point 0 comme centre, avec 0 A pour rayon.
Fig. 127.
PROBLÈME I
227 — Mener une tangente à Vellipse en un point M donné sur l'ellipse.
Nous avons déjà résolu ce problème, ainsi que les suivants^ ca considérant Tellipse comme la projection d'un cercle. Nous traiterons les mêmes questions par une autre méthode qui pourra être appliquée à Thyperbole et à la parabole.
Prolongeons le rayon vecteur F'M (flg. 128) d'une longueur MH égale à l'autre rayon vecteur MF, et par le point M menons une droite TT^ perpendiculaire à FH; nous aurons la tangente demandée. Car, dans le triangle isocèle FMH, la droite MT, perpendiculaire abaissée du sommet sur la base FH, divise l'angle au sommet en deux parties égales. Celte droite, étant bissectrice de l'angle FMH formé par l'un des rayons vecteurs et le prolongement de Vautre, coïncide avec la tangente à l'ellipse.
2» 8— Remarque. Il est bon d'observer que tous les points de la tengente, excepté le point de contact M, sont situés hors de l'ellipse. Soit P un point quelconque de la tangente, joignons ce point aux deux foyers et au point H. La tangente, étant perpendiculaire sur le milieu de FH, la distance PF égale PH et, par conséquent, la ligne brisée F'P + PF égale la ligne brisée FT + PH; mais cette dernière est plus grande que la ligne droite F'H qui est égale au grand axe de Tellipse, puis-
Fig. i28.
FOYERS ET DIRECTRICES. i97
|u'on a prolongé le rayon vecteur F'M d'une longueur MH igale à MF. La somme des distances du point P aux deux foyers itant plus grande que le grand axe, ce point est situé hors de 'ellipse.
La ligne brisée F^M + MF est le plus court chemin allant du K)int F' au point F en passant par un point de la tangente.
Oq dit qu'une ligne brisée est convexe y lorsqu'elle est située lout entière d'un même côté par rapport à chacun de ses côjtés indéfiniment prolongés. De même> on dit qu'une courbe est convexe lorsqu'elle est située tout entière d'un même côté par rapport à chacune de ses tangentes indéfiniment prolongées. Il résulte de ce qui précède que l'ellipse est une courbe fermée convexe.
PROBLÈME II
929 — Mener une tangente à V ellipse par un point ex térieur P.
Supposons le problème résolu^ et soit PM (fig. 129) une tangente passant par le point P. Si Ton prolonge le rayon vecteur
F^H d'une longueur HH égale à FH^ on sait que la tangenle PM est perpendiculaire sur le milieu l' de la droite FH ; la question revient donc à déterminer le point H. Puisque la droite F^H est égale au grand axe AA^^ le point H est î'ig- 129. situé sur la circonférence décrite
du foyer F' comme centre avec AA' pour rayon. D'autre pari, la distance PH étant égale à PF, le point H est sur la circonférence décrite du point P comme centre avec PF pour rayon; le point H est donc à l'intersection de ces deux circonférences. On déduit de là la construction suivante :
Du foyer F' comme centre, avec un rayon égal au grand axe, décrivons un cercle. Du point P comme centre, avec un rayon égal à la dislance PF de ce point à l'autre foyer, décrivons un second cercle, qui coupera le premier au point H. Joignons FH, et du point P menons une perpendiculaire à la
i98 LIVRE III, CHAPITRE Vn.
droite FH^ nous aurons la tangente demandée. Le point d^ contact M sera déterminé par l'intersection de la tangente aved la droite F H.
Les deux cercles se coupent en un second point H^; en me^ nant de même du point P une perpendiculaire à FH^ on aura une seconde tangente PM^^ dont on déterminera le point de contact M^ à Faide de la droite F' H'.
Il est à remarquer que ces constructions peuvent être efiPectuées sans que Tellipse soit tracée. II suffit que Ton connaisse les foyers et le grand axe.
PROBLÈME m.
230 — Mener à l'ellipse une tangente parallèle à une droite donnée KL.
Supposons le problème résolu, et soit ST une tangente parallèle à KL (fig. i3o). Si l'on prolonge F^M d'une longueur MH
égale à MF, on sait que la tangente est perpendiculaire sur le milieu de ^ FH. On en déduit la construction suis vante :
Du foyer F' comme centre, avec un rayon égal au grand axe, décrivons un cercle; par l'autre foyer F menons une droite FH perpendiculaire à la droite donnée KL; cette droite coupera la circonférence en un point H; sur le milieu de FH, élevons une perpendiculaire ST, nous aurons la tangente demandée. Le point de contact sera déterminé par l'intersection de la tangente^vec la droite F'H.
La droite FH prolongée rencontre la circonférence en un second point H^; en élevant une perpendiculaire sur le milieu de FH', on obtiendra une seconde tangente S'T', dont on déterminera le point de contact M' par la droite F'H^
PROBLEME IV
23 W— Une ellipse étant définie par ses foyers et son grand
Fiff. 130.
FOYERS ET DIRECTRICES. i99
\xe, déterminer les points où elle est coupée par une droite
lonnée MMf.
Soit M Fun des points où la droite donnée coupe l'ellipse
fig. i3i) ; joignons ce point aux deux foyers et prolongeons le
rayon vecteur FM d'une longueur MH égale à MF; le point H
appartient au cercle directeur décrit du foyer F' comme centre; si du point M comme cen-
'\ ire, avec un rayon égal à MF, \ on décrit un cercle, ce cercle / sera tangent en H au cercle di- / recteur; en abaissant du foyer F une perpendiculaire sur la droite donnée et prolongeant Fig- 131- cette perpendiculaire d'une
longueur égale à elle-même, on obtient un second point F^ appartenant à ce même cercle. La question revient donc à trouver le centre M d*un cercle passant par les deux points donnés F et Fj et tangent au cercle directeur. Pour cela, par les deux points F et Fj on fait passer un cercle quelconque qui coupe le cercle directeur en deux points K et K'; du point 1, intersection des deux droites FFj et KK', on mène une tangente IH au cercle directeur; le point M, où la droite FH coupe la droite donnée, sera le point cherché.
On a, en efièt,
ffl*=IKxIK^ = lFxlFj;
donc le cercle qui passe par les trois points F, F,, H est tangent en H au cercle directeur. Comme on peut mener du point I deux tangentes au cercle directeur, on aura deux points M et M'.
Lorsque le point ¥^, symétrique du foyer F par rapport à la droite donnée, est situé à l'intérieur du cercle directeur, il y a effectivement deux solutions. Lorsque le point Fj est situé sur le cercle^ la droite est tangente à l'ellipse. Enfin, quand le point Fj est situé hors du cercle, la droite ne rencontre pas l'ellipse.
FOYERS ET DIRECTRICES DE L'hYPERBOLE.
»3»— Soit
réqualion d^ine hyperbole donnée rapportée à ses axes. Le calcul est le même que pour l'ellipse; il suffit de remplacer 6' par — 6'. On a ainsi les deux solutions réelles
dy
et les deux solutions imaginaires
a=:o, P=dzV— a' — 6% m=o, n=
Les deux premières solutions donnent deux foyers réels F
et F' situés sur Taxe transverse à égale distance du centre (fig. 1 32).
On les obtient en menant par le sommet A une perpendiculaire AGàTaxe transverse jusqu'à Fasymptote, et prenant sur l'axe tranverse des longueurs OF et OF' égales à OG. Si, pour abréger, on pose a*-|-6*=c% on a
Fis. 132.
Les directrices sont représentées par les équations
c Cl*
Au foyer F correspond la directrice DE, au foyer F' la directrice D^E^ Du point 0 comme centre, avec OA pour rayon, décrivons un arc de cercle qui coupe l'asymptote au point H, ce point appartient à la directrice. En efTet, les deux triangles OAG, OHF, qui ont un angle commun 0, les côtés OA = OH et OF = OG, sont égaux, et l'angle OHF est droit ; si, du point H, n abaisse une perpendiculaire HD sur Taxe transverse OA, on
FOYERS ET I»RECTRIGES. 201
t ÔH*= OFxOD, et, par suite, 0D = — • Ain^i la droite DH
îst la directrice.
Le rapport constant *== ymM-n* est égal à m ou au rapport -♦ qu'on appelle excentricité de Thyperbole.
THÉORÈME m.
S33 — La différence des distances de chacun des points de Vhyperbole aux deux foyers est constante et égale à Vaxe tranverse.
La distance d'un foyer à un point quelconque H de la courbe
/ex \ a pour expression ±1 — ip a ) -; le signe supérieur dans la parenthèse se rapporte au foyer F, le signe inférieur au foyer F'.
Il faut, en ayant de la parenthèse, choisir le signe de manière
il avoir des longueurs positives. Dans l'hyperbole, le rapport -
étant plus grand que l'unité et x plus grand que a en valeur
ex absolue, le premier terme — en valeur absolue est plus grand
que a. Il faudra donc faire précéder la parenthèse du signe ou du signe — , suivant que le point M est sur la branche de droite ou sur celle de gauche. Dans le premier cas, on a
MF= — -a, MF = — -t-a,
d'où MF — MF = 2 a.
Dans le second cas, on a
d'où MF — MF = 2a.
234— Corollaire. La différence des distances d'un point situé entre les deux branches de l'hyperbole aux deux foyers est ^\us petite que l'axe transverse ; lorsque le point est situé dans lt$ deux autres parties du plan, la différence est plus grande gue Vaxe iransverse.
Soit P un point situé entre les deux branches de la courbe
Fin. 133.
(Qg. i33) ; la droite PF rencontre l'hyperbole an point M. On i
