MC MM' MD

MH"~MG"~MK'

puisque les deux longueurs MC et MD sont égales, il en résulte que les deux longueurs MH et MK sont aussi égales. Lorsque le point M' se rapproche indéfiniment du point M, la sécante MM' tend vers une position limite qui est la tangente à Thyperbole au point M; en même temps, les cordes M'C et M'D deviennent tangentes aux cercles décrits des foyers comme centres et, par conséquent, perpendiculaires à FM, F'M; leurs parallèles GH, GK prennent aussi des directions perpendiculaires à ces mêmes rayons, et les angles H et K deviennent droits. Les deux triangles MGH, MGK, qui ont un côté MG commun et un côté MH égal MK, deviennent donc rectangles et, par conséquent, égaux entre eux; il en résulte que les

204 LIVRE m, CHAPITRE VIL

angles GHH^ GHK deviennent ^aux; ainsi la tangente à Tliy^ perbole au point M est bissectrice de Tangle FMF^ |

93 7"— Corollaire I. L'hyperbole est la seule courbe quj jouisse de cette propriété; car en appelant w et v les rayons MF et MF', A M et At? leurs variations, on a

Ar MD MK Au~MC"~MH

Si Ton suppose que les angles GMH, GMK deviennent égaux, quand le point M' se rapproche indéfiniment du point M, les deux triangles MGH, MGK deviennent aussi égaux, ainsi que les côtés MH et MK; il en résulte que

,. Ad lim-— = I.

Au

En remontant à la fonction primitive, on a

v = ti-hC, d'où V — M = C.

23 S — Corollaire IL Une ellipse et une hyperbole homo focales se coupent à angle droit. On dit que deux courbes du

second degré sont homofocales lorsque leurs foyers coïncident; on appelle angle de deux courbes l'angle "^ de leurs tangentes au point d'intersection. Soit M le point d'intersection d'une ellipse et d'une hyperbole qui ont mêmes foyers F, F' (fig. i36); la Fig. 136. bissectrice MN de Fangle FMF' est

d'une part normale à l'ellipse, d'autre part tangente à l'hyperbole; donc les tangentes MT, MN aux deux courbes sont perpendiculaires entre elles.

PRORLÈHE V.

S30 — Mener un tangente à Vhyperbole par un point M donné sur Vhyperbole.

Sur le rayon vecteur MF' prenons une longueur MH égale à l'autre rayon vecteur MF, et par le point M menons une droite MT perpendiculaire à FH; nous aurons la tangente demandée (flg. i37).

Remarque. Il est bon d'observer que la tangente est tout

entière située entre les deux branches de l'hyperbole. Soit P un point quelconque de cette tangente^ on a