ELLIPSE

fi—Lellipse est une courbe telle que la somme des distances de chacun de ses points à deux points fixes est constante. Ces deux points sont les foyers de Fellipse. n est facile de construire Tellipse par points. Soient F et F''

(fig. 9) les deux foyers. Portons sur la droite F' F une longueur F'K égale à la somme constante des distances de chacun des points de la courbe aux deux foyers. Du foyer F' comme centre, avec différents rayons, décrivons une série de cercles; soit D le point où Tun d'eux coupe la droite F' F; prenons une ouverture de compas égale à KD, et du foyer F comme centre, avec ^^^ ouverture de compas, décrivons un second cercle; ce cercle coupera le premier en deux points M et M% qui appar*

tiendront a Tellipse ; car la somme des distances MF^ et MF du point M aux deux foyers est égale à la somme des deux rayon$ F'D et KD» c'est-à-dire à la longueur donnée F^K.

On répétera la même construction pour chacun des cercles décrits du foyer F' comme centre; quand on aura ainsi obtenu un assez grand nombre de points^ on fera passer un trait continu par tous ces points^ et on aura Tellipse demandée.

Si l'on désigne par aa la somme constante^ et par 2C la distance FF^ des foyers, il faut, pour que Tellipse existe^ que la longueur 2a soit plus grande que 2c. Représentons par a + a le plus grand rayon; le plus petit sera a — a; les deux cer* clés se couperont lorsque la différence 2a des rayons sera plus petite que la distance des centres 2c. Ainsi le plus grand rayon doit être plus petit que a-hc, le plus petit plus grand que a — c.

13— On emploie la construction graphique que nous ver nous d'indiquer dans les épures sur le papier. Hais dans les arts^ quand on veut tracer une ellipse sur une planche ou sur une feuille de carton^ on a recours à un procédé beaucoup plus rapide.

On fixe aux deux foyers F et F^ (fig. 10) deux pointes auxquelles on attache les deux extrémités d'un fil ayant la longueur voulue. On tend ensuite le fll avec un style ou un crayon que Ton fait mouvoir dans le plan en tenant le fil constamment tendu^ et Ton décrit ainsi Fig. 10. l'ellipse. Car, dans chacune des positions

du fll^ la somme des distances MF et MF' est égale à la longueur constante de ce fil. Ce mode de description montre bien que rejlipse est une courbe fermée comme le cercle.

14 — Nous indiquerons de suite quelques-unes des propriétés les plus simples de l'ellipse*

On appelle axe d'une courbe une ligne droite qui divise la courbe en deux parties symétriques, c'est-à-dire en deux parties qui s'appliquent exactement Tune sur l'autre, quand on fait tourner la première autour de l'axe pour la rabattre sur la seconde.

11 est aisé de \oir que la droite A A' (fig. ii) menée parles deux foyers est un axe dé rellipse. Car, si Ton considère les

deux points H et H' déterminés par

rintersection de deux cercles décrits

des foyers F et F' comme centres,

K' A'v F'^^- /io .F y^ h ^n a deux triangles égaux FMF',

FM' F', qui coïncident lorsqu'on fait tourner la partie supérieure de la Fis- 11 • figure autour de la droite AA^ pour

la rabattre sur la partie inférieure; le point M vient donc en M'; et, comme il en est de même pour tous les points deux à deux, la demi-ellipse AMA' s'applique exactement sur Tautre moitié AM' A^ Ainsi la droite AA^ est un axe de Tellipse.

On appelle sommeU les points A et A' où Taxe coupe la courbe. Nous avons, dans la construction de Tellipse par points, porté sur Taxe, à partir du foyer F', la longueur F'K égale à Ja somme constante. Le point A, milieu de FK, appartient à rellipse; car, si Ton remplace la distance AF par son égale AK, on voit que la somme des dislances AF' et AF de ce point aux deux foyers est égale à la somme constante F'K; ainsi le point A est l'un des sommets. De même, si Ton porte sur Taxe, à partir de Tautre foyer F, la longueur FK' égale à F'K, et si Ton prend le milieu de F'K', on aura le second sommet A'. Les deux distances AF et A'F' sont égales comme moitiés de distances égales FK, F'K', et les deux sommets A et A' sont également distants des deux foyers F et F'.

Il faut remarquer que la longueur AA' est égale à la somme constante des distances de chacun des points de Vellipse aux deux foyers. Car, si Ton remplace le segment A'F' par son égal AF ou AK, on voit que la longueur AA' est égale à F'K. IS — L'ellipse admet un second axe, la perpendiculaire BB' élevée sur le milieu de la droite FF'. En effet, du foyer F' comme centre, avec un rayon égal à FM, décrivons un premier cercle, et du foyer F, avec un rayon égal à F' M, un second cercle ; ces deux cercles, par leur intersection, détermineront deux nouveaux points N et N' de Tellipse. Les deux triangles FMF', F'NF sont égaux, comme ayant les trois côtés égaux

iO UVRE I, CHAPITRE H.

chacun à chacun. Faisons tourner la partie BÂB^ de la figure autour de BB^ pour la rabattre de Tautre côté; la droite OF s'applique sur OF'; Fangle OFM étant égal à OF'N dans les deux triangles égaux, la droite FH prend la direction F^N; et^ comme ces deux droites sont égales^ le point H tombe en N. Ainsi^ la partie BAB' s'applique exactement sur l'autre moitié BA'B^, ce qui montre que la droite BB' est aussi un axe de Fellipse.

On détermine les deux sommets B et B' par Fintersection de deux cercles égaux décrits des foyers comme centres^ avec un rayon égal à la moitié OA de AA^ Car^ les deux dis* tances BF et BF' étant égales entre elles, chacune d'elles «st i égale à la moitié de la somme constante, et par conséquent, à j la moitié de AA^ La longueur BB' est plus petite que AA'; car la ligne droite BB' est plus petite que la ligne brisée BFh-FB'^ qui est égale AA^ i

Les deux axes divisent Fellipse en quatre parties égales.

16--0n appelle centre d'une courbe un point tel que tous les points de la courbe sont situés deux à deux sur une droite passant par le centre, et à égale distance de part et d'autre.

Le point 0, intersection des deux axes, ou milieu de la dis- 1 tance FF' des foyers, est centre de Fellipse. En effet, soit M un i point quelconque de l'ellipse; joignons HO et prolongeons cette droite d'une longueur ON' égale à OM; les deux diagonales FF', HN' se coupant mutuellement en deux parties égales, le quadrilatère FMF'N' est un parallélogramme, et les | côtés opposés sont égaux. La somme des distances N'F + N'F j du point N' aux deux foyers étant égale à la somme MF' +MF^ | le point N' appartient aussi à l'elUpse. Ainsi, les deux points ; M et N' de l'ellipse sont situés sur une droite MN' passant par ^ le point 0 et à égale distance de part et d'autre. Il en est de même de tous les points deux à deux; donc le point 0 est ■^ centre de l'ellipse.

H'-^-La forme et les dimensions de l'ellipse dépendent de ^ la distance FF' des foyers et de la somme constante AA'. Nous ayons vu comment on en déduit la longueur BB'. Inversement les deux longueurs A A' et BB', qui sont les portions des axes •

Fie. 1«.

iitués dans l'ellipse^ et que, pour abréger, on appelle les axes

de Tellipse, peuvent servir à définir cette courbe. On commencera par déterminer les foyers (fig. 12). Pour cela, de l'une des extrémités B du petit axe comme centre, avec un rayon égal au demi*grand axe OA^ on décrit une circonférence qui coupera le grand axe en deux points F et F'; Teliipse dont les foyers sont F et F' et le grand axe A' A admet pour petit axe la droite B'B. Une fois les foyers déterminég^ on construit l'ellipse par points, ou bien on la trace d'un mouvement continu, comme nous l'avons expliqué.

IS — On appelle excentricité le rapport de la distance FF^ .des foyers au grand axe AA'.

L'ellipse est une courbe fermée plus ou moins allongée; sa forme dépend de Texcentricité. Quand Texcentricité est nulle, les deux foyers se confondent avec le centre; la distance d'un point quelconque de l'ellipse au centre est constante, et l'ellipse se réduit rigoureusement à une circonférence de cercle. Quand rexcentricité est très-petite, les foyers sont très-rapprochésdu centre; les deux axes diffèrent peu l'un de l'autre, Vellipse est arrondie et peu différente d'un cercle. A mesure que rexcentricité augmente, le grand axe étant supposé constant, les foyers s'écartent, le petit axe diminue, et l'ellipse prend une forme de plus en plus aplatie.

t9--Cberchons maintenant l'équation de l'ellipse. Le système de coordonnées indiqué par l'énoncé est le premier système bi-polaire; si l'on détermine la position de chacun des points du plan par ses distances aux deux points fixes F et F^i rellipse aura pour équation

Dans le second système bi-polaire, l'équation a aussi une forme très-simple; si Ton désigne par ot et p les deux angles

coordonnés, et par 2p le périmètre 2 a -+- 2 c du triangle MFF,

on a

d'où h) tang - tang - = =- = — ; —

Cherchons enfin Téquaiion en coordonnées rectilignes. Prenons les deux axes de la courbe pour axes des -^ coordonnées (fig. i3); les longueurs PF etPF' étant égales à c — x et à c-hx, les triangles rectangles FMP, Fig. 13. F'MP donnent

u=yjy*+{c — x)\ v = yjy*-h(c-hxy.

En substituant les valeurs de u et de t? dans l'équation (i), on obtient l'équation

(3) yly^-i- (c — xf -f- V»'H- [c -h xY= 2a.

Pour mettre celte équation sous forme entière, nous élèverons au carré, après avoir fait passer le premier radical dans le second membre, ce qui donne

ou, en simplifiant.

a Vy'-+- (c — ^)' = ^'— ex.

Une nouvelle élévation au carré conduit à Téquation

Mais réquation (4) n'est pas équivalente à Téquation (3) ; elle équivaut aux quatre équations

w-f-v = 2a, ti — v = 2a, — w4-v = 2a, — -u — r = 2a,

que Ton obtient, quand dans Téquation (3) on change les signes des radicaux. L'équation — u — t? = 2a n'a pas de solution réelle. Les équations u — t? = 2a, — uH-t? = 20 n'ont pas non plus de solution réelle, quand on suppose 2a > 2c; car les quantités u et v désignent les distances des points F et F^ à un point du plan ayant pour coordonnées x et y, et la difiTérence 2a des distances ne peut pas être plus grande que la distance 2c ou FF^ Ainsi, quand on se borne aux solutions réelles, on peut dire que l'équation (4) est équi-

valente à réqaation (3). La somme constante 2a étant plus grande que la distance des foyers 2c, on peut poser a* — c*=6% et réquation de Fellipse se met sous la forme a«y*-|-6'x*= 0*6',

ou

iO— L'hyperbole est une courbe telle que la différence des

distances de chacun de ses points à deux points fixes est

constante. Ces deux points fixes F et F' sont les foyers de

Vh^perbole.

Il est facile de construire Vhyperbole par points. Portons sur

la droite F^F (fig. 14) une longueur F^K égale à la différence constante. Du foyer F' comme centre^ avec différents D rayons, décrivons une série de cercles. Soit D le point où Tun d'eux coupe la droite FF'; preg, ,^^ nous une ouverture de com-

Fig. u. pas égale à KD, et, du foyer F

comme centre, avec cette ouverture du compas, décrivons un second cercle ; ce cercle coupera le premier en deux points M et M^ qui appartiennent à Thyperbole; car la difTérence des distances M'F et MF du point H aux deux foyers est égale à la différence des deux rayons F'D et KD, c'est-à-dire à la longueur donnée F' K. On répétera la même construction pour chacun des cercles décrits du foyer F' comme centre; quand on aura obtenu un assez grand nombre de points, on fera passer un Irait continu par tous ces points, et on aura un arc d'hyperbole MAM'

L'hyperbole se compose de deux branches indéfinie^ HAM^ NA'N'; pour la première, la distance MF est plus petite que MF'; pour la seconde, la distance NF est, au contraire, plus grande que NF'. On obtient la seconde branche comme la preîftière, en portant sur la droite FF' une longueur FK', égale à la différence constante, décrivant, du foyer F comme centre,

u Livre i, cflAï>iTtiE n.

un cercle avec uq rayon arbitraire Fiy, et, du foyer F' comind centre, un second cercle avec un rayon égal à F'IV.

Si Ton appelle na la différence constante et 2c la distance FF' des foyers, il faut, pour que la courbe existe, que 2a soiti moindre que 2c. Désignons par a + a le plus grand rayon, le plus petit sera a — a; les cercles se couperont, lorsque la somme 2a des rayons sera plus grande que 2c. Ainsi, le plus grand rayon doit être plus grand que c4-a, le plus petit plus grand que c — a.

Itl— On peut aussi décrire Thyperbole d'un mouvement continu. Supposons qu'une règle tourne autour du foyer F^ et

que les extrémités d'un fil soient attachées, d'une part, au foyer F, d'autre part, à Pextrémité G de la règle (fig. i5) ; si, en même temps que la règle tourne, un crayon glisse sur la règle en tenant le fil constamment tendu, ce crayon décrira un arc hyperbole. En effet, soit F' G/ une position quelconque de la règle ; le crayon a glissé sur la règle de G' en M, et le fil occupe alors la position G' MF. La différence des distances MF^ et MF ne change pas, si Ton augmente ces deux longueurs de la même quantité G' M; elle est donc égale à la différence constante qui existe entre la longueur de la règle G' F' ou GF', et la longueur du fil G'MF ou GF. On obtiendrait la seconde branche en faisant tourner la règle autour du foyer F.

!t*— La droite FF' est un axe de la courbe; elle partage chacune des branches en deux parties symétriques; car les deux points M et M', ou N et N' (fig. i4), déterminés par Tintersection des deux cercles décrits des foyers comme centres, sont symétriques par rapport à cette droite. Les points A et A', où elle rencontre la courbe, sont les sommets de Thyperbole.

On obtient les sommets A et A' en prenant les milieux de FK et de F'K'. La longueur AA' de Taxe est égale à la différence constante des distances de chacun des points de Tbyperbole

Fig. 15.

ux deux foyers. Car^ si Ton remplace A'F^ par son égale AK, m voit que F'K est égale à AA'.

L'hyperbole admet un second axe, la perpendiculaire BB' levée sur le milieu de la droite FF^ Le raisonnement que lous avons fait pour Tellipse (n^ i5) peut, en effet, être appli- |uée aux deux branches de Thyperbole. Hais ce second axe le rencontre pas la courbe ; c'est pourquoi on a donné au )remier le nom d'axe transverse, au second le non d'axe non ransverse. On voit aussi que le point 0, milieu de la distance ?F' des foyers, est le centre de la courbe.

S3 — Dans le premier système bi-polaire, si Ton appelle u li V les distances d'un point quelconque de la courbe aux deux loyers F et F^, les deux branches de courbe ont respectivement pour équations

Dans le second système bi-polaire, les équations des deux branches sont

tang - tang -

^2c-ha ®2 c — a

tang^ tangj

En coordonnées rectangulaires, si Ton prend pour axes des coordonnées les deux axes de la courbe, l'équation de l'hy- . perbole est

ËD répétant ici les transformations du n^ 19, on arrive à Téquation sous forme entière, a*y*+[à^—c*)x^^=a'^(a^—c*), que nous avons déjà obtenue pour l'ellipse.

Cette équation, comme nous l'avons remarqué, équivaut aux quatre équations distinctes v — u=±2a, M + t5=±2a; mais, dans le cas actuel, 2a étant plus petit que 2c, les deux dernières n'ont pas de solution réelle. Si Ton pose c^-^a^^^b*, l'équation de l'hyperbole prend la forme

(2) -i— fT = l.

Il est bon d'observer que^ dans le système rectiligne, les deux branches de Thyperbole sont comprises dans la même équation (2)^ tandis que^ dans le premier système bi-polaire. Tune des branches est représentée par l'équatiou 1; — - ti = 2 a, l'autre par Téquation u — D=2a. Il faut aussi deux équations distinctes dans le second sytème bi-polaire.