PARABOLE

Sf 4 — La parabole est une courbe dont chacun des points est également distant d'un point fixe nommé foyer et d'une droite fixe appelée directrice.

U est facile de construire la parabole par points. Soit F le foyer, DD' la directrice (flg. 16); menons par le foyer une

droite BD perpendiculaire à la directrice; le point A, milieu de FD, est un premier point de la parabole. Traçons une série de droites parallèles à la directrice, à une "B~ distance plus grande que AD. Soit P le point où Tune d'elles rencontre la droite DB; du foyer F, avec une ouverture de compas égale à DP, décrivons un cercle Fig. 16. qui coupera la parallèle en deux points M

M^ appartenant à la parabole. Car la perpendiculaire ME, abaissée du point H sur la directrice, est égale à DP, et, par suite, au rayon MF; le point M, étant également distant du foyer et de la directrice, est un point de la parabole. Répétons cette même construction pour chaque parallèle; quand nous aurons déterminé ainsi un nombre suffisant de points, nous ferons passer à la main un trait continu par tous ces points.

La droite DB, menée par le foyer perpendiculairement à la . directrice, est un axe de la parabole; car, d'après la construction, la corde MM' est perpendiculaire à DB et divisée au point P en deux parties égales. Si donc on fait tourner la partie supérieure de la parabole autour de la droite DB, pour la rabattre de Tautre côté, la droite PM s'appliquera sur PM', le point M en M'. Comme il en est de même pour tous les points deux a deux, on voit que la partie supérieure coïncidera exac-

tement avec la partie inférieure. Donc la droite DB est axe de la parabole. Le point Â, milieu de FD, est le sommet de la parabole.

La parabole n'est pas une courbe fermée comme Tellipse ; elle se compose de deux branches qui se prolongent indéfiniment. Les dimensions de la parabole dépendent de la dislance du foyer à la directrice, distance que l'on appelle paramètre de la parabole; quand cette distance est très-petite, les deux branches de la parabole sont très-rapprochées Tune de Tautre. Elles s'écartent et la parabole s'ouvre d'autant plus que ce paramètre est plus grand.

S5 —On peut aussi tracer la parabole d'un mouvement continu. Plaçons une règle sur la directrice DD' (fig. 17); appliquons contre la règle une équerre GHK; au sommet G attachons un fil d'une longueur égale au côté GH de Téquerre, l'autre extrémité étant attachée au foyer F; tendons le fil contre Féquerre avec un crayon, puis faisons glisser Téquerre le long de la règle, et, en même temps, le crayon le long de réquerre de manière à tenir le fil constamment tendu ; nous décrirons un arc de parabole. En effet, soit M le point où se trouve le crayon quand Téquerre occupe la position GHK; la longueur du fil ou la ligne brisée GM + MF étant égale au côté GH de l'équerre, la distance MF égale MH, et, par conséquent, le point H appartient à la parabole.

9S— lia définition de la parabole indique un système de I V coordonnées dont nous n'avons point encore

parlé. On peut déterminer un point quelconque M du plan par ses distances MF et ME au foyer F et à la directrice DD' (fig. 18); la position du point M sera donnée par Pintersection d'un cercle décrit du foyer comme centre et d'une droite parallèle à la directrice. Si l'on appelle u et t? les deux coordonnées du point M, la parabole aura^

18 LIVRE h CHAPITRE II.

pour équation dans ce système

Prenons maintenant pour origine des coordonnées rectilignes le sommet A de la parabole, pour axe des x Taxe AX de la parabole, et pour axe des y une perpendiculaire AY. En désignant par p la distancé FD du foyer à la directrice, on a

t)==AP-hAD=:a;-+-|» w = i/j^«-f- (oj — ^V* et réquation de la parabole devient

ou (2) y^=2px.

2T — Avant d'aller plus loin nous dirons comment on définit la tangente à une courbe quelconque. En géométrie

^ élémentaire, on appelle ordi-

__^.=iL^__— ^-, nairement tangente au cercle

^\7^ une droite indéfinie, qui n'a

Fig. 19. qu'un point commun avec la.

circonférence; mais cette définition n'étant pas susceptible d'être généralisée, il convient de définir la tangente d'une autre manière. Soit M un point donné sur une courbe (ûg. 19) par ce point et un point voisin W^ menons une droite indéfinie; imaginons maintenant que le point M' se rapproche indéfiniment du point M, la droite MM' tendra vers une position limite MT. C'est cette droite MT que l'on appelle tangente à la courbe au point M.

Il est aisé de voir, d'après cette définition, que la tangente

au cercle au point M est perpendiculaire à Textrémité du rayon OM; car, dans le triangle isocèle MOM', l'angle OMM^ est, égal à un angle droit, moins la moitié de l'angle au centre MOM'; quand le point M' se rapproche indéfiniment du point M^

l'angle au centre tend vers zéro, et l'angle OMM' devient droit.

GISSOÏDE DE DIOGLÈS.

*S — Etant donnés un cercle, un diamètre AB, une tangente te à Textrémité de ce diamètre (flg. 20); si du point A on mène

une sécante mobile AE, sur laquelle on porte à partir du point A une longueur AM égale à la portion DE de la sécante comprise entre le cercle et la tangente fixe, le lieu du point M est une courbe qui porte le nom de Cissoïde.

Si Ton suppose que la sécante mobile parte de la position AB et tourne autour du point A^ de AX \ers la perpendiculaire AY, la longueur DE et, par suite, AM augmentera indéfiniment; le point M décrira une branche de courbe infinie AMM^ Si Ton fait tourner la sécante mobile deTautre côté de AB, on obtiendra évidemment une seconde branche égale à la première.

La droite AB est un axe de la courbe, puisque les deux branches sont symétriques par rapport à cette droite.

La tangente aux deux branches au point A coïncide avec raie. Car, si la sécante AM tourne autour du point A de manière à ce que la corde AH ou DE devienne nulle, elle tend îers la position limite AB; donc AB est la tangente en A. Le point A est ce qu^on appelle un point de rebroussement.

On peut voir aussi que les deux branches de la courbe se rapprochent indéfiniment de la droite CC^ En effet, considérons la sécante dans la position AE^; si de la longueur totale AE' on retranche alternativement les deux longueurs égales AM^ et y^'y on a M'E'= AD'. La corde Aiy diminuant de plus en plus et tendant vers zéro, il en est de même de la longueur M^E^ et, à plus forte raison, de la perpendiculaire M'H. Cette droite ce, dont la courbe se rapproche indéfiniment, s'appelle une mmptote.

Fig. SO.

La cissoïde a été imaginée par le géomètre grec Dioclès, pour résoudre le problème de la construction de deux moyennes proportionnelles entre deux lignes données.

c 29 — Cherchons Téquation de la cis-

soïde en coordonnées polaires; prenons le point A pour pôle et la droite AB pour axe polaire. Appelons a le diamètre du b — X cercle donné, p et w les coordonnées d'un point quelconque H de la courbe (flg. âi). Dans les triangles rectangles ABE, ABD, on a

AE = » AD = acosco;

COSW

d'où p = DE = AE — AD == — a cosw =

COSOJ

asin*ct)

COSCO

Ainsi la cissoïde est représentée en coordqnnées polaires par

l'équation

, , asin*w

(l) pz= .

' ^ cosw

Cherchons maintenant l'équation en coordonnées rectilignes; prenons le point A pour origine^ la droite AB pour axe des x et une perpendiculaire pour axe des y. Dans le triangle rectangle MAP^ on a

a; = pcosw, y = psinw, p*==a;*-hy*;

si^ dans l'équation (i), on remplace d'abord cosco par -« sino)

par ^» ce qui donne fx=zay^y puis p* par x^+y^, on arrive

à l'équation de la cissoïde en coordonnées rectilignes

30— Proposons-nous de construire, au moyen de son équation en coordonnées rectilignes^ la cissoïde que nous avons déjà construite d'après sa définitioii géométrique.

En résolvant l'équation par rapport à y, on a

EXEMPLES. Si

L'ordonnée n'est réelle que pour les valeurs de rabscisse comprises entre o et a; donc la courbe est située tout entière entre Taxe des y et la parallèle CG menée à la distance a (fig. 20). Quand x croit de o à a^ la valeur numérique de y croît de o à 00^ ce qui donne une branche de courbe partant de Torigine A et s'élevant indéfiniment. En même temps la distance M'H = a — a: d'un point de la courbe à la droite BC tend vers zéro, ce qui fait voir que la droite BC est asymptote de la courbe. Comme à chaque valeur de x correspondent deux valeurs de y égales et de signes contraires^ la courbe se compose de deux branches symétriques par rapport àTaxe AX.

STROPHOÏDB.

31 — Un angle droit YOX (âg. 22) et un point fixe A sur un de ses côtés étant donnés dans un plan, on mène du point fixe A une droite quelconque AD qui rencontre le côté OY en D, et Ton porte sur celle droite d'un côté et de Tautre à partir du point D des longueurs DM et DN égales à OD; le lieu des points MetN est\sLStrophoïde.

Quand la droite mobile occupe la position AO, les deux points M et N se confondent en 0. Si la droite tourne de manière à ce que le point D s'élève indéfiniment sur OY, OD augmente, et Ton voit que le point N décrit une branche de courbe infinie ON.

Quant au point M, il se rapproche de plus en plus du point A. En effet, on obtient les points M et N en décrivant un cercle du point D comme centre avecDO pour rayon; quand le point D s'élève à l'infini.

Tare de cercle OM coïncide avec la droite OA, et le point M vient en A.

Il y a évidemment une partie symétrique de l'autre côté de l'axe OX.

Le point 0, par lequel passent Fig. 2s. les deux branches de courbe, s'ap-

pelle point multiple. Les tangentes en ce point aux deux bran-

cfaes de courbes coïncident avec les bissectrices des angles droits YOX, YOX'. Car l'angle ODE, extérieur au triangle iso* cèle DOM^ est égal à la somme des deux angles intérieurs opposés^ et par conséquent, à deux fois l'angle DON ; de même Tangle ODÂ est égal à deux fois Tangle DON. Quand la droite AD s^applique sur AO, Tangle obtus ODE diminue et tend vers

un angle droit; Tangle moitié YOM diminue et tend vers 7;!

Tangle aigu ODA augmente et tend vers un angle droit; Tanglei moitié YON augmente et tendaussi vers -r- On peut remarquer

d^ailieurs que les deux droites OH et ON sont rectangulaires. On voit, en outre, que Tare OHA est situé au-dessous de sa tangente, tandis que l'arc ON est au-dessus.

La tangente au sommet A est perpendiculaire à Taxe OX; car, lorsque le point D s'élève indéfiniment, la corde AM tend à devenir perpendiculaire sur OX-

Sur le prolongement de AO prenons OG = OA, et par le point G élevons la perpendiculaire H^H; cette droite est asymptote de part et d'autre aux deux branches infinies de la courbe; car la distance NE, égale à AM, tend vers zéro.

33— Cherchons Téquation de la courbe en coordonnées polaires. Prenons le point 0 pour pôle, et la droite OA pour axe polaire ; les coordonnées du point H sont p = OH, (o = MOA; dans le triangle isocèle DOM, chacun des angles DOH, DMO est

égal à - — w, et Tangle ODM à aw; Tangle OAM, complémen-

taire du précédent, vaut 2to. Si Ton désigne par a la Ion-

gueur OA, on a, dans le triangle OMA,

smi 2(ù

a . /Tr

sm I w

,, , , ., acos2w

d'où (i) p =

' * cosw

Les coordonnées du point N vérifient la même équation.

Cherchons maintenant Féquation de la courbe en coordon* nées rectilignes, en prenant pour axes les deux droites OX et OY; si dans Téquation précédente, mise sous la forme pcosw = a(cos*(i) — sin*a)), on remplace cosw et sinco par

ce t/

leurs valeurs -et -» on a irû*=afa?* — t/*); mettant ensuite

à la place de p* sa \aleur a-* H- y*, on arrive à Téquation du troisième degré

33 — Proposons-nous maintenant de construire la courbe au moyen de son équation en coordonnées rectilignes. L'équa* tion (2), résolue par rapport à y, donne

Pour que Tordonnée y soit réelle^ il faut que la quantité placée sous le radical soit positive. Quand on donne à x des valeurs positives^ le dénominateur étant positif, le numérateur doit être aussi positif^ ce qui exige que x soit plus petit que d. Quand on donne à x des valeurs négatives, le numérateur étant positif^ le dénominateur doit être aussi positif, ce qui exige que la valeur absolue de x soit moindre que a. Ainsi l'abscisse x ne peut varier que de — a à 4- a; si donc on porte sur Taxe des x, à partir de rorigine, et de part et d'autre, des longueurs OA et OG égales à a, et que par les points G et A on mène des parallèles HH', KK^ à Taxe des y, la courbe sera tout entière comprise entre ces deux parallèles. On verra la forme de la courbe en suivant la variation de la fonction

la — X

V a-hx

Quand x varie de o à a, l'ordonnée y conserve des valeurs finies; elle s'annule pour ar=:o, et aussi pour x^=a; il en résulte une branche de courbe OMA, partant du point 0, et aboutissant au point A. Quand x varie de o à — a, l'ordonnée y est négative et varie de o à —00 ; il en résulte une branche ON', qui part de l'origine et s'abaisse indéfiniment, en se rap-

procbant de plus en plus de la droite HH^ qui est une asymptote; cette branche ON' fait suite à la branche ÂMO.

En changeant le signe du radical^ on obtient une branche AM'ON symétrique de la première par rapport à Taxe des x,

LIUAÇON DE PASCAL.

34 — Par un point A pris sur un cercle, on mène une sécante quelconque AD, sur laquelle à partir du point D^ où elle rencontre le cercle, on porte de part et d^autre des longueurs constantes DM et DN; le lieu des points M et N (flg. 23) est une courbe nommée limaçon de Pascal,

On obtiendra la courbe entière en supposant que le rayon vecteur coïncide d'abord avec le diamètre AB du cercle, et tourne ensuite d'un angle droit dans un sens ou dans l'autre. On obtiendra aussi la courbe entière en faisant faire au rayon une révolution complète, et portant la longueur constante dans le sens du rayon à partir du point où ce rayon ou son prolongement coupe le cercle. La courbe présente trois formes diflférentes, suivant que la longueur constante a est supérieure, égale ou inférieure au diamètre 6 du cercle. 1° Considérons d'abord le cas où la longueur a est plus

grande que 6. Quand le rayon coïncide avec AB , il faut, à partir du point B, porter sur ce rayon une longueur BG égale à a, ce qui donne un point G du lieu (fig. 23). Lorsque le rayon tourne autour du point A et occupe la position AD, on a le point H.

Quand le rayon a tourné d'un angle droit, le point D vient en A, et le point M en M'. Le rayon continuant son mouvement, prend la direction AD^;son prolongement coupe le cercle eu D^; il faut, à partir de ce point Dj, porter dans la direction même AD' une longueur D^M, égale à a. Quand le rayon, ayant tourné de deux angles droits.

Fig. 33.

occupe la position AX'^ le point D^ vient en B, elle point M^ en i; on a ainsi Tare M'M^H qui fait suite au premier^ et qui est iussi extérieur au cercle. Le rayon dépassant la position AX' et iournant encore de deux angles droits pour revenir à la posi* iioa Initiale AX, le point mobile décrit Tare HN^ G^ symétrique Je Tare GMH par rapport à la droite X^X. De cette manière le |)oint décrit la courbe entière d'un mouvement continu. 2"* Supposons maintenant que la longueur a soit égale à b.

Le rayon vecteur tournant de deux angles droits^ à partir de la position initiale AX, le point M décrit Tare GMH^A (ûg. 24), qui vientaboutir au point A.

La tangente en A est la droite AX', position limite de la sécante AM,.

Fig- ^i- Le point A est un point

de rebroussement.

S"* Considérons enfin le cas où la longueur a est plus petite que 6. Lorsque le rayon vecteur tourne d'un angle droit à partir de la position initiale AX, le point M décrit Tare GMH' (fig. 25). Le rayon prend ensuite la direction AIV; le point D

vient en D^, le point H en H,. Le rayon arrive à une position AD'' telleque lacorde D,A est égale à a; le point Mj vient alors en A et la courbe est tangente à la droite AD". Le rayon continuant son mouvement, la corde D,A deyient plus grande que a, et, si Ton prend la longueur D,M, égale à a, on a un point H, situé a l'intérieur du cercle. Enfin,

Fig. 25.

qaand le rayon prend la direction AX'^ le point H, vient en H. L'arc extérieur GM^ A se prolonge ainsi suivant Tare intérieur AHgH. L'autre moitié de la rotation donne Tare HNAM'G, symétrique du premier par rapport à la droite X^X^ et complète la courbe.

SA— Cherchons Téquation de la courbe en coordonnées polaires. Prenons le point A pour pôle^ et la droite AX pour axe polaire. Appelons co Tangle que fait la direction du rayon avec la direction AX. Quand la direction même du rayon coupe le cercle^ ce qui a lieu dans la position AD^ le triangle rectangle ADB donne AD = 6cos«, et, par suite,

p = DM -f- AD = aH-6 cosw.

Quand c'est le prolongement du rayon qui rencontre le cercle^ ce qui a lieu dans la position AIV, Tangle &> est Tangle XAIV; le triangle rectangle BAD^ donne D^ A = — ftcosco, et, par suite,

p == DiMi— - Dj A = a -f- 6 cosco.

Dans la figure (aS), quand le rayon occupe la direction AIK^^ la longueur du rayon vecteur n'est plus portée dans la direction même de ce rayon, mais dans la direction opposée; il convient de regarder ce rayon vecteur comme négatif; on a

alors

p =— AM3== DjM, — AD3= a + b cosw.

Ainsi, dans tous les cas, la courbe entière est représentée par

l'équation

(i) p = a-h6co8co.

En coordonnées rectilignes, si Ton prend le point A pour origine, le diamètre AB pour axe des x, une perpendiculaire pour axe des y, Téquation de la courbe est

(2) (x^-h y*— bxY= a} (x^+ y').

On Tobtient en remplaçant dans Téquation (i) cosa> par sa

valeur -» puis p* par a?*-f-y' (n** 29), et élevant au carré

P pour faire disparaître le radical.

SU— On obtient cette même courbe par un autre procédé.

Étant donné un cercle GH et un point fixe A, imaginons qu'une

Fig. 26.

tangente mobile GH roule sur le cercle^ et du pointA abaissons

une perpendiculaire AU sur cette tangente (fig.a6); on demande le lieu du point H.

Il y a trois cas à considérer, suivant que le point A est intérieur au cercle, sur le cercle, ou extérieur.

Supposons, par exemple, le point A extérieur au cercle. Lorsque la tangente touche le cercle en 6, la perpendiculaire abaissée du point A coïncide avec le diamètre AG et le point G est un point du lieu. La tangente roulant sur le quart de cercle GCC', le point M décrit Tare de courbe GHM^ La tangente sincline ensuite jusqu'à la position CA, et Ton a Tare de courbe M^A. La tangente continuant son mouvement suivant Cli, le pied de la perpendiculaire tombe au-dessous du diamètre et Ton a Tare de courbe ANH. Nous avons fait rouler la tangente sur le demi-cercle GC'N; en la faisant rouler sur le demi-cercle inférieur, on obtiendra une partie symétrique de la première. 37 — Il est facile de construire géométriquement la tangente

en un point quelconque M de la courbe (fig. 27); soient CM et C'M' deux tangentes voisines du cercle, L leur point de rencontre, AM et AH^ les perpendi- |g culaires abaissées du point A sur ces tangentes; la circonférence décrite sur AL comme diamètre passe par les deux points M et M^ et la sécante MM' de la courbe est aussi une sécante de ce cercle. Si, maintenant, on suppose que le point G' se rapproche indéfiniment du point G, le point M^ se rapprochera du point M; le diamètre AL coïncidera avec AG et la sécante MM' deviendra tangente en M au cercle décrit sur le diamètre AG. Ainsi, en jofgnant le point M au milieu D de la droite AG et menant une perpendiculaire MT à DM, OD aura la tangente à la courbe au point M. Au point multiple A (fig. 26), les tangentes aux deux branches de courbe qui pas-

Fig. 37.

Î8 LIVRE 1, CHAWTRE H.

sent en ce point sont respectivement perpendiculaires aux tan* gentes telles que kC" menées de ce point au cercle donné.

Nous ferons remarquer que la coj^struction géométrique de la tangente resterait la même^ si Fon considérait le lieu du pied de la perpendiculaire abaissée d'un point Gxe sur la tangente mobile à une courbe quelconque.

Cherchons Téquation de cette courbe en coordonnées polaires; prenons le point A pour pôle^ le diamètre ÂG pour axe polaire (flg. 26); désignons par a le rayon B6 du cercle donnée et par b la distance AB. Si^ par le centre B du cercle^ on mène une parallèle BD à la tangente CM^ on a

p = AD + DM = 6 cos w -f- a.

Celte équation est la même queTéquation (i), d'où Ton conclut ridentité des deux courbes.

Au reste^ il est facile de reconnaître géométriquement celte identité. L'angle D étant droit, le lieu du point D est le cercle décrit sur AB comme diamètre; on obtiendra donc le point M en prolongeant la corde AD d'une quantité constante DM égale à BC.

ROSACE A QUATRE RRANGHES.

38 — Étant données deux droites rectangulaires OX, OY,

sur lesquelles glissent les extrémités d'une droite PQ de longueur constante, du point 0 on abaisse une perpendiculaire OM sur cette droite; étudier le lieu du point M (flg. 28).

Quand la droite PQ s'applique sur OY, le point M vient en 0, et la corde OM prend Fig. s8. la direction OX; donc

la tangente en 0 à l'arc OM coïncide avec OX. Le point I,

milieu de PQ, décrit un cercle dont le centre est 0, et le rayon égal à a^ si Ton désigne par 2 a la longueur constante PQ. Or^ la perpendiculaire OM est plus petite que Toblique 01; donc la distance OM est maximum quand la droite PQ est per* pendiculaire sur la bissectrice OA. Lorsque la droite mobile continue son mouvement^ elle passe par une position P Q symétrique de PQ par rapport à la bissectrice OA^ et Ton obtient un arc AH^O symétrique de Tare OH A. La même courbe se reitroduit dans chacun des quatre angles droits. Ainsi la courbe a quatre axes, savoir : les deux droites fixes OX, OY, et les deux bissectrices OA^ OB. Le point 0 est centre de la courbe. Si Ton prend le point 0 pour pôle^ et OX pour axe polaire^ on a^ dans les triangles rectangles OMP^ OPQ^

p = OP coso>, OP = 2 a sinw;

donc (i) p = asin2<it).

En coordonnées rectilignes^ la courbe est représentée par une équation du sixième degré

De l'homoséaélté.

SS— DÉFINITIONS.— On dit qu'une fonction f(a, b, c, ...) est lirniogène, par rapport aux lettres a, b, c^ . . . lorsque^ en remplaçant a par ka, b par kb, . . . , on a

f(ka, kb, kc,...) = k^f(a, 6, c, ...);

l'exposant m est le degré de la fonction homogène. Telles sont^ par exemple^ les fonctions

a'+2a6, ^q;;:^ . in^T' F^rgî»

le degré de la première est 2, celui de la seconde -« celui de lalroisième o, et celui de la quatrième —2.

On voit aisément :

i"" Que la somme ou la différence de deux fonctions homogènes du même degré est une fonction homogène du même degré que les fonctions proposées ;

2'' Que le produit de plusieurs fonctions homogènes de degrés quelconques est une fonction homogène dont le degré est égal à la somme des degrés des fonctions proposées;

3*" Que le quotient de deux fonctions homogènes est une fonction homogène dont le degré est égal à Texcès du degré du dividende sur le degré du diviseur; ♦

4"* Que la puissance d'une fonction homogène est une fonc* tion homogène dont le degré est égal au degré de la fonction proposée multiplié par Findice de la puissance;

5*" Que la racine d'une fonction homogène est une fonction homogène dont le degré est égal au degré de la fonction proposée divisé par Tindice de la racine;

&* Qu'une fonction transcendante d'une fonction homogène

de degré o est elle-même homogène et de degré o. Par exemple, les fonctions

sm

f ab \ , /6H-VâM=TA

sont homogènes et de degré o; car si on remplace a et 6 par ka et kb, la lettre k disparait sous le signe transcendant, et on peut mettre en avant le facteur A^ Mais si la quantité placée sous le signe transcendant,. quoique homogène, n'était pas du degré o, la lettre k ne pourrait se mettre en facteur en avant du signe transcendant et la fonction ne serait pas homogène. Ainsi la fonction sin(a-i-V^) n'est pas homogène.

Lorsqu'un monôme est rationnel et entier par rapport aux lettres a, b, c, ..., on appelle degré du monôme, par rapport à une lettre, l'exposant de cette lettre dans le monôme; degré du monôrne, par rapport à plusieurs lettres, la somme des exposants de ces lettres. Un monôme est toujours une fonction homogène d'un degré égal au degré du mônome : donc la somme de plusieurs monômes de même degré est un polynôme homogène de ce même degré. Par exemple, le polynôme

DE L'HOMOGENEITE. 31

est une fonction homogène du troisième degrés par rapport aux lettres a et &.

40 — Lorsqu'on cherche les relations qui existent enti^e les longueurs des diverses lignes A, B, C, i . . d'une figure, on imagine ces lignes rapportées à une unité de longueur, qui ordinairement n'est pas spécifiée-et reste tout à fait arbitraire. Désignons par les lettres a, h, c, . . . les nombres qui expriment ainsi les mesures des lignes de la figure, et supposons que l'on ait trouvé entre ces nombres la relation

(i) ^f[ay 5, (?,...) = o. ' y

Les raisonnements que Ton a faits pour arriver à cette relation étant indépendants de l'unité de longueur, il est évident que celte relation doit subsister, quelle que soit cette unité. Appelons a, p, y, . . . les valeurs particulières de a, 6, c, . . * pour une première unité ; a!, p', y^ . . . les valeurs de ces mêmes quantités pour une autre/ unité; ces deux séries de nombres Térifient les relations

Mais quand on change l'unité, les nombres varient proportionnellement, de sorte que, si l'on désigne par k \t rapport de la première unité à la seconde, on a

d'où oL' = koLy ^'=zk^, Y= ^'Y>

Si l'on substitue dans la relation (3), il vient

(4) nfca, ftp, ftY,...) = o.

Concevons que la première unité restant fixe, la seconde varie, *, p, Y> • . • seront des nombres constants, k un nombre arbitraire, et l'équation (4) devra être vérifiée quel que soit ce nombre k.

Ainsi : si l'équation (i) est vérifiée quand on y remplace les l^Ures a, b, c, . . . par les nombres a, p, y^ • • • «W^ ^^'^^ aussi vérifiée quand on y remplacera ces mêmes lettres par ka, kp, ïiy, . . . quel que soit le nombre k.

4fl — La condition précédente est évidemment remplie lorsque le premier membre de Téquation (i) est une fonction homogène des lettres a, b, c^ . • . ; car^ alors on a

si l'expression /"(a, p, y,...) est nulle, il en sera de même de f{kcf.y k^, Ayv)» quel que soit k.

Nous allons démontrer que^ réciproquement, rhomogénéité est nécessaire^ en nous bornant aux équations algébriques mises sous forme entière.

Supposons que f{a, 6, c,. . .) soit un polynôme entier; si tous les termes ne sont pas du même degré, groupons les termes dont le degré est le même; appelons 9 (a, 6, c, . . .) Tensemble des termes du degré le plus élevé m, ^ (a, 6, c, . . .) Tensemble des termes du degré n, etc., Téquation (4) devient

Pour que celte équation soit vérifiée, quel que soit ft, il est nécessaire que Ton ait séparément

Gomma Tunité à laquelle se rapportent les nombres a, fi, y,... est arbitraire, on a entre les lignes de la figure les relations homogènes

Donc, si l'équalion (1) n'est pas homogène, elle équivaut à plusieurs équations homogènes séparément.

4!S— Cependant il peut arriver qu'une équation non homogène soit vérifiée^ quand on fait choix d'une unité particulière, sans que les parties qui la composent soient nulles séparément; mais alors, si Ton change Tunité, l'équation cesse d'être vérifiée.

Expliquons ceci par un exemple.

Proposons-nous de déterminer les dimensions d'un cylindre de telle sorte que sa surface soit équivalente à. celle d'une sphère de rayon donné A et son volume à celui d'une sphère de rayon B.

D£ L'HOMUGÉNÉITË. 33

Soit X le rayon et Y la hauteur du cylindre; appelons a,

b, X, y les mesures des lignes Â, B^ X^ Y^ rapportées à une

unité quelconque; les inconnues devront satisfaire aux deux

équations

(5) x*-{-xy — 2a^=o,

(6) aj«y — |6»==o.

Chacune de ces équations est homogène : Tune est du second degré, l'autre du troisième. Si elles sont vérifiées quand on rapporte les lignes à une certaine unité^ il en sera de même quand on les rapportera à une autre unité.

Les inconnues x et y doivent également satisfaire à Téqua^ lion non homogène

(7) (x^'-hxy — 2a*)-h (x^y — ^bA = o,

que Ton obtient en ajoutant les précédentes membre à membre.

Considérons Féquation (7)^ abstraction faite de son origine. On peut trouver quatre lignes A, B, X, Y, telles que, si on les mesure avec une unité particulière, les nombres obtenus vérifient cette équation sans annuler séparément les deux parties. Supposons, par exemple, que les lignes rapportées à une première unité aient pour mesure les quatre nombres a = i, 6 = 3, x = i, y=z 18,5, dont trois ont été pris arbitrairement elle quatrième déterminé ensuite par Téquation (7]; si on mesure les mêmes lignes avec une unité deux fois plus petite, on obtient les nombres a = 2, 6 = 6, a? = 2, y = 87 qui ne satisfont plus à Véquation. Le cylindre construit avec les lignes X et Y ainsi déterminées jouit de cette propriété que la somme des nombres qui, avec l'unité choisie, expriment les mesures de sa surface et de son volume, est égale à la somme des nombres qui expriment les mesures de la surface d^une sphère et du volume d'une autre sphère; mais la même relation n'a plus lieu quand Tunité linéaire change.

L'équation (7) ne peut être vérifiée par les mesures des mêmes lignes, quand on fait varier arbitrairement Tunité de longueur, qu'autant que ces lignes satisfont aux équations (5) cl (6) prises isolément.