FIGURES POLAIRES RÉCIPROQUES

3#y — Étant donnée dans un plan une figure composée de points a, b, c, ... et de droites A, B, C, . . ., si l'on prend les polaires A^ B', C',... des points, et les pôles a', V, c',... des droites pat rapport à une section conique déterminée, on formera utie seconde figure composée comme la première de droites et de points. En opérant de la même manière sur la seconde figure^ c'est-à-dire en prenant les pôles des droites et les polaires des points, on retrouve la première. Ces deux figures ont été nommées pour cette raison figures polaires ree^roques (flg. 176).

i68 LIVRE m, CHAPITRE X.

La droite ab qui joint deux points a et 6 de l'une des figures^

a pour pôle le point dMntersection des droites A^ et B^ de Tautre figure ; et réciproquement le point dintersection de deux droites A^ et B^ de Tune des figures a pour po^ laire la droite ab de Tautre figure. Si plusieurs points a, b,c,... sont en ligne droite dans l'une des figures, les droites A^ B^ G,... de l'autre figure passent par un même point qui est le pôle de la droite. Réciproquement, si plusieurs droites A, B, C, . . . passent par un même point dans Tune des figures, les points a^ V, d,... de l'autre figure sont en ligne droite.

Etant donnée une courbe plane S, menons une tangente A à cette courbe et prenons le pôle a' de cette tangente (fig. 177].

Si Ton fait rouler la tangente A sur la qpurbe S, le pôle al décrira une autre courbe S^.

/^'Soient A et B deux tangentes voisines à la courbe S, a' et 6^ leurs pôles; le point d'intersection m des deux droites A et B est le pôle de la droite alVi si la tangente B se rapproche indéfiniment de la tangente A, le point m tend vers le point de contact a de la tangente A; en même temps la sécante a'V tourne autour du point a' et devient tangente à la courbe S^ au point a' ; ainsi réciproquement la courbe S est le lieu du pôle a d'une tangente mobile A' à la courbe S'. On voit que les points a et a^ se correspondent de telle sorte que la tangente en Tun de ces

Flg. 177.

points est la polaire de Tautre. Les deux courbes S et S' sont

dites polaires réciproques*

SOS— Soit

réquation d'une courbe algébrique S du degré m ; la tangente A au point a dont les coordonnées sont œeiy est représentée par réquation

(12) XF;-hYF;+ZF:î=o.

Appelons œ^ et j^^ les coordonnées du pôle a' de la droite A par rapport à une courbe directrice du second degré f{x, y) = 0. réquation de la polaire du point a^ est

(i3) xf;,->-Yr;.+zn.=o.

Les deux équations (12) et (iS), qui représentent la même droite, doivent être identiques, et Ton a les relations

Si, entre les trois équations (11) et (i4)^ on élimine x et y, on obtient réquation de la courbe S', lieu du point a'.

Cherchons, par exemple, la courbe polaire réciproque de la section conique A a;*-h Bt/* — 1=0, par rapport au cercle directeur a?* -h y* — 1 = 0.

T* fi

Si Ton remplace a; et y par - et -9 ces deux équalious prennent la forme

homogène Aaj'-hBy' — 3" = 0, aj*H-y* — «*= 0, et les équations (U) deviennent -^ = ^ = -^; on en déduit, en faisant 5 = jzr, = 1,

2î = ~, y = -ij en portant ces valeurs dans Féquation de la courbe

se 1i

proposée on obtient l'équation T" + k^ "" ^ = ^« ^^ courbe polaire réciproque est une nouvelle section conique.

309— Nous avons appelé degré d'une courbe algébrique le degré de Téquation qui la représente en coordonnées rectilignes, ou le nombre des points réels ou imaginaires suivant lesquels la courbe est coupée par une droite quelconque. On appelle de même classe de la courbe le nombre des tangentes

27ff LIVRE m, CHAPITRE X.

réelles ou imaginaires que Fon peut mener à la courbe par point quelconque du plan. Si Ton désigne par m le degré par n la classe d'une courbe algébrique^ on a, en général, d'après ce que nous avons dit au n* 299, n=::fn{m — i). On sait que Ton peut mener d'un point quelconque deux tangente^' à une courbe du second degré; les courbes du second degré! appartiennent donc à la seconde classe.

Il est aisé de Toir que deux courbes polaires réciproques S ' et S^ (fig. 178) sont telles que le degré de Tune est égal à la classe de l'autre. Une droite quelconque P coupe la courbe S en m points a, 6^ c^...; à ces m points correspondent m droites Â% B^ C^. . . tangentes à la courbe S' et passant par le point p^ pôle de la droite P, et réciproquement, à chaque tangente A^ menée du point p^ à la courbe S' correspond un point a appartenant à la courbe S et situé sur la droite P; ainsi le nombre des tangentes que l'on peut mener du point p^ à

la courbe S' est égal au nombre des points d'in* tersection de la courbe S par la droite P, et, par conséquent^ la classe de la courbe S' est égale Tig. 178. au degré de la

courbe S. De même le degré de la courbe S' est égal à la classe de la courbe S.

Une courbe du second degré étant de la seconde classe, il en résulte que la courbe polaire réciproque d'une courbe du second degré est aussi du second degré.

Il est même facile dans ce cas de déterminer l'espèce de la courbe. Si le centre 0 de la courbe directrice est situé en dehors de la courbe S, on peut de ce point mener deux tangentes réelles A et B à la courbe S (fig. 179); les pôles de ces tangentes s'éloignant à l'infini, on en conclut que la courbe S' a des branches infinies dans deux directions différentes; c'est donc

une hyperbole. Soient a et 6 les points de contact des tangentes A et B; les polaires A^ et B^ de ces deux points sont les tangentes à la courbe S^ aux points situés à Tinûni^ ce sont; par conséquent^ les asymptotes. Lorsque le centre 0 de la courbe directrice est situé sur la courbe S, les ^8- 179. points a et 6 coïncident avec

le point Oy la polaire de ce points ou l'asymptote, est rejetée à rinfini, et la courbe S^ est une parabole. Enfin^ si le centre o de la courbe directrice est situé a Tintérieur de la courbe S, la courbe S^ est une ellipse.

3ftO — La méthode des polaires réciproques a une grande importance dans l'étude des sections coniques; elle permet, quand on a trouvé une propriété de ces courbes, d'en déduire immédiatement une propriété corrélative. Nous avons démontré, par exemple, au n"* 274, que par cinq points donnés on peut faire passer une section conique et qu^on n^en peut faire passer quUme; on en déduit que Von peut mener une section conique tangente à cinq droites données et qu'on n'en peut mener qu^une. Concevons, en effet, que l'on ait tracé dans le plan une section conique quelconque pour servir de courbe directrice, el que, par rapport à cette section conique, on ait marqué les pôles a', V, d y d'y ë des cinq droites données A, B, C, D, E; par les cinq points a^, ft', c^, d', d on peut faire passer une section conique S'; la courbe polaire réciproque de la courbe S' est une section conique S tangente aux cinq droites données. Réciproquement, à toute section conique tangente aux cinq droites correspond une section conique passant par les cinq points; comme on ne peut faire passer qu'une section conique par les cinq points, il n'existe qu'une section conique tangente aux cinq droites.

Sm — Nous avons démontré aussi (n*^ 283) que les trois points d'intersection des côtés opposés d'un hexagone inscrit i. une section conique sont en ligne droite. On en déduit ce théo«

278 LIVRE m, CHAPITRE X.

rëme corrélatif attribué à Brianghon : les trois droites qui joignent les sommets opposés d'un hexagone circonscrit à une section conique, passent par un même point. Soit abcdef (fig. i8o) un hexagone circonscrit à une sec^ tion conique; Thexagone inscrit; quia pour sommets les points de contact, est la figure corrélative de Thexa^ gone circonscrit par rapport à la section conique proposée ; car les sommets a, b, c,... de Thexagone circonscrit sont les pôles des côtés A', B', C',... de Pig. 180. rhexagone inscrit. La dia*

gonale ad de Thexagone circonscrit est la polaire du point d'intersection m' des côtés opposés A^ et IK de Thexagone inscrit; la diagonale be est la polaire du point d'intersection n' des deux côtés opposés B' et E^ et la diagonale c/la polaire du point d'intersection p' des deux côtés G et F^ Puisque les trois points m\ n! p* sont en ligne droite, leurs polaires ad, 6e, cf passent par un même point o, pôle de la droite m'n'p^*

Nous ferons ici une remarque analogue à celle qui a été faite à propos du théorème de Pascal. Il n'est pas nécessaire que l'hexagone circonscrit soit convexe, il suffit qu'il soit fermé. Supposons qu'on ait tracé six tangenies à une section conique; pour former l'hexagone^ partant du point d'intersection de deux tangentes, on s'avancera sur l'une d'elles jusqu'à la ren^ contre d'une autre tangente; puis sur cette seconde tangente, dans un sens ou dans l'autre, jusqu'à la rencontre d'une troisième tangente^ et ainsi de suite^ de manière à revenir au point de départ après avoir marché sur toutes les tangentes sans discontinuité. La ligne brisée ainsi formée est un hexagone circonscrit. Si Ton numérote les sommets dans l'ordre suivant lequel

on les a obtenus^ les trois diagonales qui joignent les sommets

(i^ 4); (2^ 5)y (3> 6) passent par un même point (Qg. 181).

Fig. 181.

319 — Corollaire. Quand on définit une section conique par cinq tangentes, on peut, à Taide du théorème précédent, construire autant de tangentes que Ton veut. Soient les cinq tangentes a6, hCy cd, de^ ef (flg. 180); cherchons la seconde tangente qui passe par un point a pris arbitrairement sur Tune des tangentes données; on prendra le point d'intersection 0 des diagonales ad et be; on mènera la droite co et on joindra le point a au point f où la droite co rencontre la tangente ef.

On peut aussi déterminer le point de contact de chacune des tangentes. Quand deux côtés de l'hexagone circonscrit, par exemple, les côtés ab et 6c, coïncident, le sommet inlermér diaire 6 devient le point de contact; pour trouver ce point de

contact, on joindra le sommet e au point d'intersection 0 des diagonales ad eicf (fig. 182).

Lorsqu'on a déterminé les points de contact de trois tangentes, on obtient les éléments de la courbe par le procédé que nous avons indiqué au n° 286.

ig. 185.

313— Du théorème de Brunchon, on déduit les corollaires suivants ; un quadrilatère étant circonscrit à une seclion conique, les deux diagonales et les deux droites qui joignent