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t74 LIVRE m, CHAPITRE X.

les poifiis de contact des côtés apposés pcLssent par un même point.

Un triangle étant circonscrit à une section conique, les droites qui joignent les sommets au^ points de contact des côtés opposés passent par un même point. Il suffit de compléter Thexagone circonscrit, dans le premier cas avec les points de contact de deux côtés opposés, dans le second cas avec les trois points de contact.

S14 — Nous indiquerons encore comment on détermine la parabole tangente à quatre droites Â^ B, C, D. Supposons le problème résolu, et soit F le foyer de la parabole, les pieds des perpendiculaires abaissées du point F sur les tangentes sont en ligne droite n® 249. Mais nous avons démontré n"^ 109 que le lieu d'un point F tel que les perpendiculaires abaissées de ce point sur trois droites A, B, G aient leurs pieds en ligne droite est le cercle circonscrit au triangle formé par les lignes A, B, C. D'après cela, si Ton circonscrit un cercle au triangle formé par A, B, G, puis un second cercle au triangle formé par B, C, D, ces deux cercles qui passent par le point de rencontre des lignes B et G se couperont en un second point, et les pieds des perpendiculaires abaissées de ce point sur A, B, G, D seront en ligne droite; ce point étant le seul qui jouisse de cette propriété sera le foyer F de la courbe. En prolongeant chacune des perpendiculaires d'une longueur égale à elle-même on obtient quatre points a^, 6^, c^, d^ qui sont encore en ligne droite et qui sont situés sur la directrice. 11 facile de voir que, réciproquement, la parabole dont le foyer est F et la directrice la droite a^\c^d^ est tangente aux droites A, B, C, D; car en élevant aux points a^, b^, c^, d^ des perpendiculaires à la directrice, ces perpendiculaires rencontrent les droites en des points a, b, c, d tels que chacun d'eux est également distant du foyer et de la directrice, ces points appartiennent donc à la courbe; de plus la droite A fait les angles égaux avec les lignes aa^, et aF, donc cette droite A est tangente à la parabole au point a. On voit ainsi que le problème admet toujours une solution et une seule, excepté dans le cas où les cercles circonscrits aux deux triangles se touchent.

«IS-^Considérons le eas panicnlier où la courbe directrice est un cerde de rayon r; la polaire A' d'un point a est perpendiculaire à oa et )>

une

Fig. 183.

distance da centre égale à — Les droites

qui joignent le centre à deux points a et 6 font entre elles un angle aob égal à celui des polaires A' et B' de ces poinu (fig. h 83). Par le centre o, menons des parallèles aux droites A' et B'; des points a et 6 abaissons des perpendiculaires sur ces droites; les triangles rectangles ocw, obf sont semblables et donnent la proportion

oe __ qç + gg CMJ H- ogf ,

on en déduit oa(6d 4- oA) = o6 (oc + ogf); mais on a oa.oh = ob.og = r';

il en résulte oa,bd = ob,ac, ou — = — .

ob bd

Ainsi les distances de deux points au centre sont proportionnelles aux distances de chacun d*eux à la polaire de Tautre.

Cherchons la courbe polaire réciproque d'un cercle de rayon r' par rapport au cercle o. Soit C la polaire du centre c du cercle proposé (fig. 484); menons à ce cercle une tangente quelconque A et prenons le pôle a' de

celle droite ; d'après la propriété précédente, oa' a'd oa' oc .

des distances de chacun des points a' du lieu au point o et à la droite fixe C est constîint ; donc ce lieu est une courbe du second degré dont le point o est l'un des foyers et la droite C la directrice correspondante.

A l'aide de cette transformation, on peut déduire immédiatement des propriétés du cercle w plupart des propriétés focales des courbes du second degré. Ainsi, P» exemple, deux tangentes A et B au cercle c font des angles égaux avec « corde des contacts ab; aux droites A et B correspondent deux points a' ^^b' de la section conique; aux deux points a et b du cercle les tangentes A et B' à cette section conique en a' et b'; à la droite ab ou M le point ^'imerseclion m' des droites A' et B'. Les rayons menés du foyer o aux Points a\ b\ m' faisant entre eux des angles égaux à ceux de leurs polaires

Fig. 184.

276 LIVRE m, CHAPITRE X.

Â^ B, My on en conclut que la droite (ym! est bisseclrîce de Tangle a'ob' (no 255).

Le lieu du sommet m d'un angle constant circonscrit au cercle c est un cercle concentrique. Aux deux tangentes A et B menées du point m au cercle c correspondent deux points a' et 6' de la conique, et au point m la droite a'6'; Tangle a!oh\ éiant égal à celui des droites A et B, est aussi constant; le point m décrivant un cercle dont le centre est c, sa polaire a! h* enveloppe une section conique dont le point o est Tun des foyers et la polaire du centre c la directrice. Ainsi la corde vue du foyer d*une section coniqae sous un angle constant enveloppe une section conique qui a même foyer et même directrice. La corde ab du cercle enveloppe un cercle con* centrique ; donc le point de concours des tangentes à la section conique en a' et b' décrit une section conique qui a aussi même foyer et même directrice.