COURBES ENVELOPPES

310— Dans ce qui précède^ nous avons été amenés à con* sidérer des courbes tangentes à des séries de droites; lorsqu^un point décrit une courbe, sa polaire reste tangente à une autre courbe. On appelle, en général, enveloppe d'une ligne mobile une courbe à laquelle cette ligne reste constamment tangente.

Soit

une équation renfermant un paramètre variable a. A chaque valeur de a correspond une ligne déterminée. Donnons au paramètre deux valeurs voisines a et a -h h; la ligne (i) et la ligne

se coupent en un point M^ (ûg. i85) dont les coordonnées vérifient à la fois les équations (i) et (2). Le système de ces deux équations peut être remplacé par le suivant

f(x, y, a) =0, ^-i ^ ^-^ — 1\ '^ify f o^

qui, lorsque h tend vers zéro, se réduit à

(3) f {X, y, a) = o, fi (x, y, a) = o. Or, quand h tend vers zéro« le point H^ se déplace sur la

ligne (i) et tend vers une position limite M; c'est ce point limite qui est repréïN^/'liFV^^^^î^v. sente par le système

(3). Chacune des lignes (i] contient un Fig. 185. point limite; on ob*

tient le lieu de ces points^ c'est-à-dire le lieu des intersections successives des lignes représentées par Téquation (i)^ en éliminant a entre les équations (3).

Considérons de nouveau le système des équations (i) et (2)^ dans lesquelles nous regardons a comme une variable et h comme une constante; ce système représente le lieu des points suivant lesquels chaque ligne (a) est coupée par la ligne [a -h h). Deux de ces points se trouvent sur la ligne (a), savoir : le point d'intersection M' des lignes (a) et (a H- A), le point d'intersection M" des lignes (a — h) et (a). Quand h tend vers zéro, les deux points H^ et M" tendent vers la même position limite H, et le lieu devient tangent à la ligne (a) au point M. Ainsi le lieu des intersections successives des lignes représentées par Véqualion (\) est tangent à chacune de ces lignes. A cause de cette propriété^ on dit que le lieu est Venveloppe des lignes (i) qui portent le nom d'enveloppées,

317— Supposons maintenant que la ligne mobile soit représentée par une équation

(4) /"te, y, a, ft)=o,

contenant deux paramètres variables a et 6 liés par la relation

Si Ton appelle V la dérivée de 6 considérée comme une fonction de a donnée par Téquation (5), on a (pi H- (pi 6' = 0; d'où

^=— ^« Mais si Ton égale à zéro la dérivée de la fonction

fi^9 y, dj b) par rapport à a, en y regardant 6 comme une tonctioude a^ on a /l+/'i6^=o; on en déduit la relation

278 LIVRE ni, CHAPITRE X.

et pour trouver Féquation de renveloppe, on éliminera les deux paramètres a et 6 entre les trois équations (4), (5), (6).

SI 8 — Comme exemple, cherchons Tenveloppe des normales à une parabole. La normale à la parabole y' — %px = 0 au point M (fig. 486) dont

les coordonnées sont x eiy, a pour équation p(Y — y)-hî/(X — aî) = 0; si Ton

remplace x par sa valeur ^9 cette équa-

tion devient

(7) pY+y(X-p)-^=0;

elle renferme un paramètre arbitraire y; il faut prendre la dérivée par rapport k y,

et éliminer y entre les équations (7) et (8).

En remplaçant dans Téquation (7) y* par

Fig. 186. sa valeur tirée de Téqualion (8), on a

y = — ; portant cette valeur de y dans Téquation (8), on obtient

Téquation de Tenveloppe

Cette courbe a la forme indiquée dans la figure ; elle présente uq rebroussement en C : car la tangente en ce point, étant normale à la parabole aa sommet A, coïncide avec Taxe ÂX. Quand le point M décrit la branche âB de la parabole, la normale roule sur la branche CD de Tenveloppe; et de même quand le point M décrit la branche AB' de la parabole, la normale roule sur la branche CD' de Tenveloppe.

Si Ton veut mener des normales à la parabole par un point donné P, il suffira de regarder dans Féquation (7) X et Y comme les coordonnées du point F et Tordonnée y du pied M de la normale comme Tinconnue ; on peut mener du point P trois normales à la parabole ou une seule suivant que cette équation du troisième degré en y admet trois racines réelles ou une seule. Cette question revient évidemment à mener des tangentes à Tenveloppe par le point P; ainsi Tenveloppe, qui est du troisième degré, est aussi de la troisième classe. Lorsque le point P est situé entre les deux branches de Tenveloppe, on peut mener de œ point trois tangentes à l'enveloppe, et, pur eon8éfl|aent, trois normales à ta parabole ; mais lorsque le point est

shué ea F à rextériear, on ne peut mener qu*une seule ungenle à Tenveloppe, ex, par coniéqueDl, une seule normale à la parabole. SU 9— Cherchons encore Tenveloppe dei nonnalea à Tel

Féqnation de la normale an point (m, y)

renferme deux paramètres tariablea « et y liés par la relation D*après la formule (6) du n« 347* on a

OD a obtenu le troisième rapport en ajoutant les numérateurs et les déoominateors, après avoir multiplié les deux termes du premier par x, les deux termes du second par y» et tenant compte des équations (1 0) et (4 4 ); OD en déduit

Xr := — r— »

ft*Y.

portant ces valenra dans TéquaUon (4 4), on obiieni Téquation de Tenveloppe

Cette courbe présente quatre points de rebroussement (Gg. 487). Quand

le pied M de la normale décrit Tare AB de Tellipse, la normale roule sur Tare CD de Tenveloppe.

Si Ton veut mener des normales à Tellipse par un point donné P, ayant pour coordonnées X et Y, les deux équations bimultanées (40) et (44) donneront les coordonnées a; et y du pied de chacune des normales; les pieds des normales sont les points d'intersection de Tellipse proposée (44) et d'une hyperbole (40) ; il y a quatre solu«

Fig. 187.

280 LIVRE m, CHAPITRE X.

lions. Mais celte question revient k mener des tangentes à Fenveloppe par le point P ; on en conclut que Tenveloppe, qui est du sixième degré, est de la quatrième classe. Lorsque le point P est siiué à ^intérieur de l'enveloppe, on peut mener de ce point quatre tangentes à Tenveloppe, et, par conséquent, quaire normales réelles à Tellipse ; mais lorsque le point est situé h Textérieur, par exemple en P', on ne peut plus mener que deux tangentes réelles à Tenveloppe, et, par conséquent, deux normales à rellipse.

L'enveloppe des normales à Thyperbole a pour équation

330 — Il est à remarquer que la recherche de l'enveloppe d'une droite mobile peut être ramenée à la théorie des polaires réciproques. Car cette courbe enveloppe est la courbe polaire réciproque de la courbe décrite par le pôle de la droite, relativement à une section conique déterminée. Représentons la droite mobile par une équation de la forme

(i4) px-hqy-^i^o,

renfermant deux paramètres variables liés par la relation

et prenons pour courbe directrice la courbe a?" 4- y* — 1=0; cette courbe sera un cercle si les axes des coordonnées sont rectangulaires. La droite x^x + y^y— 1 = 0, polaire du point (a?i, yj, coïncidera avec la droite mobile, si l'on fait x^zzip, yi = q; ainsi la courbe S^ décrite par le pôle de la droite mobile, a pour équation (16) <p (Xi, y^ = o. La tangente A^ en un point (x^y yj de la courbe S' est représentée par Téquation

X(pi^+Y(p;,H-Zç;=o;

un point a dont les coordonnées sont ^ et j/ a pour polaire

arX-j-j/Y — 1 = 0; ce point sera le pôle de la droite A^, si les relations

sont vérifiées. Pour obtenir la courbe S polaire réciproque

de S'^ c'est-à-dire le lieu du poiut a, il suffira d'éliminer x^ et y^ entre les équations (i6) et (17].

Lorsque la relation qui existe entre les deux paramètres Tariables p et 9 est exprimée par une équation algébrique entière du second degré, la courbe S' étant une section conique, il est clair que la courbe S est aussi une section conique.

8111 — Exemple I. Trouver Fenveloppe d*une droite telle que le produit de ses distances à deux points fixes F et F' soit égal h une quantité donnée. Eo prenant pour axe des x la droite FF' et pour axe des y une perpendiculaire sur le milieu de cette droite, appelant 3c la distance FF', 5' le produit constant, et représentant la droite mobile par une équation de la forme px + çy — 4 = 0, on a, entre les deux paramètres variables p et q,

la relation

(c*±fc«)p*±:6«g» — 1 =0;

il faut prendre le signe + ou le signe — suivant que la droite laisse les

deux points d*un même côté ou passe entre les deux. La courbe S' ayant

pour équation

(c*±6«)a?î=fc6"yJ-.4 =0,

l'équation de la courbe cherchée, ou de la polaire réciproque (n«30S), est

oc* y*

C'est une ellipse ou une hyperbole dont les points F et F' sont les foyers. Ce théorème est la réciproque d'un théorème démontré au chapitre VII.

9%% — Exemple II. Étant donné un quadrilatère abcd, trouver Tenveloppe d*une droite telle que le produit de ses distances à deux sommets opposés soit au produit de ses distances aux deux autres sommets dans un rapport constant. Appelons x^ et y^ or, et y„ x, et y„ Xi et y^ les coordonnées des quatre sommets , et représentons la droite mobile par réqnation fMD+gy — - 4 =0; 00 aura entre les deux paramètres p et g la relation

cette relation étant du second degré, on en conclut que Tenveloppe est une courbe du second degré. L'équation précédente est vérifiée quand la droite mobile coïncide avec Tun des côtés du quadrilatère, puisque dans chaque terme un facteur s'annule. Ainsi la courbe est inscrite dans le quadrilatère, et on peut donner an rapport k une valeur telle que la courbe soit tangente à une cinquième droite quelconque. Il en résulte cette propriété générale

des sections coniques : tin quadrilatère élarU eircorucrit à une section eo^ nique, le produit des distances d'une tathçente quelconque à deux sommets opposés du quadrilatère est au produit des dUtanees de cette même tangente aux deux autres sommets dans un rapport constant.

393— Nous avons mis réquation du second degré sous différentes formes ; il est bon de remarquer que Téquation de la tangente ou de la polaire d'un point peut être mise sous une forme analogue à celle de la courbe. Un terme quelconque de réquation est de la forme ka% a et ^ étant deux fonctions linéaires et homogènes en x, y, z

0L = aX'hhy+cZy ^=:a'X'\'ify'\'dz.

La polaire d'un point P, dont les coordonnées sont x^, y^ z^, est représentée par Féquation

Appelons a^ et p^ les valeurs des polynômes a et p quand on y remplace x, y, z par x^, y^ z^y le terme Aa^ donne dans l'équation de la polaire la quantité

A[a;(a'aj-f-aPJ + y(6'a,4-6Pt)-h2(c'a4-|-cpJ], ou A(a4P-f-Pia).

Un terme de la forme Aa' donnera 2Aaa(.

Par exemple, si l'équation de la conique est mise sous la forme a^ — ty«=:o, la polaire a pour équation

a^P -h Pi a — 2 ^Yi Y = o.

A la forme a:' + y* — a« = o, dans laquelle Torigine est le foyer et la droite a = o la directrice^ correspond de même la forme x^x + y^y^ciL^0L=^o.

L'équation ap — k^^ = o dans laquelle k est un paramètre arbitraire, représente toutes les coniques passant par quatre points axes. La polaire d'un point donné a pour équatioa

ajP H- p,a — fc (Yi^-l-^t y) = ^* ^° ^^^* ^^^ toutes ces polaires passent par un point fixe. On en déduit ce théorème corrélatif: les pôles d'une même droite par rapport à toutes les coniques tangentes à quatre droites données sont en ligne droite. Si Ton suppose que la droite s'éloigne à l'infini, son pôle de*

THÉORIE DES POLES ET DES POLAIRES. t83

vient le centre de la courbe; ainsi le lieu des centres des coniques tangentes à quatre droites données est une ligne

droite.

394— Soient a=:o, ^ = o^ Y=^ ^^^ équations de trois droites fixes; on peut déterminer la position d'un point quelconque m du plan par l'intersection de deux droites

(i) a=ay, P = 6y>

passant par deux des sommets du triangle formé par les trois droites fixes; les deux droites dont il s'agit dépendent des deux paramètres variables a et 6 que Ton peut regarder comme les coordonnées du point m. Les nouvelles coordonnées a et 6 sont des fractions rationnelles du premier degré en a; et y; de même, si Ton résout les deux équations (i) par rapport à a; et à y^ on obtient des fractions rationnelles du premier degré en a et fr; il en résulte que toute équation algébrique et entière par rapport à Tun des systèmes de coordonnées se transforme en une équation algébrique du même degré par rapport à Tautre système. Si, dans Téquation entre

a et 6, on remplace a et b par - et -t on obtient une équation homogène en a, p, y. Ainsi une ligne droite sera représentée par une équation homogène du premier degré en a, ^^ )j et de même une conique par une équation homogène du second degré.

Il est évident que la droite qui passe par deux points donnés (ol, V), (a", b") a pour équation

6 — V = -7? 7(a— aO.

Si Ton suppose que ces deux points soient deux points voisins d'une courbe f {a, h) = Oy et que le second [)oint se rapproche iodéfiniment du premier, on voit que la tangente en ce point est représentée par l'équation

284 LIVRE in, CHAPITRE X.

ou af',, -H bf'^ - (a'f'j -h b'f,,) = o.

au a/ &

Si Ton remplace a et 6 par - et -» a^ et 6' par -7 et ^» afin

de rendre Téquation homogène, Téquaiion de la tangente devient (n*» 298)

Lorsque la courbe est du second degré, Téquation précédente ne change pas quand on y permule les lettres a et a', ^ et Ç/^ y et y'. Si ex!, Ç/, Y désignent les coordonnées d'un point quelconque du plan, la corde des contacts des tangentes menées de ce point, c'est-à-dire la polaire de ce point par rapport à la conique, a pour équation

a7o[+PYé-^Y7^ = o ou a/;,+ p/'^, + yr;,= o.

Nous avons déjà employé plusieurs fois le système de coordonnées dont nous venons de parler. En voici de nouvelles applications.

Exemple I. Considérons deux triangles polaires réciproques par rapport à une conique donnée; aôn de simplifier, prenons les côtés de l*un des triangles comme lignes de repère servant ù la définition des nouvelles coordonnées, et soit

/■(a, P, y) = ^ {A'a*4- A p«-h A"t*-+- 2B Py+ 2B'Ya + 2B"ap) = 0

réquation de la conique. La polaire d'un point quelconque (a , p', y'J a pour équation a'p + ?'fa-{- y'f' = 0. En particulier, les polaires des trois

sommets (P'= 0, y'= 0), (y'= 0, a' = 0), (a'= 0, p'= 0) du triangle sont représentées par les équations

/'/ = AaH-B''H-B'Y=0, ^^=A'p+BY+B''a==0, /;:^=A"Y-f-B'a-HBp=0.

Ces polaires sont les côtés du second triangle. Les coordonnées du point d'intersection des deux côtés correspondants a = 0, /"^ = 0 vérifient les

fi Y

équalions a = 0, B''P4-B'y = 0, ou «=0,^+5^ = 0; ce point est

a fi Y

donc situé sur la droile « -f- k>4- b» = ^> ®^ *1 ®° ®^^ ^^ même des deux

autres. Ainsi les trois points de rencontre des côtés correspondants de deux triangles polaires réciproques sont en ligne droite.

Un sommet du second triangle est donnù par les deux équations /"^^ 0,

f' = 0, la droite B/^ = WfL passe par ce point; comme l'équation ne con-

lient pluslalettre Y, celte droite passe évidemment par lesommet(a=0, p=0) du premier triangle. Les droites qui joignent les sommets correspondants étant représentées par les équations B/'^= B7' = ir/'^, on en conclut que

ces trots droites passent par un même point.

Exemple IL Un triangle abc est inscrit dans une conique; deux de ses

cdtés a5 et ac tournent autour de deux points fixes p et g (fig.4 88), trouver l'enveloppe du troisième côté 6c. Soient t=0 l'équation de la droite pq, a = 0 et p = 0 celles des tangentes aux points d et e oU cette droite rencontre la courbe; Téquation de la conique sera de la forme ap — 7' = 0. On ^ peut regarder* les points p et 9 comme les points où la droite Y = 0 est coupée par deux droites Fig. 188. a4-pp = 0, a-|-9p = 0 qui

passent par le point d* intersection 0 des ungentes en d et e. Un point quelconque a de la courbe peut être déterminé par rintersecUon de deux

droites a — aT = 0, p — - = 0 passant par les points dei e, a étant un

paramètre arbitraire qui définit la position du point sur la courbe. En atiribuant à ce paramètre une autre valeur b, on obtient un autre point 6. Une droite quelconque passant par le point a a une équation de la forme

a-.aY-+-*(p— "^^^^î F>"' qu'elle passe par le point b qui est représenté par les deux équations a - 6y = 0, p - 1^ = 0, il faut faire * = ab; ainsi

h droite qui joint deux points quelconques o et 6 de la courbe, a pour équation a-ha6p — (a-+-WY = 0.

Cela posé, soient o, 6,c les valeurs du paramètre pour les trois sommets a, b, c du triangle; le côlé ab passant par le point p, on a ab = p; le côlé ac passant par le point g, on a de même ac = g; le c^lé 6c a pour équation

a 4. 5c P — (6 H- c) Y = 0; si Ton remplace 6 et c par leurs valeurs - et -;

Téqnation devient

o«a-hpgP — (p-t-g)flT-O.

888 LIVRE m, CHAniRE X.

Si, entre cetu équation et l*éqaation

2oa — (p4-g)Y = 0,

qne Ton obtient en égalant à zéro la dérivée par rapport è a, on ^imine le paramètre variable a, on obtient Téquatiou de Tenveloppe de la droite te

Cette enveloppe est une conique qui touche la première aux points d et e. Si Ton mène des tangentes à la conique proposée aux points a, 6, c, on forme un triangle circonscrit a'b'e', dont deux sommets b' et c' glissent sur deux droites fixes P et Q, polaires des points p et q; la courbe décrite par le sommet a', pôle de la droite bc^ est la polaire réciproque de Tenveloppe • c'est donc aussi une conique doublement tangente à la première suivant la ligne de.

EXERCICES

4* Étant données deux coniques dans un plan, les points qui ont les mêmes polaires psrr rapport aux deux courbes sont les points de concours des trois couples de sécantes communes, et ces polaires communes sont les trois diagonales du quadrilatère formé par les quatre tangentes communes aux deux courbes.

2" Sur deux droites fixes, à partir des points où elles sont coupées par une sécante mobile passant par un point fixe, on porte des longueurs constantes, et on joint leurs extrémités; trouver Tenveloppe de la droite ainâ obtenue.

3* Les trois côtés d*un triangle tournent autour de trois points fixes, tandis que deux sommets glissent sur deux droites fixes, le troisième sommet décrit une conique. — Théorème corrélatif.

4" Les côtés d*un polygone de n côtés tournent autour de n points fixes, tandis que n — i sommets glissent sur n — 4 droites fixes, le n« sommet décrit une conique. — Théorèime corrélatif.

5^ Deux côtés d'un triangle tournent autour de deux points fixes, tandis que le troisième côté reste tangent à une conique ; les deux sommets qui sont aux extrémités de ce côté glissent sur deux tangentes fixes de la conique ; le troisième sommet décrit une conique. — Théorème corrélatif.

6** Un triangle est inscrit dans une conique, deux côtés passent par deux points fixes ou roulent sur deux coniques doublement tangentes à la première, l'enveloppe du troisième côté est une conique. — Théorème corrélatif.

70 Un polygone de n côtés est incrit dans une conique; n — 4 côtes rou-

THÉORIE DES POLES ET DES POLAIRES. Wl

lent sur des coniques doublement tangentes k la première ; Tenveloppe du n* cèté est uoe conique. — Théorème corrélatif.

8^ Ëtant données deux coniques S et ^\ et deux tangentes à la conique S', les six droites qui joignent deux à deux les quatre points où ces tangentes coupent la conique S, sont deux à deux tangentes à une même conique passant par les points d'intersection des coniques S et S'. — Théorème corrélatif.

9^ Ëtant données trois coniques ayant quatre points communs, un triangle inscrit dans Tune d*elles» a deux de ses côtés tangents respectivement aux deux autres, le troisième côté enveloppe une conique. — Théorème corrélatif. K 0^ Ëtant données n coniques ayant quatre points communs, un polygone de n côtés inscrit dans Tune d'elles, an — \ de ses côtés tangents respectivement aux autres, le n' côté enveloppe une conique. — Théorème corrélatif.

44" Un polygone, dans une de ses positions, est inscrit à une conique et circonscrit à une autre conique ; si Ton fait mouvoir les sommets sur la première conique, de manière que n — 1 côtés restent tangents à la seconde, le n' côté restera constamment à cette seconde conique.

Dans les théorèmes 8, 9, 40 et 44, on peut remplacer les coniques qui ont quatre points communs par des coniques bomothétiques ayant deux points communs, et en particulier par des cercles ayant deux à deux le même axe radical.

42* L* enveloppe des droites qui coupent deux coniques données suivant quatre points en proportion harmonique est une conique.

43* L^enveloppe de la polaire d'un point fixe par rapport à toutes les coniques qui passent par trois points donnés et qui sont tangentes à une droite donnée est une conique. — Théorème corrélatif.

44* On sait que les polaires d'un point p par rapport à toutes les coniques ayant quatre points communs^ passent par un même point q; si le point p décrit une droite, le point q décrit une conique. — Théorème corrélatif.

4 5* Lorsque deux côtés d*un triangle inscrit dans une conique roulent sur deux courbes quelconques données, le troisième côté enveloppe une troisième courbe ; démontrer que les droites qui joignent les sommets du triangle aux points de contact des côtés opposés passent par un même point. — Théorème corrélatif.

46* Étant donné un hexagone inscrit dans une conique, on prend les

points d'intersection des côtés opposés, puis les points d* intersection de

chacune des trois diagonales avec les deux côtés opposés, les neuf points

ainsi obtenus sont situés sur trois droites passant par un même point.

47* Étant donnée une conique S, on mène une conique variable S' qui

coupe la première en deux points fixes et qui touche deux droites fixes dont le point de rencontre est situé sur la conique S; Tenveloppe de la droite qui passe par les deux autres points d'intersection des coniques S et S' est une conique. — Théorème corrélatif.

48^ Un quadrilatère étant circonscrit à une conique, si on mène une tangente quelconque à la conique» on sait que le rapport du produit des distances de cette tangente à deux sommets opposés du quadrilatère au produit des distances de cette même tangente à deux autres sommets opposés est constant ; démontrer que ce rapport est égal au produit des distances des deux premiers sommets à Tun des foyers divisé par le produit des distances des deux autres sommets au même foyer.