CHAPITRE I

ConstraeiioB des covriMS en coordoaa^es reetllIsMcs.

395 — La conslruclion d'une courbe n'est autre chose que la représentation graphique de la marche d'une fonction réelle d'une seule variable, lorsqu'on fait varier d'une manière continue cette variable. Si Ton a calculé les valeurs de y qui répondent à diverses valeurs de x, on connaît un certain nombre de points de la courbe à construire. Mais ces points ne peuvent suffire, même pour un tracé grossier de la courbe; car on peut les réunir de bien des manières difTérentes; et, d'ailleurs, il peut arriver qu'entre deux ordonnées, même très-rapprochées, la courbe ait des branches infinies. Il est donc indispensable de connaître préalablement, d'une manière générale, la marche de la fonction dont la courbe doit représenter les variations.

Lorsque l'équation est résolue par ra|)port à l'une des variables, y par exemple, on considère chacune des déterminations de y en particulier, et on examine entre quelles limites doit varier x pour que y reste réelle; soient a et d deux limites. Si la valeur de y reste finie dans cet intervalle, elle donne une branche finie de courbe; si la valeur de y devient infinie pour une ou plusieurs valeurs intermédiaires 6, c, ... de la variable, on a diverses branches infinies asymptotes aux droites qui correspondent aux valeurs de x qui rendent y infinie; on subdivise alors l'intervalle de a à d en plusieurs autres; un premier de a à 5, etc., de manière que dans chacun d'eux l'ordonnée ne devienne pas infinie. On examinera ensuite comment varie y

dans chacun des intervalles, par exemple, quand x croit de a à b. Quelquefois, on aperçoit immédiatement, d'après l'expression de y y comment varie cette quantité ; mais le plus souvent, il n'en est pas ainsi; dans ce cas, on a recours à la dérivée. On sait, en effet, que la variable x croissant à partir d'une certaine valeur, si la fonction reste unie, elle varie dans le même sens, tant que la dérivée conserve le même signe; elle croît, si la dérivée est positive; elle décroît si la dérivée est négative. Soient' a, P, y, . . . les valeurs successives de x comprises entre a et 6, pour lesquelles la dérivée change de signe. La variable œ croissant de a à a, la dérivée conserve le même signe, par exemple, le signe +, la fonction croît; de a à p, la dérivée est négative et la fonction décroît, etc. Nous avons démontré que le coefficient angulaire de la tangente en un point quelconque de la courbe est égal à la valeur de la dérivée en ce point. Ainsi le sens dans lequel varie l'ordonnée de la courbe est indiqué par le coefficient angulaire de la tangente.

Lorsque la dérivée change de signe, de positive devenant négative, l'ordonnée cesse de croître pour décroître ensuite; elle passe donc par une valeur maximum. Si, au contraire, la dérivée de négative devient positive, l'ordonnée cesse de décroître pour croître ensuite; elle passe donc par une valeur minimum. 11 faut remarquer que ces mots maximum et minimum ne doivent pas être pris avec leur sens absolu; ils indiquent seulement la comparaison d'une valeur particulière de l'ordonnée avec les ordonnées voisines.

En général, la dérivée, restant finie et continue, change de signe eu passant par zéro, et par conséquent, les tangentes aux points dont les ordonnées ont des valeurs maxima et minima sont parallèles à Taxe OX. Il faut remarquer que toute valeur de X qui annule la dérivée ne donne pas nécessairement un maximum ou un minimum de l'ordonnée; on devra examiner si la dérivée change effectivement de signe; mais, dans tous les cas, la tangente est parallèle à l'axe OX.

Exemple. La strophoîde définie au n» 34 a pour équation

Quand x Tarie de 0 à — a, la valeur numérique dé y augmente constamment de 0 à l'infini ; on obtient de la sorte les deux branches infinies ON, ON' asymptotes à la droite HH' (fig. 22). Quand x varie de 0 à a, Tordonnée y part de 0 pour revenir à 0, en conservant des valeurs finies; elle commence donc par croître pour décroître ensuite, et, par conséquent, elle passe par un maximum ; mais on ne voit pas si dans Tintervalle la fonction n^éprouve pas plusieurs alternatives de croissance et de décroissance. La valeur positive de y a pour dérivée

, — X* — ax-i-a^ y(a-i-a?)(a — a?)

Le numérateur s'annule pour deux valeurs de x, l'une positive ar^, l'autre négative ce,. Quand x varie de 0 à x^, la dérivée est positive, la fonction croit; de o:^ à a la dérivée est négative, la fonction décroît; l'ordonnée est

maximum pour la valeur û?j = a-^--3 — 9 égale au plus grand segment

de la ligne a divisée en moyenne et extrême raison.

3 90 — On détermine souvent la tangente en certains points de la courbe, ou, ce qui est la même chose, certaines valeurs particulières de la dérivée, sans avoir recours à l'expression générale de cette dérivée. Considérons, par exemple, le point 0 de la strophoïde; joignons ce point à un point voisin M, ayant pour coordonnées x eiy; le coefficient angulaire de la sécante

OM est égal au rapport - ; on aura le coefficient angulaire de

la tangente au point 0, en cherchant la limite de ce rapport lorsqu'on fait tendre x vers zéro. Or, on a

quand x tend vers zéro, ce rapport a pour limite ±1. Les deux branches qui passent au point 0 ont pour tangentes en ce point les bissectrices des angles des axes. On obtiendrait la

tangente au point A en considérant le rapport ■ ^ ; ce

rapport augmentant indéfiniment lorsque x tend vers a, la tangente au point A est parallèle à l'axe OY.

SU 7 — Exemple IL Proposons-nous d'étudier les courbes représentées par Téquation y>=: ÂCD>+Ba;'+Ga;H-D; on démontre que ces courbes

peuvent reproduire par la perspective toutes les courbes du troisième degré. Ou supposera le coefÛcient A positif, sans quoi on changerait le sens de Taxe des j;. Il y a plusieurs cas à considérer : 4* le polynôme du troisième degré a ses trois racines réelles et inégales; appelons a, 6, c ces racines rangées par ordre de grandeur croissante ; on a

L'ordonnée est imaginaire quand x varie de — oo à a; réelle quand x varie de akb; imaginaire» quand x varie de 6 k c; réelle, quand a; xvarie de c à -^co . La courbe se compose d'une boucle fermée et d'une branche infinie (6g. 489). 2o Lorsque les deux racines a et & deviennent égales, la boucle se réduit à un point a (fig. 490). 3o Lorsque les deux racines 6 et r

Fig. 189. Fig. 190.

sont égales, la boucle se joint à la branche infinie en b (fig. 4 94). 4^ Lorsque les irois racines a, b, c sont égales, la courbe présente un point de rebroussement en a (fig. 492). 5» Enfin, si le polynôme du troisième degré n'a qu'une racine réelle a, la courbe a la forme indiquée dans la fig. 4 93.

Fig. 191. Fig. 192. Fig. 193.

Le coefficient angulaire de la tangente est donné par la formule 3Aa;* + 2Bic + C 3Aa?*+2Bâ7H-C

2VAa?'H-Bic« + Ca; + D

Dans le premier cas, le numérateur, qui est la dérivée du polynôme du troisième degré, s'annule pour une valeur a' comprise entre a et & et pour une valeur b' comprise entre 6 et c; à la première correspond le maximum de Tordonnée sur la boucle. Dans' le troisième cas, le numérateur s'annule

pour la racine double b; le dénominateur s^annulant aussi, la formule se

présente sous la forme - et ne détermine plus les tangentes au point

double h; on les obtiendra en cberohant la limite V^. (b — o) du rapport ' , qaand 0, tead vers 6.

S2§— Lorsque réquation supposée algébrique n'est pas résolue, soit parce que cette résolution n'est pas possible, soit parce que Ton juge inutile de Teffectuer, on peut quelquefois, en s'appuyant sur les théorèmes concernant les racines des équations, construire la courbe.

On aperçoit immédiatement certaines propriétés de la courbe àTinspection de l'équation; lorsque Téquation ne renferme que des termes qui sont tous de degrés pairs, ou tous de degrés impairs, il est clair que, si elle est vériflée par a? = a, y = p, elle sera aussi vériflée par ic=— a, y= — p; or, les deux points (a, P), (—a, — P) sont placés symétriquement par rapport à l'origine; donc ce point est centre de la courbe. Si réquation ne contient que des puissances paires de Tune des variables, y par exemple, les valeurs réelles de y, qui correspondent à une même valeur de Xy sont deux à deux égales et de signes contraires; lorsque les axes sont rectangulaires, on en conclut que les points du lieu sont placés symétriquement par rapport à la droite OX, qui est un axe de la courbe.

Lorsque réquation de la courbe ne change pas par le changement de 0? en y et de y en x, si l'équation est vérifiée par â? = a, y = P, elle sera vérifiée également par a; = p, y = a ; les deux points correspondants sont placés symétriquement par rapport à la bissectrice de l'angle YOX, qui est, dans ce cas, un axe de la courbe. On voit de même que, si l'équation ne change pas par le changement de a? en — y et de y en — a?, la bissectrice de l'angle YOX^ est un axe.

Soit f{Xy y)=o réquation de la courbe; on s^it que la dé-

f (x y) rivée y^ est donnée par la formule yf=—''] ' ^:* L'expres-

sion de y' contient à la fois les deux variables x et y, elle donne le coefficient angulaire de la tangente en tout point

dont on connaît les deux coordonnées^ excepté dans le cas où les deux dériyées partielles s'annuleraient à la fois.

S99 — Exemple III. Construire le Heu des peints tels que le produit de levn Stances à deux points fixes F, F' soit égal à un nombre donné.

Prenons pour origine le milieu G de la droite FF', celte droite pour axe des X, une perpendiculaire pour axe des y; appelons 2c la distance FF', a* le yradttit constant, l'équation du lieu est

Cette équation, ne renfermant que des puissances paires de chacune des vanabies, chacun des axes est un axe de symétrie de la courbe, et Torigine est un centre. En considérant y* comme Tinconnue, Féquation (1) est du ncoad degré, le binôme B*— 4AG se réduit ici à 4(4c'x*+a^)» quantité estenliellement positiTC, les racines sont donc toujours réelles. Lorsque le deènier terme {x* — c*)* — a* est positif, les valeurs de y* ont le même signe, et comme leur somme — 2(a;*+c') est toujours négative, les deux valeurs de y* sont négatives et les quatre valeurs de y imaginaires. Pour que réquation (4) ait des racines réelles, il faut donc que Ton ait (a?* — c*)' — a* < 0, ou (x* — c* — o') {x* — c* + a*)< 0, et, par conséquent, X* < a*-f- c* et û5* > c* — a*. Alors une des valeurs de y* est positive, Tautre négative.

Prenons G A = OA' = ya*-|-c*; la courbe est comprise entre les parallèles à Taxe des y menées par les points A et A'. La seconde condition esûge que Ton distingue plusieurs cas.

4* a<c. Prenons GB = 0B'= ^c^—a* et par les points B et B' menons des parallèles à OY (fig. 194), la courbe se compose de deux parties

comprises, Tune entre les parallèles menées par les points B et A, Tautre entre les parallèles menées par les points B' et A'. Quand on donne à x Tune des valeurs OB ou OA, Tune des valeurs de y* est nulle^ Tautre négative; X croissant de OB à OA, la valeur de y*, qui d*abord est nulle, de- FiR. 194. vient positive ets^annule

COURBES EN COORDONîflÈES RECTILIGNES. 295

de nouveau ; on obtient ainsi une courbe fermée BCÂD. Les valeurs négatives de X donnent une seconde courbe B'G'A'D', égale à la précédente. Le coefficient angulaire de la tangente est déterminé par la formule

Aux points à et B, V est nulle et y' infinie, la tangente est parallèle à Taxe OT. Le numérateur de y' devient nul, quand on a oc'+y^ = c*. Du point 0 comme centre, avec OF pour rajon, décrivons un cercle ; ce cercle coupe la courbe en quatre points G, D, G', D', donnés par les formules

Comme Tare 6C est intérieur au cercle, en Tun quelconque des points de cet arc, la fonction a;* 4- y* — c* a une valeur négative et y' est positive. Pour les points de l'arc CA^ le facteur flc'+y* — c* est positif et y' néga* tive. Ainsi, de B en G l'ordonnée croit, 'et de G en A elle décroit; Tordonnée du point C est maximum.

^ a = c, La seconde condition est satisfaite, quelle que soit x; x peut

varier de — cy% k cyï. Quand ce varie de 0 à cy^, la valeur positive

de y' part de zéro et

redevient nulle; on

a une courbe fermée

OCADO (fig. 195)

qui passe à Torigine;

les valeurs négatives

de X donnent une

X courbe symétrique

de la précédente par

rapport à OY. Le

cercle de rayon OF

coupe la courbe en

pjg J95 quatre points , dont

les ordonnées ont une valeur numérique ^ maximum^ l'abscisse de ces

points a pour valeur absolue -^. Cette courbe se nomme lemniscate.

A Torigine, la valeur de y' se présente sous la forme ^; il est facile de eoncevoir qu'il en est ainsi aux points multiples d'une courbe algébrique

quelconque. En effet, la valeur de y' est donnée par la formule

Or, f(x^ y) étant ud polynôme enlier par rapport aux variables x et y, les dérivées partielles /^ {x, y), f*^ [x, y) sont aussi des polynômes entiers par rapport aux mêmes variables. Si ces polynômes ne devenaient pas nuls, lorsqu^on y remplace x et y par les coordonnées du point multiple, y' aurait en ce point une valeur unique, tandis qu'elle doit avoir autant de valeurs différentes qu^il y a de branches qui passent au point multiple. Dans le cas actuel, Téquation étant bicarrée peut être résolue par rapport à y; à chaque valeur de y correspond une dérivée qui a une valeur déterminée, quand on y remplace x par zéro. Cette valeur de la dérivée est, ainsi que nousTavons

remarqué au n» 326, la limite du rapport -9 lorsque x tend vers zéro. On peut obtenir plus simplement la limite de ce rapport sans résoudre l'équation. Posons — = tf ou y =ztx; en substituant dans Téquation (1), il

vient

Lorsque x est très-petit, Tune des valeurs de t' est voisine de TuDité, l*autre est négative et très-grande; en se bornant aux valeurs réelles

de y, on a lim - ==b 1 . Les tangentes au point 0 sont les bissectrices de&

angles des axes.

3" a > c. La seconde condition est encore satisfaite quelle que soit x; .t

peut donc varier de — Vc* -H ar »

-l-Vc*4-a*. Pour flc = 0, la valeur positive de y* est a^-^c*. Prenons sur Taxe des y

la courbe passe par les deux points B et B' (fig. 496). Si Ton fait varier a? de 0 à Vc'-h «*> !/' P*''^ ^* p.. 19g a» — c« et devient nul ; le lieu est

une courbe fermée qui a pour sommets les points A, A', B, B'. Pour que le cercle coupe la courbe , il faut que Ton ait o > c V2. Lorsque celte condition est satisfaite, l'ordonnée croît de B en C et diminue de C en

i ; Tordonnée da point B est minimum , celle du point G maximum.

Y Si, au contraire, on a a>cV2»

le cercle est intérieur à la courbe, dont Tordonnée diminue de B en A ; Fordonnée du point B est maximum. Dans ce cas on donne à I la courbe le nom d^ovcUe de Cas- 8ini, La figure 1 97 suppose que

a est égal à c^- S80— Exemple IV. Con- Fig. 197. struire la courbe

(i) 2y* — 5a?y*4-ic*=o.

Cette équation, étant du cinquième degré par rapport à chacune des valîables, ne peut être résolue par rapport à aucune déciles, elle ne renferme qoe des termes de degrés impairs ; donc Torigine est centre de la courbe. Examinons combien Téquation, dans laquelle on considère y comme Tineonnue, a de racines réelles pour les diverses valeurs attribuées à x.

Supposons d'abord œ positive, Téquation (4) aura au plus deux racines réelles positives, puisque son premier membre n*a que deux variations. La dérivée du premier membre par rapport à y est 40y (y' — x). Cette dérivée est négative depuis y = 0 jusqu'à y = y x, positive depuis cette valeur jusqu'à rinfini. Le premier membre qui est positif pour y = 0, décroît,

lorsque y varie de 0 à y x, et crott ensuite indéfiniment. L'équation a donc

denx racines positives^ ou elle n'en a pas, suivant que la valeur y = y a; rend le premier membre négatif ou positif; c'est-à-dire suivant que Ton a ^10^27, ou x**> 27. Si l'on change y en — y, le premier membre présente une variation et une seule ; donc l'équation a une racine négative et une seule.

Pour x = 0, les cinq racines de l'équation (4) sont nulles; x croissant

deOà y 27, l'équation a deux racines positives et une racine négative;

lorsque x atteint la valeur y 27^ les deux racines positives deviennent égales, puisqu'elles annulent la dérivée. Quand x

dépasse y 27, Téquation n'a plus qu'une racine réelle qui est négative. Les deux racines positives donnent une boucle OâBO (fig. 498), comprise dans l'angle TOX, et la racine négative une branche infinie OC placée dans Tangle

Y'OX. Àiix valeurs ségatives de x carrespondent une boucle OA'B'O et une branche infinie OG^ symétriques des précédentes par rapport au centre.

La valeur maximum de l'abscisse pour la boucle OABO est y 27, elle correspond à un point A pour lequel la tangente est parallèle à OY, puisque les coordonnées de ce point annulent f [x^ y). En considérant y comme variable arbitraire, on trouve que le maximum de y pour la même boucle

est y 4 ; ce maximum donne un point B, pour lequel la tangente est parallèle à OX.

La méthode précédente de discussion est applicable toutes les fois que Téquation ne contient que trois termes; car on sait toujours déterminer le nombre des racines réelles d'une équation trinôme à une seule inconnue.

BMPLOI d'une YARIABLB AUXILIAIRE.

33 1 — Lorsqu'il est impossible de résoudre l'équation par rapport à Tune des Tariables x ou y, on peut dans certains cas exprimer les deux coordonnées à Taide d'une variable auxiliaire t; eïy en suivant les variations simultanées de x et y, lorsque t varie entre les limites qui rendent ces quantités réelles, tracer la courbe.

Si l'on considère y comme une fonction de a?, et x comme une fonction de t, on a, en prenant la dérivée de y par rapport à t, d'après le théorème des fonctions de fonctions *,

on en déduit la formule

qui donne le coefQcient angulaire de la tangente au point qui correspond à une valeur quelconque de U Les valeurs de t qui annulent Dt^ donnent les points pour lesquels la tangente t^i parallèle à OX, et les valeurs qui annulent DfO? les points pour lesquels la tangente est parallèle à OY.

^ Pour désigner la dérivée d'une fonction, on emploie fréquemment la lettre D, initiale du mot dérivée, et on indique la variable par rapport à laquelle on prend la dérivée en écrivant cette variable comme un indice au-dessous de la lettre D et un peu à droite. Ainsi D^o;, et Dty Indiquent les dérivées des fonctions « et y par rapport à la variable t, D^y la dérivée de y par rapport à x.

ExEHPLB V. Construire la couthe y* — y'ac-f-ac* — îx'y = 0.

Si 1 on pose y = te, on a ap = ;p- jr» y = to = jr» et Ton

construit la courbe en faisant varier (de — w k + os . Pour guivre les Tarlations de « et de y, prenons les dérivées

D.ar =

Les numéralenrs ne s*anQulant pour aucune valeur réelle de t ne changent

pas de signe. Les valeurs de x et de y

deviennent nulles pour (= ^9 infinies

B pour 1 = 0, ou 1=1. Si Ton fait varier t de — 00 à 0, X est négatif et ^ décroît de 0 à — 00 , y est positif et crott de 0 à Tinfini ; on obtient ainsi la

branche infinie OA (fig. 1 99) . La va-

riable t allant de 0 à ^9 x et y devien-

Fig. 199. nent positifs et décroissent de «0 à 0,

ce qui donne la branche infinie OB. La variable i allant de ^ à 1 , a; et y

sont négatifs et décroissent de 0 à — 00^ on a la branche infinie OC. Le coefficient angulaire de la tangente en 0 à la branche BOG est ^. Enfin, si

t varie de 4 à oo , a; et y deviennent positifs et décroissent de 00 à 0, on obtient la branche infinie OD.

Lorsque Téquation entre x et y ne renferme que deux groupes de termes, Tan du degré m, Tautre du degré m — 4 , si Ton prend comme nous venons

de le faire, pour variable auxiliaire le rapport - = t, les cordonnées x et

y sont des fonctions rationnelles de cette variable. Lorsque Téquation contient trois groupes de termes^ le premier du degré m, le second du degré m — 4 ^ le troisième du degré m — 2, en conservant la même variable auxiliaire^ les coordonnées s'obtiennent par la résolution d'une équation du second degré, et on peut encore suivre leurs variations simultanées.

Exemple VI . Construire de la courbe x^y^ — xy — a; — 2 = 0. Si Ton pose acy = t, on a x = .737^» y = rZS'

Examinons comment varient x et y, lorsqu'on fait varier la variable auxiliaire t de — ao à 4- 00 . Pour cela prenons les dérivées des deux fonc-

tioDs, on a

3<*-|-8t»+i 4(«+io«*— 2 ï),x = ni — rci — ' D.y = -

La valeur de DtX s'annule pour deux valeurs a et & de t comprises, la

g première entre — ^ et — 2, la seconde entre — 1 et 0. La valeur D^y

s'annule pour trois valeurs c, d, e de t, comprises, la première entre — ^

et — 2, la seconde entre — 2 et 0 et la troisième entre 0 et 1 . On reconnaît facilement, en outre, que Ton a a<^ef d < &. Cela posé, considérons la suite des quantités

— 00, a, c, — 2, — I, d, b, Cy +1, <x> ,

rangées par ordre de grandeur. Si l'on fait varier {de — co ha, x est négatif, part de 0 et décroît; y est positif, part de Finfini et décroît également; on a la branche Â6 asymptote à Taxe OY (fig. 200). La variable t

allant de a à c, x est négatif et croissant, y positif et décroissant; branche BG. La variable t allant de c à — 2,0? est négatif et croît jusqu'à 0;v positif et croît jusqu'à Fintini ; branche CI. La variable t allant de — 2 à — 4 , a; croît de 0 à 00 , y croît de — - oo à 0; double branche infinie DE, asymptote à OY' et à OX. La variable t allant de — 4 à d, x part de — oo et croît, y part de 0 et croît; branche infinie FG, asymptote à O'X'. La variable ( allant de d à &, a; continue à croître, et y décroît en restant positif; branche GH. La variable l allant de 6 à e, 07 et V décroissent; branche BR, qui coupent OX' en un point dont l'abscisse — 2 correspond à t = 0. La variable t allant de e à -h 4 , a; décroît, y augmente; branche infinie RL, asymptote à OX'. Enfin, t variant de + 4 à + 00 , a; décroît de oo à 0^ et y croît de 0 à oo ; double branche infinie MN, asymptote à OX et OY.

Les tangentes aux points C, G, R| qui correspondent aux valeurs c, d, e de t qui annulent Dt y, sont parallèles à OX ; les tangentes aux points B et H sont parallèles à l'axe OY.