CHAPITRE II
CoBYexIté et coneavlté*
*' — Soit AB un arc de courbe correspondant à une détermination de y, et aux yaleurs de x comprises entre a et 6; nous supposons que dans cet intervalle la dérivée seconde y" conserve le même signe, par exemple, reste positive. Menons la tangente RS en un point quelconque M de cet arc, ayant pour abscisse x^; désignons par y^ la valeur de la dérivée en ce point, ouïe coefficient angulaire de la tangente, et par Y rordonnée d'un point quelconque de cette droite ; la différence y — Y s'annule pour x = x^, et il en est de même de sa dérivée y^ — V ou y' — j/i (Bg- 201). L'abscisse x croissant de
a en b, et la dérivée y" de la différence y'— Vu étant positive, la fonction y'—y'^ va en croissant; comme elle s'annule pour X = x^y elle est négative de a à x^y et positive de x^ à 6. Considérons maintenant la fonction y — Y, qui admet pour dérivée yf — yl\ quand x varie de a à Fig. 201. x^^ la dérivée étant négative, la fonction
décroit ; comme elle s'annule pour x = x^y elle était positive auparavant; x variant de x^ à 6, la dérivée est positive et la fonction croît; comme elle s'annule pour x=Xf^, elle est aussi positive de 0?^ à b. Il en résulte que la différence y — Y reste positive dans l'intervalle de a à 6. On conclut de là que l'arc de courbe ÂB est situé tout entier d'un même côté de chacune de ses tangentes; c'est un arc convexe. Il en serait de même si la dérivée seconde restait négative; mais la différence y — Y étant négative, l'arc serait situé tout entier de l'autre côté de la tangente. Il est facile de distinguer ces deux côtés; par le point M menons une parallèle MY^ à Taxe OY, et dans la direction des y positifs; dans le premier cas, l'arc est situé du même côté de la tangente que la demi-droite MY^; dans le second cas, il est de l'autre côté. Dans le premier cas, on dit que l'arc
ÂB tourne sa concavité dans la direction MY^; dans le second cas, dans la direction opposée.
On sait que le signe de y^' indique le sens de la Tariation de y' quand x croît. Si donc on imagine que le point M parcoure Tare AB, le coefficient angulaire ira en croissant, si y^ est positive, et, au contraire, en décroissant, si y" est négative.
333— ^On appelle points d'inflexion les points où la concavité change de sens, c'est-à-dire les points où la dérivée seconde change de signe. En général, la quantité y", étant finie et continue, change de signe en passant par zéro. Supposons que y" change de signe pour a? = x^ en passant par zéro, on verra facilement que la dérivée première y^ — j/J ne change pas de signe, mais que la fonction y — Y change de signe; de sorte
qu'en ce point la courbe passe d'un côté à l'autre de la tangente.
Si par le point d'inflexion M (fig. 202) on mène une sécante voisine de la tangente MT, cette sécante coupera la courbe en deux points M' et M^' voisins de M; la tangente MT est la limite d^une sécante passant par trois points voisins M", M, M^ quand les deux points M" et M' tendent vers le point M.
334 — Exemple I. Sinussoïde. Construire la courbe y = sînx. Quand œ croît de 0 à Tc, Tordonnée est positive; elle part de 0 pour revenir à 0, ce qui donne Tare OAG (fig. 303) symétrique par rapport à Tordonnée qui
Fig. 202.
Fig. S03.
correspond à a; = â* Quand x croit de ic à Sir, y devient négatif, et Ton
obtient Tare CBC égal au premier. De SIn à 4tc, Fordonnée reprend les mêmes valeurs que de 0 à 2^, de même de in à Ctt, ete: Ainsi la courbe se compose d*uae infinité d*ondulations égaies.
Le coefficient angulaire de la tangente est y' = cosa?; à Torigine, y' = 4, la tangente est la bissectrice de Tangle YOX. Au point C, y'= — ,4, la
tangente est parallèle à Taulre bissectrice. Pour a? = ^-y la dérivée s'annule et de positive devient négative; Tordonnée du point A est maximum.
TU
Pour 07 = 3 -f la dérivée B*annule également, de négative devenant posi-
tlve ; Tordonnée du point 6 est minimum.
Quand x varie de 0 à te, la dérivée seconde y"= — sinx est négative et la courbe tourne sa concavité vers les y négatifs; de tc à âic, la dérivée seconde est positive et la courbe tourne sa concavité vers les y positifs; le point G est un point dMnflexion.
Il est à remarquer que cette courbe a une infinité de centres, situés à égale distance les uns des antres sur Taxe X'X, les points 0, G, 0',... dont les abscisses sont les multiples de n. Chacun d'eux est un point d'inflexion.
S85 — Exemple II. Construire la courbe (y — a;')* — op*' = 0, ou
Les valeurs de y ne sont réelles que lorsque x est positif. Prenons d'abord
le signe + devant le radical; la fonction y =^ x^-{-x'^ augmente de 0 à Tio-
5 J fini, quand x varie de 0 à oo . La dérivée i/' = 2a?H- -a?* part de zéro et
augmente aussi constamment, on a donc une branche infinie OD tangente en 0 à Taxe OX et qui tourne sa concavité vers les y positifs (fîg. 204).
Prenons maintenant le signe — devant le radical ; la valeur de y est positive de 0 à 4 , et négative au delà. Portons sur OX une lon- !^i gueur OA égale à Tunité, la courbe passe en
û f T\T A. La dérivée y' = 2» — ^ a?«, nulle au point
Fîg. î04. 0, est positive tant que x reste moindre que
^9 et négative quand x dépasse ce nombre; l'ordonnée MP, qui corres-
pond à ^ est maximum, et la tangente en M est parallèle à OX. La déri-
