IK

vée seconde 2 — -r- ac^ reste positive depuis 0 jusqu'à ^ , elle est né-

gative au delà ; le point N, qui correspond à l'abscisse ^ est un point

d*iaflexioD; de 0 en N, la concavité est tournée vers y positifs; au delà, elle est tournée vers les y négatifs.

Deux branches de la courbe sont tangentes au point 0 à la droite OX, sans être la continuation Tune de Tautre ; les points qui offrent cette particularité se nomment points de rebroussemerU, Dans celte courbe, les deux branches sont du même côté de la tangente. En considérant la courbe (y — x^y — JT* = 0, on aurait Jeux branches situées de part et d'autre de la tangente; la cissoîde présente à son sommet A (fig. 20) un rebroussement de cette sorte.

886 — Exemple III. Soit la courbe y = x- ( «* + ^~" ) • ^^^ suppose que

a désigne une ligne donnée ; alors Téquation est homogène et définit une courbe, à laquelle on a donné le nom de chainette, parce que c'est la courbe que forme un fil flexible pesant, dont les extrémités sont attachées à deux points fixes. /

L'équation donne des valeurs de y égales pour deux valeurs de x égaies et de signes contraires, la droite OY est un axe de la courbe. Quand x

* jf

varie de 0 à oo , le terme 6« augmente, mais le terme e~« diminue; pour

savoir comment varie y, prenons la dérivée. Ou a

Celle dérivée est positive pour toutes les valeurs positives de x; donc

quand x croît de 0 à oo , la valeur de y augmente constamment de a à oo , ce qui donne une branche infinie BG {fig. 205) ; on obtient la branche BC symétrique par rapport à OY en donnant à x des valeurs négatives.

La dérivée seconde restant positive quand x varie de — oo à H-oo , la courbe tourne sa Fig. 205. concavité vers les y positifs.

38T— Exemple IV. Construire la courbe y = ê*. Donnons à x une valeur positive très-pelite, y est positif et très-grand ; x croissant de 0 à -f- 00 , y décroît constamment de oo à 1 j ce qui donne une branche AC (fig. 206), asymptote d'une part à OY, d'autre part à la droite G'G menée parallèlement à OX et à une distance de celte droite égale à l'unité. Quand on donne à x une valeur négative très-petite numériquement, y est positif et très-petit; x variant de 0 à - oo , y croît constamment de 0 à 4 ; on a ainsi une branche OD panant de l'origine et asymptote à la droite GG'.

Cette courbe présente une particularité que nous n^avons pas encore rencontrée ; la brancbe DO s*arréte brusquement au point 0; on donne aux points de cette espèce le nom de points d'arrêt.

G Pour avoir le sens de la concavité, "g prenons d'abord la dérivée première;

X on a y' = 1 e*. Lorsque x varie de

Fig. 306. 0 à 00 , les deux facteurs -= et e' di-

minuent ; à cause du signe — , y' augmente; la concavité de la branche AC

est tournée vers les y positifs ; x variant de — oo à 0, le facteur -^ aog-

mente, le facteur e* diminue; on ne voit pas immédiatement comment varie vV la dérivée seconde va nous rapprendre. On a y" = — -^^ e'.

Quand x varie de — oo à — ^» la dérivée seconde est négative ; prenons

OP égal à â ®^ ^^^ ^ ^® po^^^ correspondant de la courbe ; Tare DM a sa

concavité dirigée vers les y négatifs; x croissant de — - à 0, y^ est positive, Parc MO est concave vers les y positifs et le point M est un point d'inflexion.

-Considérons le cas où Téquation de la courbe

n'est résolue par rapport à aucune des variables x et y; la dérivée j/ est donnée par Péquation

(2) fs{x,y) + f'y(x,y)t/ = o.

Puisque y et ^ sont deux fonctions de x; le premier membre de réquation (2) est une fonction composée de la variable indépendante de x; cette fonction a pour dérivée

comme elle est constamment nulle, sa dérivée est aussi nulle^ et Ton a Féquation

(3) fi,'^^f:^i^+f;.r+r/=o,

aû6 LIVRE IV, CHAPITRE U.

qoi donne la valem* de y. Si l'on remplace, dans cette équation, yf par sai valeur tirée de l'équation (2), il vient

C'est à Faide de cette formule que l'on détermine le sens delà concai^ité^ ainsi que les points d'inflexion.

389— Appliquons cette formule à la courbe définie n* 329. L' équation de cette courbe peut se mettre sous la forme

(I) f{x,y) = ^ [(aï* + y» + O» — 4(î*a;« — a*] = o.

On en déduit

Si Ton substitue ces valeurs d^SF la formule précédente, on obtient, après avoir réduit en tenant compte de Téquation (1),

Pour chaque portion de la courbe comprise dans Tun des angles des axes des coordonnées, le dénominateur conserve le même sîgneyi lai voleur de y' ne peut donc changer de signe que lorsque le numérateur passe par zéro. Les coordonnées des points d'inflexion doivent donc vérifier, à la< foi&réquation (1) et Téquation

on en déduit

Dans la premier eaa, lotsqim a. est plus petit que c;. le» «sieurs de x et de y donnéeft par les équatioii& (4).cA (3) éunt imagioaÎMs,, lu umiéràteiir de y'^ a le même signe pour tous les poinu.d«,ra[r6i^;,oikvéiifi6aisémeii qu'il est négatif près des points B et A, la concavité de cet arc est dirigée vers les y négatifs. Dana le second tas, a^ = e, le Buméraleur devient nul au point 0 seulement; il est positif de 0 en A» et la concavilé. de Tare ÛAeit dirigée vers les y négatifs. L'arc A'D'OGA présente au. poinL 0 un point d'inflexion. Dans le troisième cas, on a a > c; pour que les valeurs de a; et de y soient réelles, on doit avoir eo même, temps flP<c^. Lorsque a est

plus grand que c V^, le numérateur est négatif en tous les points de Tare 6A, et lu concavité' tournée vers les y négatifs; si a est plus petit que c}fî, le numérateur s'annule pour un eeHaini point 6 situé entre B et C ; de B en G, il a le même signe qu*au< point B; il est positif et la coacaviié esl tournée vers les. y positifs; de G en A le nunéraieur a le môme signe qu*a«i point A; il est négatif, et la concavité dirigée du. oôté dea y négatifs. Le point G est un point d'inflexion»