REMABQUES SUR LES COURBES ALGÉBRIQUES

S4IO — Soit^(x^ y) ==o une éqAJatioa algébrique et entière «lu degré neny;k chaque Yaleuc de x correspondent n yaleurs i\ii y qui, en général^ sont différentes les unes des autres; on démontre qu0^ quand* â? varie dfuoe manière continue, chacune de ces valeurs vacie aussi d'une naanière continue ; nous admetiroB&cethéoitèmfi comma nou3 l'ayons fait jusqu'à présent. Lorsque Té^uaiioa est irréductible, elle n'admet de racines multipksqii€^ppiiruii.nombre limité de valeurs deo?; parmi ces valeurs de x, cooaidéroas seulemienl celles qui sont réelles et supposoQS-^les^itangées par ordre de grandeur. Soient a et & deux valeurs coosée^utives^q^uand x variera de a à 6, le nombre des valeurs réelks de j^ restera le même; car si une rajcine im,aginaire devenait, réelle^ la racine conjuguée deviendrait aussi réelle, et, au moment de la transition, les deux racines seraient égales; ou obtient ainsi, dans Tintervalie considéré, un certain nombre de branches réelles distinctes et n'ayant aucun point comokun» Quand x passe par la valeur a, il peut arriver qu'une couple de racines, de réelles deviennent imaginaires ou inverseoaeat; au point qui correspond à la valeur a et à la racine double réelle^ conunencent ou finissent dans ce cas deux branches de courbes.

Pamû les valeurs réelles dey^qui correspondent à une même valeuir x^ da x, considérons-en: une y^ qjui soit racine simple ;, si l'on fait varier a: de x^ — h à a?^-t- h^ h étant suffisamment petit, cette valeur de y restera réelle sans devenir égale à une autre, et donnera naissance à une branche réelle.

Considérons mainteiimit une vdieuv xssb h lliquelie coff-* respoflide «ne. vaknr multiple y^ d'ordre p; marqjHons le point

H dont les coordonnées sont x = b,y = y^; parmi les p valeurs de y qui deviennent égales à y^ pour a? = 5, il y en a un certain nombre qui restent réelles^ quand x varie de a et b, et un certain nombre qui restent imaginaires; le nombre de ces dernières étant pair^ le nombre des racines réelles est p — 2q^ [q pouvant être nul). De même, quand x varie de 6 h c, le nombre des valeurs réelles de y qui partent de la valeur yi pour x = b est p — 2q^; de sorte que le nombre total des branches de courbe qui partent du point M dans un sens ou dans Tautre est le nombre pair 2p — 2q — aq^.

341 — Déterminons actuellement les tangentes au point H; transportons en ce point l'origine des coordonnées^ et posons ensuite y = tx; nous aurons une équation (f(Xft) = o, qui donnera les coefficients angulaires des sécantes menées du point M atix points où la courbe est coupée par une parallèle à Taxe des y. Supposons que Ton construise une seconde courbe dont Tor donnée soit t; appelons t^ Tune dés valeurs réelles de t pour a; = G, et soit N le point correspondant de la seconde courbe; à toute branche réelle de la seconde courbe passant par le point N correspond une branche réelle de la première courbe passant par le point M et tangente à la droite y = tiX. Puisque le nombre des branches de la seconde courbe qui partent du point N est pair^ on en conclut que le nombre des branches de la première courbe qui partent du point M et qui sont tangentes à la même droite y=t^x est aussi pair.

Il résulte de ce qui précède qu'une courbe algébrique ne peut pas présenter de point d'arrêt (n' 337). Elle ne peut pas présenter non plus de point saillant ou anguleux; on nomme point anguleux un point d'où partent deux branches tangentes à deux droites différentes.

34!9 — Lorsqu'on transporte Porigine des coordonnées en un point M d'une courbe algébrique^ l'équation prend la forme

(i) (Aaî + By) + (Caî»-+-Da;y-hEy»)+...=o, OU; en coordonnées polaires^

(2)(Acosw+B8in(û)p+(Ccos*<i)-hI)sina)COS<t>+Esin»a>)p*-h...===o, Supposons d'abord que Fun au moins des deux coefficients A

et B soit différent de zéro; si par le point H on mène une sécante quelconque^ l'équation (2) donnera les points où cette sécante rencontre la courbe; une seule valeur de p étant nuUe^ quelle que soit 6>^ on dit que le point M est un point simple. Pour la valeur de cd donnée par Téquation A cos <o -h B sin w = o, une seconde racine est nuUe^ et la sécante devient tangente.

Lorsque les deux coefficients A et B sont nuls^ sans que les trois suivants le soient^ deux valeurs de p sont nulles, et Ton dit que le point M est un point double. Il 7 a plusieurs sortes de points doubles : 1° Si les deux valeurs de tango) déduites de Féquation C cos'w + D sin co coso) + E sin*a) = o sont réelles et inégales» on a deux branches qui se croisent au point double et qui sont tangentes à des droites différentes (fig. 191); 2^ si cette équation a ses deux racines imaginaires, le point M est un point isolé (fig. 190).

Asymptotes.

343— Lorsqu'une courbe a une branche infinie MN (fig. 207),

il peut arriver que la distance MH d'un point M de cette courbe à une droite CD tende vers zéro, lorsque le point M s'éloigne indéfiniment; dans ce cas, la droite CD est dite asymptote de la branche de courbe.

Considérons la différence MR entre les ordonnées de

Fig. 207.

la courbe et de la droite, qui correspondent à une même abscisse, et désignons par p l'angle de la droite CD avec l'axe des

y, on a MR = ^^; on voit que, si l'une des quantités MH et

310 LIVRE IV, CHAPITaE III.

MR tend vers zéro, il en est de même de la seconde. Ob .

peot donc définir Tasymptelte une droite telle que la différence '

des ordonnées de la coûtée et de la droite ait pour limiie zéro\

quamà x 0»gmente indéfiniment.

On ne peut pas transformer ainsi la définition l^ursque Tangle

^ est nul, c'est-à-dire quand l'asymptote est parallèle à Paie

des y. Dans ce oas, si Ton mène la droite MR (fig. 208) parallèle à Taie OX, la droite MR tend vers aéro, quand 1-ordonnéc croit indéfiniment. Si Ton appelle a Tabscisse de la droite OD, l'abscisse d'un point H de la branche HN tend vers a quand y aug- F>g. 208. mente indéfiniment, ou, inversement y

croit au delà de toute limite, lorsque x tend vers a.

ASYMPTOTES PARALLÈLES A l'aXE DES y.

344— D'après ce qui précède, on obtiendra les asymptotes de celte espèce en cherchant les valeurs finies de x qui rendent y infinie. Lorsque l'équation de la courbe est résolue par rapport à y, on aperçoit en général immédiatement ces valeurs à rinspection de la valeur de y; nous pouvons citer comme exemples la cissoïde et la stropboïde, construites aux n'''' 28 et 3i. Quand Téquation de la courbe est algébrique, mais non résolue par rapport à y, on procède de la manière suivante. Soit m le degré de Téquation, n le plus haut exposant de y, on peut écrire Téquation sous la forme

9(x)y^+^{x) y"-* -H )t (x) tf"-^ 4- . . . = o,

9, ^, y, ... désignant des polynômes en x, de degrés au plus égaux à m — n, m — n-hi, m — n + 2, ..., et, après avoir divisé par y~,

Si, lorsque y augmente indéfiniment, x tend vers une limite finie a, pour une couple de valeurs dans lequel y est très-grand et X voisin de a, tous les termes, à partir du second, étant très- petits, on en conclut que Tabscisse a doit annuler lepre-

mier terme. Ainsi ie» -a<ymptoles paralUle$ à Vaœe desy sonl déterminées par l^ roeints réelks de ViquaHaa

Loorsque w tend yers a. Tune au moins des ii Taleurs de ~f

données par Téquation (i), tend vers zéro^ puisque le produit des racines est très-petit. Si a annule f (x) «ans annuler ^ {x]y

une seule des Taleurs de - tend yers zéro, et cette Taleor est

nécessairement réelle; car les racines imaginaires étant deux à deux conjuguées, quand Tune d'elles tend vers zéro^ il en

est de même de la seconde. La valeur de - considérée chan-

géra ou ne changera pas de signe^ quand x passera p»: a, suivant que a sera racine d'ordre impair ou d'ordre pair de réquation (a); Ja droite indéfinie sera toujours asymptote à deux l)ranche8 de courbe correspondant^ Tune à des valcairs de X plus petites que a, Tautre à des valeurs plus grandes. Mais lorsque ^ {x) devient nul en même temps que f {x)y il peitt

y avoir un nombre pair de valeurs imaginaires de - qui ten-

dent vers zéro, lorsque x s'approche de a, et la droite peut n'être asymptote d'aucune branche réelle; ce cas demanderait une discussion plus approfondie ; on voit aisément que, dans tous les cas, une racine simple de Téquation (f{x) = o donne une asymptote.

S4& — Exemple I. Soit la courbe déGnie par Inéquation

qui, ordonnée, s*écrit

(a?*-Haî'— 4) t—Asc (x^—i) yM-6a;* (x»— 4) î/'— 4^ (a?'— 4)î^

L'équaiion bicarrée

a deux racines réelles simples égales et de signes contraires

Gomme ces iialears de x n'annulent pas 4' ^)> chacune des droites a? = =i= a

est asymptote de deux branches réelles situées. Tune du côté des y positifs, Taulre du côté des y négatifs, et de part et d'autre de la droite.

346— Exemple II. Soit la courbe (x — 4)*y*+4 — a?*= 0. L'équa- » tion 9 (a?) = 0 devient (a; — 4)' = 0. Celte équation admet la racine double a; = 1 ; or, quand x s*approche de Punité, les deux valeurs des y sont ima. gînaires ; la droite x= \ n'est donc asymptote à aucune branche réelle.

ASYMPTOTES NON PARALLÈLES A L'AXE DES y,

34L7 — Considérons une branche de courbe infinie ayant une asymptote non parallèle à Taxe des y; une pareille asymptote a pour équation

0 et d étant deux constantes inconnues qu'il s'agît de déterminer. Représentons par y et y^ les ordonnées de la branche de courbe et de la droite qui correspondent à une même abscisse^ par 8 la différence y — y^; d'après la définition^ 8 est une fonction de X qui a pour limite zéro quand x augmente indéfiniment. La branche de courbe infinie que nous considérons est donc représentée par Téquation

(i) y = yj4-^ = ci? + d-h^.

Quelquefois on peut mettre facilement Téquation de la branche de courbe sous la forme précédente^ et alors on a de

suite Tasymptote. Soit, par exemple, Téquation y = j-j-!-j

dans laquelle f(x) et F {x) représentent deux polynômes entiers en Xy le premier du degré m, le second au plus du degré m -h l'y les valeurs finies de x qui annulent le dénominateur donnent des branches infinies ayant leurs asymptotes parallèles à l'axe des y. Il y a, en outre, deux autres branches infinies que Ton obtient en donnant à x des valeurs très-grandes, positives ou négatives. Si Ton effectue la division en ordonnant par rapport aux puissances décroissantes de x, on obtient un quotient entier cx-hd^ qui est au plus du premier degré,

et Ton a

■• 9 te)

(f x) étant un polynôme entier d'un degré inférieur à m; cette

dernière fraction tendant vers zéro^ quand x augmente indéfiniment^ on voit que la drqite y^ = cx+d est asymptote aux deux branches que nous considérons.

Nous citerons encore, comme exemple, la courbe transcendante

qui a une branche infinie dans Tangle YOX asymptote à la droite y = x.

En général, on n'obtient pas aussi facilement les asymptotes. Reyenons à réquation (i). On en déduit

Puisque d a une valeur finie et que 5 tend vers zéro quand x augmente indéfiniment, on a

(2) c = limitede-- ^ ^ X

Le coefficient angulaire de Vasymptote est égal à la limite vers

laquelle tend le rapport -9 quand x augmente indéfiniment.

La même équation (i) donne d = y — ex — 5, d'où

(3) d = lim de (y — ex).

Vordonnée à Vorigine de Vasymptote est égale à la limite de la différence y — ex, quand x augmente indéfiniment.

Ces deux propriétés servent à déterminer les asymptotes non parallèles à Taxe des y.

Supposons d'abord Téquation résolue par rapport à y, et considérons une détermination de y qui donne une branche réelle infinie. Quand x augmente indéfiniment, on prend, pour

cette branche, le rapport ^* Si ce rapport ne tend pas vers

une limite finie, la branche n'a pas d'asymptote. Si le rapport tend vers une limite finie c, on considère la différence y — ex; lorsque cette différence ne tend pas vers une limite finie, la branche n'a pas d'asymptote ; si , au contraire, elle tend vers une limite d, on aura y — ca? = d-l-^, étendant vers zéro

814 LIVBE IV, CHAPIliRE III.

quand x angmaite indéËniment; donc la droite y^=cx'hd flfflra atsymptote de la branche que Ton étud».

848— Exemple I. Construwe lawurbe

rapportée à des axes de coordonnées lectaiigiilaires. L*axe OX est axe de la courbe. Lorsque œ Tarie de 0 à Tunité, y reste finie ; elle est d'abord nulle et redevient égale à iséro ; on a ainsi la boucle OAO (fig. 209). Pour les valeurs de X comprises entre 4 et 2, y est imaginaire. Quand a; dépasse 2 d'une petite quantité, y est réelle et très-grande; -si donc on prend OB égale à 2 et que Ton mène G' G parallèle à OT, eette droite sera asymptote de deux branches de la courbe.

Si Ton fait croître x à partir de 2, f/ com> mence par diminuer et redevient très-grand quand x est grand ; on obtient ainsi les deux branches CND, C'N'D'. Lorsque x est négative, y est toujours réelle ; x variant de 0 à — 00 , la valeur numérique de y varie également de 0 & 00 , et Ton a les deux branches OE, OE'.

^^8- 209. Considérons l'une des branches infinies,

ND par exemple ; on l'obtient en prenant le signe -+- dans Téquation (1 ) et en supposant x positive et très^grande« On a

r.'lîC

la limite de - est Tunité. On a ensuite

f. /x—i \ yJx—i—y/, — ^=x 1 1/ 1 ]=x^ ^

VVX — 2 J }Jx — 2

et, en multipliant les deux termes par la somme des radicaux,

yx — 2 [yx — n- va? — 2)

'ia> limite est -; donc'la droite t/ = â; + - est asynrptote de la branche eonsidérée. En divisant par x les deux termes de la fraction, on voit que la différence y — x est plus grande que -» et, par conséquent, que Tordon-

née de la eourt>e est plas grande que celle de TMjrQptote; on en conclut que la branche ND est située au-desAus de Tasymptoie. On veirait de même que la Inrancbe OE' a pour asymptote la même droite et qu*elle est placée au-dessous. Les deux branches N'D' et OE admettent pour asymptote une droite symétrique de la précédente.

S49 — Exemple II. Considérons la courbe j/* — ^x -h ac* — 2a?*y = 0, construite au n* 331 . Nous avons exprimé les deux coordonnées a; et y à

Taide de la variable auxiliaire < = -• Les deux branches OÂ et OB, que

Ton obtient en faisant tendre i vers zéro, n*oat pas d'asymptote, puisque y

devient infini. On obtient les deux branches infinies OC et OD, quand t tend

vers Tunké. Pour ces bfanches, on a lim~ = 4; eherehoas si la difié-

rence y — x a une limite. Les formules, par lesquelles on exprime x et y au moyen de f, donnent

cette différence tend vers Tunité, quand t tend vers 1 . Il en résulte que les deux branches considérées ont pour asymptote la droite y = a; + 4.

La différence S a pour valeur 8 = ^ ' ^ ^ — ; quand t varie

de 4 à -|- 00 , la différence S est négative et la branche OD est siiuée

au-dessous de Tasymptote. Le polynôme !' + < — 4 admet pour racines

t = s^-^» <^= 3— ^î quand t varie de - à i\ 8 est négative

et Parc OE est an-dessous de l'asymptote; t variant de (' à 4, S devient positive, et Tare EC passe de Tautre côté de Tasymptote. L*autre racine f donne le point F où la branche 01 coupe Tasymptote.

3&0— Considérons maintenant le cas où Téquation^ supposée algébrique et entière^ n'est pas résolue par rapport à la variable y. Réunissons les termes du môme degré; représentons par ç {x, y) Tensemble des termes du degré le plus élevé m, par ^{x^ y) Tensemble des termes du degré m — i, par y^{Xy y) les termes du degré m — 2,..., l'équation s'écrira

(i) f{!C> y) — 9[^> y)-H'Ka;, y) +yMy y) + . . . = o. Désignons par u le rapport -> et dans Féquation (i) rempla-

cens y par tio;; le polynôme ç {x, y), homogène et du degré m

en X et y, renfermera le facteur a^ commun à tous ses termes, et Ton aura ç(^, y) = a:«<p{i, w), ou, pour abréger, ? i^f y) = ^9 (w). De même, les polynômes ^ [x^ y), x (ar, y),... deviendront a;'""*^ (w), a?"*-«x.(w), .. •• L'équation entre a? et u sera donc

j^?(w) -ha;'""*^ (w)-*-a?'""*x(w) + . . . =o; et, si l'on divise par a^,

(2) (p(t|)+i,};(tl)-h^3C(w) + .-. = 0.

Cette équation est, par rapport à u, du même degré que Téquation (i) par rapport à y; elle donne pour chaque valeur de

X les diverses valeurs du rapport ^. Quand la valeur numé-

rique de x augmente indéfiniment, si l'une des valeurs de t* tend vers une limite finie c, pour une couple de valeurs, dans laquelle x est très-grand et u voisin de c, tous les termes de réquation (2), à partir du second, étant très-petits, on en conclut que le nombre c doit annuler le polynôme ç(ti). Ainsi les coefficients angulaires des asymptotes sont des racines réelles de réquation

(3) <p(ti)=o.

Soit c Tune des racines réelles de cette équation. Posons y — cx = v, d'où M=:|==c + -. Si, dans réquation (2), on

remplace u par cette valeur, on obtient l'équation qui donne les valeurs de v pour chaque valeur de x. Après avoir fait la substitution, développons chaque terme, Téquation devient

^ic)^ + Vic}^ + ...)=o.

Mais on a ç (c) == o; multiplions tous les termes par x, réquation prendra la forme

(5) [v?'(c)H-^(c)] + Ai-f-B-V + .-. = o.

lîuand X augmente indéfiniment^ si l'une des valeurs de v tend vers une limite finie d, comme une couple de valeurs dans laquelle x est très-grand et v voisin de d rend tous les termes à partir du second très-petits^ on en conclut que le nombre d doit satisfaire à Téquation (l<p'(c) + ^(c)=o; si la quantité ç' (c) est différente de zéro, on en déduit pour d la valeur

Ainsi, dans ce cas, lorsque x augmente indéfiniment, une des valeurs de v et une seule tend une limite finie d; le raisonnement du n** 344 montre que celte valeur de t) est réelle pour les valeurs de x très-grandes^ positives ou négatives, et qu'elle donne naissance à deux branches de courbe asymptotes à la droite y^zz^cx+d.

Lorsque la valeur de c annule <{/ (c) sans annuler if (c), aucune des valeurs de v ne tend vers une limite finie, quand x augmente indéfiniment. Si une valeur de c annule en même temps (f/ (c) et ^ (c), Téqualion (4), multipliée par x*, prend la forme

Dans ce cas, en général, deux valeurs de v tendent vers des limites finies, lorsque x augmente indéfiniment et ces limites sont les racines de l'équation

Lorsque cette équation a deux racines W et d!* réelles et différentes, une seule valeur de v tend vers d^ quand x augmente indéfiniment, et donne naissance à deux branches asymptotes à la droite y ^cx -+- d'i deux autres branches sont de même asymptotes à la Fig. 210. droite parallèle y = co? -t- d".

Si, par Torigine, on mène une droite OC ayant pour coeffi-

318 LIVRE IV, CHAWTRir III.

cient angulaire e (fig. 210), la lettre v désigne la longueur MQ< pour les diverses branches de la courbe.

Sftl — Exemple. Soit la courbe y^ — y*'x-^a^ — ^ac*y = 0, constrnile au n» 334 . Oa a dans ce caa ? (u)i= u* — • u* = w'(u — • 4 ). L'équation ?(ii) = 0 a une racine triple égale à zéfro et une racine simple^ ég^le à 4 . La raoiofi simple, à laquelle correspond une valeur d égîile à 4 , donne une droite T/ = (T + 4 asymptote à deux branches réelles. La racine triple ne pourrait donner que des asymptotes parallèles à OX; mais il est évident, d'après Téquation de la courbe, qu'aucune des valeurs de y ne tend vers une limite finie, quand x auginente iodéfiaiment.

369 — Il est facile de ramener l'étude des branches infinies d'une courbe algébrique à celle des branches finies d'une coupbe algébrique du même degré. Soient x eiy les coordonnées d'un point quelconque H d'une première figure ; à ce point M faisons correspondre le point M^ dont les coordonnées xf et 2(^ sont données par les relations

desquelles on déduit inTersement

Si le point M décrit une droite Aa?-hBy4-€ = o, le point M'

décrit une droite correspondante Ca!?'+By'-hA=o, le coefficient angulaire de rtine des dt'oites étant égal à Tordonnée à Torigine de Fautre. En général^ si le pointM décrit une courbe du degré fïij le point M^ décrit une courbe correspondante du même degré; à une sécante passant par deux points voisins de Tune des courbes correspond une sécante passant par deux points Toisins de Tautre courbe, et^ par conséquent, à une tangente correspond une tangente. Nous pouvons supposer que la première courbe est rapportée à des axes tels que Té- Fi|7 m. quation renferme un terme en ^;

Eig,.21U

alors on n'obtient des branches iniinleâ qulen» faisant augmeor

ter X indéfiniment^ et toutes lès valeurs du rapport - tendent

vers des limites finies. D'apcès cela^ sii le i^nt M décrit unn branche infinie de la première courbe, comme â/ tend> vers zéro ôtV vers une valeur finie a, le point M^ décrira une bran* che aboutissant sur Taxe des g à un point Ai doni^ Fordonnée est c (fig. 21 1). On ramène de la sorte Tétude des bcanches in*finies de la;pBemière courbe à celles des branches de la sâcûndn courbe danfrle voisinage des points situés auc Taxe d^» y..

Soit A! un point où la. seconde courbe coupe Taxe des y; ap* pelons d le coefficient angulaire de la tangente en ce point;

pour un point voisin BF, on aura ^"T == rf 4-^, ^' tendant

vers zéro avec œ^; la branche A' M' de. la. secoaade courbe est donc représentée par L'équation y/ = c + dx'+^a^; à. cette branche correspond una branche infinie de la première courbe ayant pour équation y = ca? + d-f-^,. ^ tendant vers zéro quand x augmente indéfiniment; à la tangente ^ = c + dâ9^ à la seconde courbe correspond Tas jmptote j/ = ex + d à. la première. On sait q^e du point A^ partent toujours un nombre pair de branches ayant la même tangente (n*" 34i)^ lapremiëre courbe admet donc un nombre pair de branches infinies ayant la même asymptote. La tangente en A^ étant la limite de la tangente en M'^ il en résulte que Tasymptote est la limite, de la tangente au point H^, quand ce point s'éloigne à TinfinL

Supposons, par exemple^ qpe le point A^ soit un point simple ordinaire^ comme Tuidique la figure 2ll; on voit qu'à la branche A^V! correspond une branche infinie M située au-dessufi de Tasymptote vers la droite^ et à la branche A^N^ une deuxième branche infinie N située au-dessous de l'asymptate vers la gauche. S'ily avait inflexion en A^ (fig. 212)^ les deux branches infinies seraientsituées toutes deux d'un même cèté de l'asym* plotë. Tune vers la droite, Tautre vers la gauche. Dans le second cas, on ditque la courbe a un point d?infiexion à Tinfini*

Si le point A^ est un point double avec deux tangentes. différentes,, on a deux asymptotes parallèles^ à chacune desquelles

correspondent deux branches infinies ayant l'une des dispositions précédentes. Lorsque le point double A^ est un point de rebroussement, on a deux branches asymptotes à la même droite, mais vers une même extrémité.

Nous avons supposé jusqu'à présent que la tangente en A^ ne coïncide pas avec Taxe des y ; lorsque cette circonstance se présente, aux branches qui partent du point A^ correspondent dans la première figure des branches infinies dépourvues d'asymptote. La direction de la tangente au point H tend vers la direction déterminée par le coefficient angulaire c; naais elle s'éloigne à Tinfini. On donne à ces branches infinies le nom de branches paraboliques. Si le point A' est un point simple ordinaire, les deux branches infinies sont dirigées dans le même sens; s'il y a inflexion en A^ les deux branches sont dirigées dans des sens contraires.

3S3— Puisqu'à chaque valeur de x correspondent au pins m valeurs réelles de y, la première courbe admet au plus m branches infinies du côté des x positives, et m branches infinies du côté des x négatives; ceci résulte d'ailleurs de ce que la seconde courbe est coupée au plus en m points par l'axe des y. Le nombre des tangentes à la seconde courbe en ces points d'intersection étant au plus égal à m, la première courbe admet au plus m asymptotes.

Les droites menées par le point A' se transforment en droites parallèles à l'asymptote. Si le point A^ est un point simple (n^ 342), une sécante menée par ce point coupe la seconde courbe en m — i autres points; donc toute parallèle à Fasymptote coupe la première courbe en m — i points. La tangente en A' ne coupe la seconde courbe qu'en m — 2 autres points, et, par conséquent, Tasymptote ne coupe la première courbe qu'en m — 2 points; on dit que deux points d'intersection sont à l'infini. S'il y a inflexion en A^, comme la tangente coupe la seconde courbe en trois points qui se confondent en A^ (n^ 333], l'asymptote aura trois points d'intersection à l'infini, et, par conséquent, ne rencontrera la première courbe qu'en m — 3 points.

S 54— La transformation que nous avons effectuée revient

DES ASYMPTOTES. 3îi

à prendre la perspective de la figure sur un plan. Considérons^ en effet» deux figures! placées^ Tune dans un plan horizontal^ l'autre dans un plan vertical coupant le plan horizontal suivant la ligne LT (flg. îii3), et telles que Tune soit la perspective de l'autre^ Tœil étant placé au point dont les projections sont o et (/. Il est visible que, lorsqu'un point M s'éloigne à l'infini dans le plan vertical^ sa perspective M' vient sur la droite d^ parallèle à la ligne de terre; l'étude des branches infinies de la courbe

située dans le plan vertical est ainsi ramenée à Tétude de l'autre courbe dans le voisinage des points situés sur la droite olyf.

Si Ton rapporte l'une des courbes aux deux axes ox et oy, Vautre aux Fig. S13. deux axes o^od et

o'î/', on a les formules de transformation a/ = — » y' = -;^ »

dans lesquelles a et 6 désignent les dislances (td et ao. Ces formules sont précisément celles que nous avons employées précédemment; quand on fait a = b = i •

Soit A' un point où la seconde courbe coupe la droite dyf^ la tangente A^B en ce point a pour perspective la droite A^A; aux deux branches M' et N', qui partent du point A^, correspondent deux branches infinies M et N asymptotes à la droite AA^.

Lorsque la tangente en A' coïncide avec la droite oV> comme cela a lieu au point C, l'asymptote est rejetée à l'infini et les deux branches F et (y donnent naissance à deux branches paraboliques infinies P et Q; la droite menée du point o à un point de l'une des branches P et Q tend vers la direction limite oCj.

3Sft— Les courbes transcendantes peuvent couper leurs asymptotes en une infinité de points.

Par exemple, la courbe y =

3&ins

oscille indéfiniment de part et diantre

de la droite OX à laquelle elle est asymptote, poisqae la valeur de 1/ a pour limite zéro (fig. ^4 4). Les oscillations ont d^ailleurs une amplitude constante et égale à ic.

Fig. 914.

sino;*

La courbe y = oseille indéfiniment de part et d'autre de son asym-

ptote OX; mais ici Tamplitude des ouillations va en diminuant (fig. 21 5).

Fig. 316.

3ft9— Il arrive quelquefois que deux branches infinies n'ont pas d'asymptote rectiligne, et que, cependant, la différence de leurs ordonnées tend vers zéro; dans ce cas, on dit que les deux courbes sont asymptotes l*une de Tautre ; si Tune d'elles est une une courbe simple bien connue, on pourra s'en servir pour tracer l'au-

tre. Reprenons l'équation y = yj-|»

et supposons que le degré du numérateur surpasse de plus d'une unité le degré du dénominateur; le rap-

. ^,^ port - croissant indéfiniment avec

Fig. 916. ' X

Xy les branche^ qui ccwrespondent aux valeurs très-grandes de a?, positives ou négatives, n'ont pas d'asymptote rectiHgne. Si

l'on effectue la division^ on a

et les deux branches considérées sont asymptotes à la courbe

Quand n=2, cette seconde courbe est une parabole. Par exemple^ la courbe

est asymptote à la parabole y = ic« (fig. 216).

Constraetfion des eonrbes en eoordonnées polaires*

3fty— Nous avons défini les coordonnées polaires au n° 3; dans ce système un point quelconque, pris isolément dans le plan, peut être déterminé par une valeur de w comprise entre 0 et 27C, et par une valeur positive de p; cependant, on est conduit à faire varier chacune des coordonnées co et p de — qo à +«> .

Nous avons vu (n** 268) que, Tun des foyers de Thyperbole étant pris pour pôle, les deux branches sont représentées par deux équations distinctes, quand on se borne aux rayons vecteurs positifs; mais que Tune des équations suffit, si Ton admet les rayons vecteurs négatifs, en convenant de porter la valeur absolue de chacun d'eux dans la direction opposée à celle qu'indique la valeur de w. Nous avons vu aussi que cette convention permet de représenter le limaçon de Pascal par une seule équation (n* 35).

Spirale d'Archimède. Un point M se meut d'un mouvement uniforme et dans le sens 6^ G sur une droite indéfinie G^OG, qui tourne elle-^mème d'un mouvement uniforme autour de

Fun de ses points 0, la courbe décrite par le point M est la spirale d'Archimède (flg. 217).

Prenons pour axe polaire la position OX, occupée par la droite OG lorsque le mobile M passe en 0, et comptons les angles polaires positivement dans le sens du mouyement de la droite; soit a la longueur dont le mobile s'avance sur la droite, pendant que celle-ci fait une révolution entière. Si Ton considère le mobile dans Tune quelconque de ses positions après son passage en 0, en appelant 6> Tangle dont a tourné la direction OX pour venir sur OG, et p la distance du mobile au

point 0, on a, en posant — = 6,

(i) 1-=: — , ou p = a — = 6(0.

Considérons le mobile avant son passage en 0; appelons cd^ la valeur absolue de l'angle dont il faut faire tourner la direction OX pour Famener sur OG; le point M étant placé sur la direction opposée OG^ le rayon vecteur doit être considéré

comme négatif, et Ton a — ^ = — • Si Ton convient de re-

a 2ir

garder comme négatifs les angles polaires comptés dans un sens opposé au premier, on aura (ù= — w^, et la relation précédente coïncide avec l'équation (i) qui représente alors la courbe indéfinie. Les valeurs de &> comprises entre o et stt, air et 4^^, . . . , 0 et — a'Tc, . . . , donnent les spires successives.

Si l'on se bornait aux valeurs positives de p et aux valeurs de 6) comprises entre o et a-r, il faudrait une équation partîculière pour représenter chacune des spires,

Fig. 317. La spirale d'Archimède se

compose de deux parties OBiC,D,AjB,. . . et OB^EiDiF^B,. . symétriques Tune de Tautre par rapport à la perpendiculaire

Sx\ ^

'"'NX

OY à l'axe polaire. Chaque partie comprend une infinité de spires^ et les portions d'une droite quelconque menée par le pôle et comprises entre deux spires consécutives ont toutes pour longueur a.

»— Remarque I. Un même point H du plan peut être défini par une infinité de couples de valeurs de p et de «o. Si l'on appelle a l'angle positif

(t^^ "x moindre que itq que fait la direction OM

Fig. SIS. avec Taxe OX et a la distance OH (fig. 218)^ on peut prendre pour coordonnées du point H les couples de valeurs^

...( — 4''^+a,a),(--2'7r+a,a), (a, a), (27r+a,a), (4'Tc4-a,a),...

dans lesquelles le rayon vecteur est positif^ ou les couples

...( — Sir-l-a, — a), ( — 7r-|-a, — a), (-nr-l-a, — a), (3TC + a, — a), (5ir-f-a, — a)..- •

dans lesquelles le rayon vecteur est négatif. Lorsque le point M appartient à une courbe définie par une équation f (w, p) = o, ses coordonnées ne peuvent être indiquées à la seule inspection du point; il faut^ pour les obtenir^ suivre le tracé de la courbe.

3&fl— Remarque II. Dans les formules de transformation établies au livre I^ chapitre iv^ nous avons supposé le point U déterminé par un rayon vecteur positif et par un angle polaire compris entre o et 2tc. Conservant d'abord le rayon vecteur positif, on peut prendre pour angle polaire Tun quelconque des angles que forme la direction OH avec Taxe OX (fig. 219),

en convenant d'afiTecter Tangle du signe

-f- ou du signe — , suivant qu'une

droite partant de la direction OX pour

arriver à la direction OU, tourne de OX

vers OY, ou dans le sens opposé. Ceci

revient à augmenter ou à diminuer

î'ig-sio- l'angle désigné primitivement par ci>

d'un multiple de 211:; le sinus et le cosinus ne changeant pas,

les formules restent les mêmes. Supposons maintenant le

point H défini par un rayon vecteur négatif; l'angle w sera

Tua des angles formés par la direction OM^ aTec OX. La projection de OM sur OX est ( — p) X cos (tt 4- w) ou p cosco; ainsi on a encore a7 = pcosco, et de même y=:psin(o. Donc les formules sont générales.

Lorsque Taxe polaire OX^ ne coïncide pas avec OX, on définit la position de cet axe par Tangle a qu'il fait avec OX. Si, dans les formules a? =: p cosco, y --=: p sinca, qui se rapportent à Taxe polaire OX, on remplace 0) par cy-f-a, il vient a;=pcos(w^+a), y = p sin(cy + a). Supposons les axesdes coordonnées obliques,

et prenons OX pour axe polaire (fig. 22(4, on obtient les formules de transformation en projetant les deux chemins OMet OPM successi- Tement sur une perpendiculaire à OX et sur une perpendiculaire à OY, ce qui donne

psin(9 — iù) psi]

sine ^ ^ sin9

300— Remarque IIL Dans le cas où Ton obtient toute la courbe en faisant \arier co de o à 2'77, on reconnaît la symétrie par rapport à Taxe polaire OX, quand les valeurs a et 2tc — a attribuées à (o reproduisent la même valeur de p, ou quand les valeurs a et ^ — a donnent des valeurs de p égales et de signes Contraires. On reconnaît de même la symétrie par rapport à la perpendiculaire OY, quand les angles a et ir — a donnent la même valeur de p, ou les angles a et 2 x — a des valeurs égales et de signes contraires. Enfin, on reconnaît la symétrie par rapport au pôle, quand les angles a et tt + a donnent la même valeur de p.

Mais lorsque, pour avoir toute la courbe, il est nécessaire de faire varier w au delà de 27r, la symétrie peut se présenter d'une autre manière. Par exemple, s'il est nécessaire de faire varier w de o à 4^, la symétrie par rapport à Taxe polaire aura lieu si les angles a et 277 — a, ou a et 4tç — a, donnent des valeurs égales pour p, ou si les angles a et w — a, ou a et 3ts — a, donnent des valeurs de p égales et de signes contraires. Si le$ limites de &> sont plus étendues, le nombre des comparaiscwQs a taire augmente.

Considérons, par exemple, la courbe définie par Féquation p^s^ cob^*

Quand m augmente de deux fois 2it, la direction du rayon redevient la

même ; d'ailleurs, ^ augmentant de 2it, p reprend la même valeur et Ton

retrouve un point déjà obtenu antérieurement; il suffit donc de faire Tarier co de 0 à in. Si Ton augmente a» de Sic, le rayon revient à la même

direction ; mais r- augmentant seulement de n, p conserre la même valeur

numérique en changeant de signe; on en conclut que la portion du lieu donnée par les valeurs de «> comprises entre 2it et 4ic est symétrique par rapport an p61e de la partie donnée par les valeurs de o> comprises entre 0 et 2 7c ; en d'autres termes, le p61e est centre de la courbe. Pour u = a et a> = 27Ï — a, les valeurs de p sont égales et de signes contraires; on a, de la sorte, deux points placés symétriquement par rapport à la perpendiculaire OY à Taxe polaire (flg. 2S1] ; cette droite OY est un axe de la courbe.

La variable ci> allant de 0 à n, p diminue de 4 à 0, et Ton a Tare ABC Ungent au point 0 I la droite OX'. Les valeurs de tû comprises entre n et Sic donnent Tare OBÀ' symétrique du premier par rapport à OY, et les valeurs de co comprises entre Stc et 4it la courbe Â'B'OB'A symétrique de ÂBOBA' par rapport au p61e. La courbe est formée de quatre arcs égaux. L*axe polaire est aussi un axe de la courbe, ce qu*on voit directement en remarquant que Ton a des valeurs égales de p pour les valeurs a et 4fc--- « attribuées & ca.

Fig. ssi.

TANGBNTE.

3Sfl— On détermine la direction HT de la tangente au point M par l'angle a qu'elle fait ayec le prolongement MA du rayon Tecteur.

Soient p et to les coordonnées du point H^ p + Apetcd + Ao) celles d'un point voisin M^ (fig. 22a); menons la sécante MM^^ et du p6\e comme centre, avec OH pour rayon^ décrivons l'arc de cercle UN; l'angle HOM' est l'accroissement A 6) de l'angle polaire^M^N est l'accroissement Ap du rayon vecteur. Le triangle

NMM' donne

sinOM^M corde MN __ cordeMN arcMN cordeMN pAw

sinNMM'"" M'N "" arcMN ^ M'N ~ arcMN ^ Ap'

Si Ton fait tourner la sécante autour du point M^ de manière que

le point H^ se rapproche indéfiniment du point H^ la sécante MH' a pour limite la tangente MT^ la corde MN a pour limite la tangente à Tare de cercle^ et^ par suite, la perpendiculaire au rayon OA; on a donc

limOM'M=OMT' = a,

Fig. 222.

limNMM^ =

on sait^ d'ailleurs, que la limite du rapport d'un arc de cercle à sa corde est Tunité ; Téquation précédente devient ainsi

sina ..

= p lim T-

cosa ^ Ap

9 ou tanga =

lim

Ap A(i>

p^ désignant la dérivée de p considéré comme fonction de co.

On a supposé dans la figure précédente que le rayon vecteur croit avec Tangle ct>; s^il décroit, le triangle NMH^ (fig. 223) donne

sin OM^ M corde MN arcMN corde MN pA^ — sinNMM'~" arcMN ^— M'N~ arcMN ^"Âf*

les angles OM^M^ NMH' ayant pour limites a et a ; on retrouve en-

core la même formule.

Quand ct> croit, on s'avance sur la courbe dans un certain sens; a désigne Tangle que fait la tangente menée dans le sens du mouvement avec la direction déterminée par Tangle co. On voit aussi que la même formule convient au cas où le rayon vecteur est négatif.

tanga = ^ = -j^ = co.

309 — Remarque. Lorsque le rayon vecteur s'annule pour

une valeur particulière (o^ de o)^ on a une branche de courbe OC passant au pôle^ et la tangente à cette branche au pôle est précisément la droite OA donnée par l'angle co^. En effets si l'on prend un point voisin ii, et si Ton fait tourner la sécante OM de manière que Fig. »4. le point M se rapproche du point 0,

p s^annule et la sécante tend vers la direction OA.

S6S — Exemple L Spirale cTArchimède, — L^équation de celte courbe étant p = &(D (qo 357), on en déduit p' = h, d*oii

Si le point M part du pôle et s'avance sur la courbe, Tangle ta, d*abord nul, augmente constamment et tend vers un angle droit.

264— Exemple II. Spirale to^antAmigua.— On appelle spirale logarithmique la courbe dont Téquation polaire est p = oe**^, a désignant une ligne donnée et m un nombre. Supposons la constante m positive ; si Ton

fait croître co de 0 à Tinfini, p va constamment en croissant de a à Tinfini^ ce qui donne une branche iEdéfinie ABC*.*, faisant une infinité de circonvolutions au- ,tour du pôle. Si l'on fait ensuite varier <a de 0 à — 00 , p diminue constamnent et tend vers zéro, on obtient une seconde c branche indéfinie ÂB'C... qui fait une

Fig. 3S5. infinité de circonvolutions autour du

pôle, en se rapprochant constamment de ce point. Si la constante m était négative, les valeurs positives de ta donneraient la branche qui se rapproche du pôle, et les valeurs négatives celle qui s'en éloigne. On a ici

p' = mae*^ = mp, d*oti tangoi = — . On en conclut que la tangente à la

courbe fait un angle constant avec le rayon vecteur.

S6ft — Exemple III. Epicydoïde. — Lorsqu'un cercle mobile roule, sans glisser, sur un cercle û\e, un point du cercle mobile décrit dans le plan une eonrbe à laquelle on a donné le nom d'épicydoïde.

Bornons-nous au cas où les deux cercles sont égaux. Soit G le cercle fixe, G' la position initiale du cercle mobile, a le rayon; supposons que ce soit le

point de coDUct A. qui, dans le moaTement du cercle G', engendre répiq-

cloîde (fig. 226). Lorsque

fT

le cercle mobile est Tenu dans la position C, le point  est en M, les deux arcs Eâ, EM étant égaux.

Prenons le point  poar pôle^ le prolongement de ^ G A pour axe polaire; la droite AM, perpendiculaire à la tangente conmnne AN aux deux oirclés, est parallèle à CE; Fig. 996. Tangle AEN est la moitié

de AGE, et^ par conséquent, la moitié de co ; le triangle rectangle ANE donae

AN s AEsins'; mais AB = âjasin^^; on a donc

p =s 4a ftin* - = 2a (i — co6(o).

Gette courbe est un cas particulier du limaçon de Pascal {n9 36). On a ici p'ss 2asina>, d*oii tanga = tang^' et, par suite, « = ô* I^ ®^^ ^^ ^

voir que la normale à l'épicycloîde en un point quelconque M passe au point de contact E du cercle mobile avec le cercle fixe ; car l'angle MEN éunt

égal à ô' ^^ P^^ ^^^^^ ^ ^f la droite EM est perpendiculaire à MT.

S66— Exemple IY. Construction de la courbe p = 4 + cos6tt>.

Il suffit de faire varier w de 0 à Sic. Le rayon vecteur p reste toujours compris entre 3 et 5; décrivons donc du pôlecomme centre deux cercles avec les rayons 3 et 5, la courbe sera tout entière située entre 1« deux circonférences (llg, i%T).

\ y /o\ "^. ' Fig. 997.

Quand «a varie de 0 à -t p diminae de 5 à 3, oe qui donne Tare AB.

Quand co varie de - à -^^ p augmente de 3 à 5,, ce qui donne Tare BA' symétrique du premier par

rapport \ la ligne OB. L*angle 5tt a varié de la sorte de 0 à 2iî. Si Ton fait

COURBES. EN COORDONNtBS POLAIRES.

sat

fin 4it

rarier u de -=- à -^9 Tangle 5fa> variera de 2n à 4n, et les mêmes valeurs o 0

ie p se reprodoiront dans le même ordre ; on obtiendra donc on second are à'B'A" égal an premier, puis on troisième, et ainsi de suite. Après le cin* quième arc, on reviendra au point de départ.

En pienanl le dérivée» on troave tanga ae-^ g i' ■ * Aui points A et B»

on a sin5u = 0, et^ par suite, a s? ^*

aty— EuHHJi V. Les exuémités d*ttne droite de longneur consulte glissent sur deox droites reetangalaires OX, OY; d*an point fixe I, sUné tnr la bissectrice, on abaisse une perpendiculaire sur la droite mobiiei treaver le lieu dn pied 4e cette perpendiculaire (flg. tl8).

Fig. 996.

11 est évident que le lien sera symétrique par rapport à la bissectrice 01. Plaçons d'abord la droite mobile dans la position PQ perpendiculaire à la bissectrice, on a le point A du lieu. Faisons glisser la droite de manière que Vextrémlté Q descende sur Taxe des y; dans une certaine position P'Q', la droite passera par le point I qui, de la sorte, appartient au lieu; on a ainsi Tare Afil, dont la Ungente en I est per-

pendftulaire k P'Q'. L*extrémilé Q' continuant à descendre, la droite vient 8*appliquer sur OX, et l'on a l*arc IFC qui passe au point C^ pied de la perpendiculaire abaissée du point I sur OX. L*extréQiité Q glisse sor OY', et la courbe passe au-dessous de OX ; la droite arrive dans une position P"Q'' telle que Tangle IP"Q'' est droit, ce qui donne le point P' du lieu; on a ainsi Tare CGP". Si Textrémité Q" continue à descendre, la courbe revient au-dessus de OX; bientôt, dans la position P'"Q'", la droite prolongée passe en 1 ; on a ainsi Tare P"! dont la tangente en I est perpendiculaire à P'"Q"'. L'extrémité P"' continuant à se rapprocher du point 0, la droite s'applique sur OY' et Ton obtient Tare IHD, qui passe par le point D, pied de la perpendiculaire abaissée du point I sur OY. L'extrémité P'" glisse soi 0X\ et la droite arrive dans un position P"Q" telle que Tangle IP^'Q** est droit; le point P*^ appartient au lieu, et l'on a l'arc DP"". Ensuite la droite, dans la position Q* P*, devient perpendiculaire à la bissectrice OB, ce qui donne l'arc P'^ B. Si, revenant à la position primitive PQ, on fait mouvoir la droite en sens inverse jusqu'à la position finale P'Q', il est clair qu'on obtiendra une courbe symétrique de la précédente par rapport à la droite AB.

Prenons pour pôle le point I et pour axe polaire la bissectrice BA ; appelons c la distance 01 et Sa la longueur de la droite mobile PQ; la droite qui joint le point 0 au milieu de l'hypoténuse PQ du triangle rectangle POQ est égale à a; l'angle que cette droite fait avec la perpendiculaire h abaissée du point 0 sur l'hypoténuse est égal à Sco; on a d'ailleurs A=ccos(i> + p; on en déduit Téquation de la courbe p = acosSo» — c cosco.

36S— Considérons une branche infinie^ asymptote à la

droite CD (flg. 229); si Ton joint le pôle à un point M de la courbe^ et si Ton suppose que le point H s'éloigne indéfiniment sur la courbe^ la direction OH aura pour limite la direction OL de l'asymptote. Ainsi, lorsque le rayon vecteur p devient infini pour une vao^\ / ' X . leur particulière a de w, si la branche

infinie ainsi obtenue a une asymptote, Fig. 239. cette asymptote est parallèle à la di-

rection déterminée par l'angle a qui rend p infini. Pour avoir la distance OC de l'asymptote à la droite OL^ du

point H de la courbe abaissons une perpendiculaire MK suilcette droite; le triangle rectangle HOK donne

MK = OH sinKOM = p sin (a — a>).

Si le produit p8in(a — a>) ne tend vers aucune limite^ la branche infinie n'a pas d'asymptote. Si^ au contraire* ce produit tend vers une limite finie dy la branche de courbe admet pour asymptote la droite CD^ située à la distance d du rayon OL; car la distance MK ayant pour limite d, la distance MH aura pour limite zéro.

Lorsqu^on obtient la branche infinie en faisant croître a> Ters a, il est évident que, si cette branche a une asymptote^ Tasymptote sera placée par rapport à OL, comme l'indique la figure. Si Ton obtenait la branche infinie en faisant diminuer iù Ters a, Tasymptote serait placée de l'autre côté de OL et sa distance à OL serait la limite du produit p sin (ai — a).

Nous avons supposé la branche de courbe donnée par un rayon vecteur positif; si elle était donnée par un rayon vecteur négatif, on aurait, dans le premier cas, MK =— p sin (a — w), dans le second cas, MK = — p sin (w — a).

360 — ^Exemple Y. Hyperbole, — L^équation polaire de cette courbe est

^COSCd

f dans laquelle e est plus grand que 4. Soit a

rangle dont le cosinus est ; quand

tù croit de 0 à «» p crott de

àoo,

et l'on a la branche înGnieAE; o) variant de a à ic, pdevient négatif et varie de — oo

à ^f ce qui donne la branche in-

finie E'lk\ Les valeurs de w, comprises entre ic et Sk, donnent deux branches symétriques des précédentes par rapport à l'axe polaire.

La disunce MR d*un point de Tune des branches ÂE, A'E' à la droite OLest

Fig. S30.

MK = P ^^" (^ "^ ^) __ p sin (g — tù) psin(« — co) ^

H-fCOSOi /l , \ 6(C0SC0 — COS«)'

«l--f-coswj ^ '

irtBflfonnaiil e» un produit It différence eM<»--->cos«» remplaçant sin(a^»)

par 2sin — s"-co8 — ç— » et supprimant le facteur commun 'sin — 3—»

a — ci> pcos

6sm

Cette disUBce a pour limite OC «s ■ v-"> et Ton ob^nt ainsi TaiTroptote

CD. L'asymptote des deux autres branches est placée symétriquement par rapport à Taxe polaire.

L*eicès de la distance MK sur sa limite a pour expression

coB — -— \ âsinacos asm

= rX

e\ . a+« sina / c . . a-f-w

sin / asiaasin-— ^

si Ton remplace le produit 2 sin a ces --^— par la somme

. 3a — (ù . a-f-co

sm h sm ■■ '■ »

il vient

. 3a — (ù . a-HG)

giû -— .— sm -;

J = ÇX 2 ^;

c * . a-hw

ssmasin

si Ton trasnforme ensuite le numérateur en un produit, on a finalement

a — cù , iù — a p sm cosa p sm

e sm a sm e* sma sin

Quand (*> varie de 0 à a, la différence S est négative ; ainsi la branche AE est comprise entre les parallèles OL et CD. Mais, quand co varie de a à tt, la différence d est positive, et la branche E'Â'est située en dehors des parallèles.

SYO—ExsMPLE VI. Strophcfide oblique. — Dans la construction de la strophoïde droite, telle que nous l'avons donnée au n<^ 34 , nous supposions les droites OX et OY rectangulaires; supposons maintenant que ces droites fassent entre elles un angle 0 (fig. S34); par le point fixe A placé sur Tune

l*ellesy on mène une sécante quelconque ÂD^ sur laquelle on ^rewl à partir du point D des longueurs DM et DN égales à DO, et on cherche le lieu des points M et N.

Quand la sécante tourne dans Tangle obtus XOY jusqu'à détenir parallèle à OY, le point M décrit Tare OMB, terminé au point B sur la perpendiculaire OB à OY; le point N décrit la branche infinie ON. Si Ton prend une distance OG égale à OÂ, et que par le point G on mène une parallèle H'H à OY, on a Tasymptote de la branche ON; car Toblique NF égale à ÂM ayant pour limite AB, la distance du point N à la droite pjg «291. ^ P^^^ limite zéro.

Faisons maintenant tourner la sécante dans Tangle aigu XOY'; la perpendiculaire élcTée sur le milieu de OA coupe OY' en un point C, tel que Ton a CA = GO ; quand la sécante occupe la position AC, Tun des points vient en A et l*autre en E ; ainsi, la sécante tournant de la position AO à la position AC, on a Tare OM' A tangent en A à la droite AC, et Tare OE. La sécante continuant son mouvement, la droite OD' devient plus grande que AD' pu que D'F' et le point N' est situé au delà de Tasymptote ; on obtient la branche infinie EN' et Tare AM'^B qui se raccorde en B avec Tare OMB. Il est aisé de voir que les tangentes au point 0 sont les bissectrices des an« gles formés par les droites OX et OY.

Si Ton prend le point 0 pour pôle, la droite OX pour axe polaire, que Ton appelle a la distance OA et 0 Tangle YOX, les angles DOM et DM0 étant égaux h •«««-(o, et Tangle OAD k 0—2«», le triangle OMA donne la relation

, . asin(9 — ijù)

*'^ P sin(6 — 0))

On retrouve facilement à Taide de Téquation les propriétés que nous avons dédattes de la définition géométrique de la courbe.

Quand on prend la droite OY pour axe polaire, Téquatiou de la courbe devient

__ osin(2o>-h6) sinw

S Tl -^Exemple VII. Trouver le lieu des points de contact des Umgentes menées d^un point donné P aux diverses courbes du second degré aya^U pour foyers deux points donnés F et ¥',

Prenons pour axes la droite F' F (fig. 232) et la perpendiculaire élevée à cette droite en son milieu; Téquation générale des coniques ayant pour foyers les points F et F' est

c désignant la distance OF et a un paramètre variable; lorsque a est

plus grand que c, la courbe est une ellipse, y" et lorsque a est plus petit que c, c^est une hyperbole. Soient a, p les coordonnées du point donné P ; Téquation de la corde des contacts des tangentes menées du point P à la conique (4) est

Fig. â32.

On obtient Téquation du lieu en éliminant le paramètre a entre les équations (4) et

(2). Si Ton retranche ces équations membre à membre, il vient

d'où

ic'4-y* — eux — Py'

tf

ic' H- y* — OLX — Py '

en substituant dans Téquation (4), on obtient l'équation du lieu

(3) (a?*-!- y»-- aa? — (3y) {^x — ay) 4- c» (a; — a) (y — P) = o.

Le lieu est du troisième degré^ il passe par le point donné P, par les foyers F et F'^ et par les projections du point P sur les droites OX, OY.

Si Ton transporte les axes parallèlement à eux-mêmes au point P, Féquation du lieu devient

(4) (a;*4-y'+aaî + py)(pic — ay)4-c'icy = o.

Si Ton transforme celle-ci en coordonnées polaires en prenant pour pôle le point P et pour axe polaire la droite PX', on a

{5\ — (^*+ P* — «*) sin2(t) 4- 2apcos2fa> ^ â(asin(o — Pcosto)

A Taide des aogles auxiliaires 9 et fi déterminés par les formulei

P ^ 2aP

tongç

tangçj =

sin(w — ç)

celte équation prend la forme

(6) p = — ^-^ iii.

la lettre d désignant la quantité

SiFon fait tourner Taxe polaire de Tangle 9, Téquation (6) devient identique I réquation (2) de la strophoîde oblique (a« 370).

L*angle f éUnt égal \ PDA, Tasymptote est parallèle à la droite OP. Parmi les courbes homofocales considérées se trouvent une hyperbole et une ellipse passant par le point P; on en conclut que le point P appartient aa lieu et que les tangentes en ce point sont les bissectrices PQ, PQ' des angles formés par les droites PF et PF'. La strophoîde est définie par deux droites PE, PI et un point I sur Tune dVUes. Nous connaissons la droite PE; on obtiendra la droite PI en remarquant que la tangente PQ est bissectrice de Tangle EPI ; on obtiendra le point I à Taide de Fun des points du lieu, par exemple du point A ; la droite I A doit être telle que Ton ait KA = KP; le point K est donc le point milieu de la diagonale OP.

La courbe précédente est aussi le lieu des pieds des normales menées du point P aux courbes du second degré qui ont pour foyers les points F et F'; car, une ellipse et une hyperbole homofocales se coupant à angle droit, la tangente ^ Tune est normale à Tautre.

%1% — Exemple VIII. Construire la courbe donnée par V équation

La valeur de p s*annule pour «o s= 0, et devient infinie pour tû=s -•

menons par le pôle k droite L'L»

qui fait avec Taxe polaire Tangle

dont la mesure est ^ (fig. 233).

Lorsque w varie de 0 à 3» p est né-

gaiiPet varie de Oà — 00, on aune branche infinie OA'B', tangente à Taxe polaire et comprise dans Tan-

338 mm IV, GHAPITRB IV.

gle X'OL'. Quand a> dépasse - et croît de ^ ^ <» » P devient positif et décroît

de 00 à a, on obtient aipsi uiie premiers branche iqfioiQ AB, puis une seconde ÂE qui fait une infinité de circonyolutions autour du cercle décrit du pôle comme centre, ayec a pour rayon, en se rapprochant constamment du cercle. Quand <•> varls de Q k — ?Ç i P reste poj^Hi^ ^t va en croissant de 0 à a, ce qui donne la branche OE' intérieure au cercle ; cette branche fait une inanité de circonvolutions en se rapprochant constamment du cercle.

Considérons Tune des branches infinies A'B', 4B; la distance MP d'an point de Tune de ces branches k I^ droite L'L ^ pour expression

, . sin f (0 j

sin ( CD — il =2 a 6) ^ — ;

la limite de celte cjuantité, lorsaue (o tend vers -, est -• Les deux branches

A'B'y AB ont donc pour asymptote la droite CD, distante de L'L de ^- Si Ton pose ps^^â"^^'» l'excès dç la distance HP sur sa limio ^st

L9 parenthèse s'annule pour w'= 0; sa dérivée première s*annu1e aussi, mais sa dérivée seconde a une valeur positive; si l'on fait crof ire a>' à partir de zéro, on en conclut que la dérivée première commence par croître, el, par suite, est positive, et de même la parenthèse ; ainsi la différence 8 est positive pour des valeurs positives de to' suffisamment petites. On reçonoaît de la même manière que la différence ô est négative pour des valeurs négatives très-petites de «', ce qu'on voit d'ailleurs directement ; ainsi les deux branches infinies sont situées par rapport à Tasymptote, comme l'indique la figure ; il est éyident, çn outre, que cette asymptote est coQpée par la co^rbe en nombre infini de points.

31S — Exemple IX. Construire la courbe

__ 2sino) — I

SIDCt)

Le rayoA vecteur reprenant la même valeur quand <•> augmente de ïr., il

suffit de faire varier w de 0 à 2ir. Pour que le rayon vecteur çoit réel, il

aut que la fraction placée sous le radical soit positive. Le numérateur

change de signe pour les valeurs ^, — attribuées à w, le dénominateur

lonr les valeurs 0 et «; en rangeaDt ces ugles par ordre de graadeor

m Yoit que la quantité placée soas le radical est négative de 0 k -9 positive

le - âi —9 négative de -g- k ic« positive de ic ^ 2ic; on obtiendra donc

onte la courbe, en faisant varier w de - à —9 et de n à 9ic. On remarque

d*ailleurs qae les valeurs supplémentaires de a> reproduisant les mêmes valeurs de p, la courbe est symétrique par rapport à la per-

)f^vj?^ — ' pendiculaire OY à Taxe polaire OX

ik^/ ^ (fig.234).

^v^ ^' '' I ' Du pôle comme centre, avec un

rayon égal ^ T Unité, décrivons

/ un cercle ; ce cercle divisera' en|

deux parties égales chacune des

cordes qui passent par le centre ;

quand co varie ^^ ë ^ 3* '^ valeur du radical, que nous désignerons par pi,

en posas! p s 1 ±: p,, croit de 0 k 4, ce qui donne les deux arcs AB et AO, qui se raccordeai au point A, tangentrellement k la droite OA ; Tare

AO est tangent au point 0 ^ la droite OY. En faisant varier (o de ^ à -^9

on obtiendra Tare BA'O^ symétrique de BAO par rapport à la droite OY.

3îc /—

Quand co varie de n à —9 pi décroît de « k v3: ce qui doana les deux

brancbea infinies EF et CD; en faisant varier &> de -^ à âit^ on obtiendra

les deux branches FE'» DG'» symétriques des précédentes ; ces branolies infinies sont asymptotes \ Taie polaire.

374.^Rbharque. La distance \ariable MK d'un point M d^une branche infinie (flg. 229} à la direction OL, pour laquelle p devient infini^ a pour expression

it:psin(<i) — a);

quand td s'approche de a, le premier facteur croit indéfiniment et le second tend vers zéro. Dans les exemples précédents, on a pu découTrir sans peine ce que deyient ce produit pour des

valeurs de w voisines de a; lorsque la difficulté est plus grande,

on a recours à la règle suivante.

Le produit peut s'écrire

sin (w — a) ^ p (ù — a * 0) — a

Le premier rapport a pour limite l'unité; si Ton considère -

comme une fonction de w, le numérateur du second rapport est

Taccroissement de -» quand l'angle polaire passe de la valeur

P aà la valeur <ù; le dénominateur étant Taccroissement de Tangle,

le rapport a pour limite la valeur de la dérivée de -» considérée

comme une fonctionde co, quand on y remplace w par a. Lorsque cette dérivée est nulle, la branche considérée n'a pas d'asymptote; si la dérivée a une valeur d différente de zéro, la branche a une asymptote, située à la distance -j de la droite OL.

EXERCICES

4* Trouver le lieu du sommet d'une parabole variable qui a un foyer fixe et qui touche une conique du même foyer (conchoîde).

^ Trouver le lieu du sommet d*on triangle variable, dont la base a est fixe, et dont les deux autres côtés 6 et c et la médiane correspondante m vcrifient la relation 6— c = my3.

3*^ On donne un point ûxe 0 et une droiie 6xe OP; on demande le lieu du sommet M d'un triangle variable MON qui remplit les conditions suivantes : le côté ON a une longueur constante o, le côté NM = a \/ï, enOn les angles vérifient la relation cos (MON — 20MN) = cosMOP (lemniscate); démontrer que la tangente en un point quelconque M du lieu passe au centre du cercle circonscrit au triangle qui a donné ce point.

4" Le triangle ÂBG est inscrit dans un cercle donné, le sommet  reste fixe etTangle  constant; on demande le lieu du centre du cercle inscrit dans le triangle ABC (limaçon).

5* Trouver le lieu du soinmet d*un angle constant dont les deux cutés sont tangents à deux circonférences données (limaçon).

6® Trouver le lieu des foyers des paraboles qui ont une corde commune et une tangente commune, parallèle à cette curde.

7* On donne un cercle fixe, un cercle vnrlable touche le premier en nn

point fixe; on demande le lieu da point de contact sur ce dernier cercle de la tangente commune aux deux cercles.

8® Trouver le lieu du sommet ou du foyer d'une hyperbole équilalère» dont le centre est fixe et qui passe en un point fixe.

9* Trouver le lieu du centre d'une hyperbole équilatère donnée, assujettie à passer par deux points fixes.

40* On donne un angle droit YOX, et un point fixe P sur la bisseciriee de cet angle ; on demande le lieu du pied de la perpendiculaire abaissée du point P sur une sécante variable qui intercepte dans Tangle un triangle dont Taire est constante.

44* En un point quelconque M d*une parabole on mène la normale que Ton prolonge jusqu'au point N oh. elle rencontre Taxe ; on demande le lieu du point de rencontre de la tangente en M à la courbe avec la perpendiculaire à Taxe au point N.

43* On remplace la parabole du problème précédent par une hyperbole; on prend le point N sur Tun des deux axes de la courbe ; trouver le lieu.

4 3* Une parabole tourne autour de son foyer ; on demande le lieu des points de contact des tangentes menées parallèlement à une droite donnée.

4 4* Trouver le lieu du point milieu d'une corde normale ^ une hyperbole donnée.

45* Étant donnée une ellipse, le centre d'un cercle de rayon constant parcourt un diamètre de Tellipse ; trouver le lieu des points de concours des sécantes communes au cercle et à Tellipse.

46* Étant donnée une hyperbole équilatère^ le centre d'un cercle^ qui passe constamment par le centre de Thyperbole, décrit une asymptote; trouver le lieu des points de concours des sécantes communes.

47* Lieu des points de contact des tangentes menées d'un point donné anx cercles qui touchent une droite donnée en un point donné.

48* Lieu des points de contact des tangentes menées d'un point donné aux cercles qui passent par un point donné et qui touchent une droite donnée.

4 9* Trouver le lieu des milieux des cordes inscrites dans une hyperbole donnée et tangentes à un cercle concentrique k Thyperbole.

20* Construire les lieux représentés par les équations

y* — a;*-f-2aa:'y = o, x^-hy'' — 2ay' — 2bx^y = o,

(x*-+- y*)* — 6axy* — 2aaî'-h aa'x' = o, y = a -f- 6 {x — c)"*,

y* — ic* — 2bxy^^2ax^=o, y^ — a;*— 2jî'î/*4- 2a; = o,

?/*— a?* — 96a*y'-f- iooa*x' = o, 2x^ — if-^iv — a7)*=o.

Un système est semblable à un système donné, lorsqu'il est égal à Tun des systèmes homothéiiques au système donné.

PROPRIÉTÉS DES FIGURES HOMOTHÉTIQUES

3yy — Puisque les droites OA', OB^ sont divisées en A et B dans le même rapport^ la droite A'B' est parallèle à AB, et Ton a

AB OA , A'B'""(yA'"~

Ainsi la droite qui joint deux points A et B du premier système et celle qui joint les deux points homologues A' et Bf du second système sont parallèles, et dans le rapport constant k.

Soient A, B, C trois points en ligne droite, les droites A^B^, A^C^ respectivement parallèles à AB et à AC coïncident; doue, quand trois points sont en ligne droite^ leurs homologues sont aussi en ligne droite. Il en résulte que la figure homothétique d'une droite est une droite parallèle à la première. Si la première droite passe par le centre de similitude, les deux droites coïncident. Les droites homotbétiques étant parallèles, on voit que Vangle de deux droites est égal à l'angle des droites homothétique.

Les cordes qui joignent les points homologues de deux courbes homotbétiques, étant parallèles, tendent, lorsque les deux points d'une même courbe se rapprochent indéfiniment, vers des directions parallèles; on en conclut que les tangentes à deux courbes] homothéiiques aux points homologues sont parallèles.

378 — Si deux systèmes sont tels que les droites menées d'un point I aux différents points du premier système et celles menées d'un point V aux différents points du second soient respectivement parallèles et dans un rapport constant k, ces deux systèmes sont homothéiiques. En effet, prenons sur VI un point 0

tel que Ton ait jr|j = A, les deux rayons OA, OA' sont en ligne

droite et dans le rapport constant k; donc les deux systèmes sont homotbétiques et le point 0 est le centre d'homotbétie.

STO — Deux systèmes homothéiiques à un troisième sont homothéiiques entre eux.

DE LA SMILITUDE.

Cette propriété ndos servira pont là définition générale de la similitude.

DÉtlNltldK tlK LÀ StlttLlttDÈ.

Sif O— Soit un système quelconque de points A, B, C, . . . ,

situés dans un plan; ceè points pouvant être isolés les uns des autres^ ou former des lignes continues; d'un point 0^ pris arbitrairement dans le plan> Ine^ nous aux différents points du système des rayons OA , OB, OC^ . . . , et prenons sur ces rayons des points A^ B^ C^ . . < tels ()ue Voh ait