OA OB 0C

le système des points ainsi obtenus est dit semblable

Fig.236.

au système proposé el semblablement placé.

Si les points A', B', C, . . . étaient pris sur les prolongements des rayons vecteurs en sens inverse^ les deux systèmes seraient semblables et inversement placés.P3.r une rotation de i8o degrés autour du point 0^ le second système coïncide avec un des systèmes semblables et semblablement placés.

Pour abréger le langage^ M. Cbasles a désigné cette similitude de forme et de position par le nom d'homothélie, directe dans le premier cas, inverse dans le second. Le point 0 est dit centre de similitude ou d'homothétie des deux systèmes, le nombre k est le rapport de simililude^ et on appelle points homologues les points A et A^ |)lacés sur un même rayon. Si Ton fait varier le rapport A de o à oo et aussi la position du centre 0 de similitude, on obtient tous les systèmes homothé* tiques au système proposé.

dindes, ellei èont auêsi hômotkëiit[ueè imerséê, et réetpro' qmment.

Soient C et G led centres des figures (fig. 238), A et A' deux points homologuer ; prenons dur le prolongement de G'A^un poirit A{ tel que C'A^ = C'A^, le point Ai appartient aussi à la

seconde figure; or, p^— -, = *,- donc r^r-^==*; puisque les

rayent homologue^ CA et C' A( sont dirigés en sens contraire, les deux courbes sont homothétiques inverses.

Fig. »tt.

11 en résulte que les deux figures ont deux centres de similitude, Tun direct 0 placé sur le prolongement de la ligne des centres, l'autre inverse oii interne 0' placé dans l'intervalle CC^

Lorsque trois figures à centre sont homothétiques deux à deux, elles ont trois centres de similitude directe et trois centres de similitude inverse. Les trois centres de similitude directe sont en ligne droite; de même, deux centres de similitude inverse et un centre de similitude directe sont aussi en ligne droite.

âSii — Les côtés homologues de deux polygones holnothétiques ayant constamment pour rapport le nombtëft, leurs périmètres sont dans le même rapport; ainsi le rapport des périmètres de deux polygones homoihéliques est égal au rapport de similitude.

Si Ton abaisse de deux sommets homologues de deux triangles homothétiques des perpendiculaires sur les côtés opposés, ces perpendiculaires seront des droites homologues dans les deux systèmes, leur rapport sera égal à A, et, par suite, le rapport des aires des triangles sera égal à k^.

En décomposant deux polygone^ homothétiques en triangles

DE LA SIMILITUDE. Ml

homotbétiques deux à deux, on Toît que le rapport des aires des figures est encore égal kk-} ainsi h rapport des aires de deux polygones homothitiqueê $$t égal au carré du rapport de simililtide^

Les deux théorèities précédents s'ét^ident à dés figures planes^ terminées par des contours homothétiques quelconques.

S S3— Exemples. On a tu que Ton obtidut touteëlés courbes

homotbétiques à une courbe donnée S^ avec tin Seul centre de

similitude 0^ pris à volonté dans son plan. Considérons divers

exemples :

1* La courbe S est un cercle. 8i Ton prend le centre du

cercle pour centre de similitude^ là se<iôndè courbe sera un cercle^ dont le t&^àn pourra avoir telle grandeur que l'on voudra.

2° La courbe S est une parabole (fig. 239].

La courbe étant rapportée à son axe et à la

tangente au sommet^ les coordonnées x et

y d'un point quelconque M de cette courbe

Fig. 239. vérifient Péqualion y'=2px. Si Ton prend

le sommet pour centre de similitude et que Ton appelle x'

et i/ les coordonnées du point homotbétique M^ on aura

-j = yp=. -jjp = A, d'où X = kx^, y = ky^; la courbe homo-

thétique est représentée par l'équation y^^ = ~^x'; c'est une

parabole^ dont le paramètre peut avoir telle grandeur que l'on voudra à cause du rapport arbitraire k; on en conclut que deux paraboles quelconques sont semblables,

3® La courbe S est Tellipse — -h ^^ =sn i . Si Ton prend le

centre de la courbe pour cet)tre de simiiilude^ la courbe bomoihétique^ représentée par Téquation

est une ellipse, dont les axes peuvent avoir des valeurs quelconques proportionnelles à celles des axes de la première

ellipse. On en conclut que detix ellipses sont semailles lorsque leurs axes sont proportionnels.

Le même théorème a lieu pour Phyperbole.

4* La courbe S est la spirale logarithmique p=ae"^. Quand on prend le pôle pour centre de similitude^ les courbes bomo-

thétiques ont pour équation p = — r— ; si Ton pose k = e'^^,

cette équation devient p = aé^^-^^; elle représente la spirale proposée^ que Ton a fait tourner de l'angle et autour du pôle. Il en résulte que la seule courbe semblable à une spirale logarithmique est cette spirale elle-même; à un premier point H de la courbe correspond un autre point M^ de la même courbe^ et Ton peut prendre ce point H^ à Tolonté^ à cause du nombre arbitraire k.