ÉQUATION DES COURBES HOHOTHÉTIQUES
3SS— Soit
réquation d'une courbe S. Prenons
Torigine pour centre de similitude
X et construisons avec le rapport k
une courbe S^ bomothétique à la
première. Si Ton désigne par x et
y les coordonnées d'un point quel-
Fig. 346. conque M de la première courbe,
par x' et y^ celles du point homologue M' de la seconde, les
triangles semblables OPM^ (yPVH donnent
si Ton substitue dans l'équation (i)^ on a l'équation
(2) fikx^, ky^) = o,
qui représente toutes les courbes homo thétiques à la courbe proposée et ayant Torigine pour centre d'homothétie. Dans cette équation, on donnera à k une valeur positive lorsque rhomothétie sera directe, une valeur négative lorsque l'homothélie sera inverse.
Laissant âxe la courbe S^ transportons la courbe S^ dans le plan^ de manière que Torigine 0 vienne en (K (p, q), et que les axes restent parallèles à leur position primitiye; la courbe & a pour équation^ par rapport aux axes OX^ et (VY^
e\y par rapport aux axes fixes OX et OY,
(3) f[k{x-^p), ft(y-g)]=o.
Dans cette nouvelle position^ la courbe S' est homothétique à la courbe S ; car les rayons vecteurs menés des points 0 et (V sont parallèles et dans le rapport constant k. L'équation (3) représente donc toutes les courbes homothétiques à la courbe proposée^ quelle que soit la position du centre de similitude.
3S4 — En même temps que nous transportons Torigine en (y, faisons tourner les axes de l'angle a; la courbe S' occupera alors une position quelconque dans le plan et sera simplement semblable à la proposée. La courbe S', rapportée aux axes mobiles CX' et (y Y', a pour équation f(ka/, ky^) = o; au moven des formules de transformation.
oc! = (x — p) cosa -f- (y — q) sina, yf^z — [x — p) sina-h (y — q) cosa,
les axes étant supposés rectangulaires, on obtient Téquation de la courbe par rapport aux deux axes fixes OX et OY. Cette équation représente toutes les courbes semblables à la proposée.
3 SS— Comme application, cherchons les conditions pour que deux courbes du second degré
Aj?«-+-Baîy + Cy*+Da? + Ey-HF=o, A'a:*+B'a;y-i-C'y -f-D'y-f-EY4-F=o,
soient homothétiques. L'équation générale des courbes homothétiques à la première courbe est (n* 383)
î'-h BA'jîy + CkY — (Bt'q -f- 2 A**p — Dft) a: — (BA«p -h iCk^q — EA)y (Aft*p^-f-Bft'pq-hC^V/^ — Dfrp — Et<3f-f-F) = o.
Ea identifiant cette équation avec la seconde, on a
A''^B' — g/— îv W
•5r^an«"^^
^■^yy^^^w^i^— ^^■»^— ^^^»*»«
L'élimination des trois paramètres p, q, k, entre ces cinq équationSi donna deux équations de condition; or^ les deux
premières équations -^ = ^ = — » ne renfermant pas les paramètres à éliminer, sont précisément les deux équations de condition. Donc, pour qtie deux courbes du second degré soient homoihétiques, il faut que les coefficients des termes du second degré soient proportionnels,
386 — Il reste à examiner si les valeurs des paramètres p, q, k sont réelles et finies; on évite cette discussion de la manière suivante. Puisque les coefficients des termes du second degré sont proportionnels, on peut les rendre égaux en multipliant tous les termes de l'une des équations par un facteur convenable; prenons donc les deux équations sous la forme
(4) Aa;*+Ba;y-hCy»4-D x-hEy-hF =o,
(5) Ax^+Bxy + Cy^-hiyx-hWy'hV^ — o.
Nous distinguerons plusieurs cas suivant le signe de la quantité B« — 4AC.
1* B* — 4A.C = o. Les deux lieux sont du genre parabole; si ces lieux sont effectivement deux paraboles, ils sont certainement semblables, puisque toutes les paraboles sont semblables; de plus, les axes des deux courbes, ^T^nt le même coeffiicient
angulaire ^» sont parallèles, et, par suite, les courbes sont
homothétiques.
2« B* — 4AC <o. Les lieux sont du genre ellipse. Si, pour chaque courbe, on transporte les axes parallèlement à euxmêmes au centre de la courbe, les équations (4) et (5) de-
Laissant fixe la courbe S, transportons la courbe S^ dans le plan, de manière que Torigine 0 vienne en (V (p, q), et que les axes restent parallèles à leur position primitiye; la courbe S' a pour équation, par rapport aux axes (KX' et (yY^
et, par rapport aux axes fixes OX et OY,
Dans cette nouvelle position, la courbe S' est homothétique à la courbe S ; car les rayons vecteurs menés des points 0 et (V sont parallèles et dans le rapport constant A:. L^équation (3) représente donc toutes les courbes homothétiques à la courbe proposée, quelle que soit la position du centre de similitude.
3S4 — En même temps que nous transportons Torigine en (y, faisons tourner les axes de l'angle a; la courbe S' occupera alors une position quelconque dans le plan et sera simplement semblable à la proposée. La courbe S', rapportée aux axes mobiles (VX' et (VY', a pour équation f(kaf, W) = ^l ^^ moven des formules de transformation,
x^ = (x — p) cosa -h (y — q) sina, l/=— (a: — p) sina H- (y — g) cosa,
les axes étant supposés rectangulaires, on obtient l'équation de la courbe par rapport aux deux axes fixes OX et OY. Cette équation représente toutes les courbes semblables à la proposée.
3 S5— Comme application, cherchons les conditions pour que deux courbes du second degré
Aaj«+Ba?y+Cy»-hDa:-l-Ey-hF=o, A^x^+B/œy-hCy -f-D^y + E'y'-hF=o,
soient homothétiques. L'équation générale des courbes homothétiques à la première courbe est (n* 383)
:»x*+ Bk*xy + Cky — (Bft'g -h 2 AA*p — Dft) a: — (Bk^p -^ 2C**g — E*)î^ + (A* V -+- B*'P9 -+- CfcV/^ — DÂ-p -^ Etqf -+- F) = G.
Eo identifiant cette équation avec la seconde, on a
A B C -»g-»AP-^F-~°P~'^^g~^f
L'élimination des trois paramètres p, q, k, entre ces cinq équationsi dopne deux équations de condition; or^ les deux
premières équations t/ = 57 ^Tv' °6 renfermant pas les pa-
ramètres à éliminer, sont précisément les deux équations de condition. Donc, pour que deux courbes du second degré soient homolhétiques, il faut que les coefficients des termes du second degré soient proportionnels.
3S0 — Il reste à examiner si les valeurs des paramètres Pf qy k sont réelles et finies; on évite cette discussion de la manière suivante. Puisque les coefficients des termes du second degré sont proportionnels, on peut les rendre égaux en multipliant tous les termes de l'une des équations par un facteur convenable; prenons donc les deux équations sous la forme
(4) Ax^-hBxy-hCy^-hh x-hEy-h-V =0,
(5) Aa?»-HBa:y+-Ci/«-+-iya?-hE'y4-F^=o.
Nous distinguerons plusieurs cas suivant le signe de la quantité B* — 4AC.
1* B* — 4A^C = o. Les deux lieux sont du genre parabole; si ces lieux sont effectivement deux paraboles, ils sont certainement semblables, puisque toutes les paraboles sont semblables; de plus, les ases des deux cpurbes, ^yant le même coefficient
angulaire k» sont parallèles, et, par suite, les courbes sont
homothéliques.
2^ B* — 4AC <o. Les lieux sont du genre ellipse. Si, pour chaque courbe, on transporte les axes parallèlement à euxmêmes au centre de la courbe, les équations (4) et (5) de-
Tiennent
he^ axes d^g courbQSji dopt le^ directions sont déterminées
B par 1- équation tangâa2=7— n {n^ i4o)> «ont parallèles. Si
Toa fait tourner les axes des coordonnées de l'angle a, les équations (6) et (7) se réduisent à la forme
(8) Ma?<-+-Ny«-}-F, ==0,
(9) Î4a?«-l- Ny»-hF\ = o.
Les fioef&eîents M et N^ dont les valeurs sont donaées par 1q9 relations ■
