M-HN=5=A4-C, J|-^N^\/B'H-(A-C

ont le même signe ; pour que les équations (8) et (9) représen-* tent deux ellipses^ il faut que les quantités Fj^ F^ soient également de même signe et que, de plus, ce signe soit contraire au précédent. Lqrsque cette condition est remplie^ les axes des

/N deux ellipses ayant le même rapport \/tï» les ellipses sont

homotliétiques*

3® B*— 4AC> o. Les deux lieuj sont du genri^ hyperbple. En faisant les mêmes transformations que dans le cas précé*dent, cm arrive aujc équations (8| et (9) dans lesquelles M et N ont des signes contraires. Lorsque les quantités Fj et F'i sont difiEérentei^ de zéro, chaciine des équatiqns représente une bf^ perbole. Si F^ et F{ ont le même signç, les axç§ ré^ts des deux courbes sont parallèles, et comme le rapport des axes est le même, les courbes sont homothéliques. Lorsque F^ et Fi ont des signes contraires. Tune des hyperboles est semblable à la conjuguée de l'autre. Dans tous les cas, les deux courbes ont leurs asymptotes parallèles.

On conclut de ce qui précède que, lorsque deux équations du second degré ont les coefficients de^ termes du second degré proportionnels, et représentent deux courbes, ces courbes sont homothétiques ; cependant, quand les courbes sont des hyperboles^ il peut arriver que Vune soit honu>théttque à la conjuguée de tautre.

Un système est semblable à un système donné, lorsqu^il est égal à Tun des systèmes homothétiques au système donné.

PROPRIÉTÉS DES FIGURES HOMOTHÉTIQUES

3fT — Puisque les droites OA^ OB^ sont divisées en A et B dansie même rapport^ la droite A'B' est parallèle à AB, et Ton a

AB ^OA^^i^

Ainsi {a droite qui joint deux points A et B du premier système et celle qui joint les deux points homologues A' et W du second système sont parallèles , et dans le rapport constant k.

Soient A, B, C trois points en ligne droite^ les droites A^B^^ A^C^ respectivement parallèles à AB et à AC coïncident; donc^ quamd trois points sont en ligne droite j leurs homologues sont aussi en ligne droite. Il en résulte que la figure homothétique d'une droite est une droite parallèle à la première. Si la première droite passe par le centre de similitude^ les deux droites coïncident. Les droites homothétiques étant parallèles^ on voit que l'angle de deux droites est égal à l'angle des droites homothétiques.

Les cordes qui joignent les points homologues de deux courbes homothétiques^ étant parallèles^ tendent^ lorsque les deux points d'une même courbe se rapprochent indéfiniment^ vers des directions parallèles; on en conclut que les tangentes à deux courbes] homothétiques aux points homologues sont parallèles.

378 — Si deux systèmes sont tels que les droites menées d'un point I aux différents points du premier système et celles menées d^un point F aux différents points du second soient respectivement parallèles et dans un rapport constant k, ces deux systèmes sont homothétiques. En effet, prenons sur FI un point 0

tel que l'on ait j^ = A, les deux rayons OA, OA' sont en ligne

droite et dans le rapport constant k; donc les deux systèmes sont homothétiques et le point 0 est le centre d'honiotbétie.

379 — Deux systèmes homothétiques à un troisième sont homothétiques entre eux.

DE LA SIHIUTUDE. 355

tient onze paramètres arbitraires; on peut même prendre à volonté Fune des cinq fonctions linéaires, puisqu'il reste encore neuf paramètres. Les trois droites a^ = o, a,=o, a,=o sont tangentes à la courbe aux points où elles sont coupées par la droite ^ = o; et les points où ces tangentes sont coupées par la droite y = o appartiennent aussi à la courbe. En prenant ^ à volonté, on aie théorème suivant : si Ton coupe une courbe du troisième degré par une droite quelconque ^ = o, qu'aux trois points d'intersection on mène les tangentes à la courbe, chacune des tangentes coupe la courbe en un nouveau point, et ces trois points sont en ligne droite. En prenant y à volonté, on a cet autre théorème : si Ton coupe une courbe du troisième degré par une droite y = o, que par chacun des points d'intersection on mène des tangentes à la courbe, les points de contact de ces tangentes sont trois à trois en ligne droite.

Supposons que la droite p = o s'éloigne à Finfini, les trois tangentes ol^ = o, a,=o, a, = o auront pour limites les trois asymptotes de la courbe; chacune de ces asymptotes coupe la courbe en un seul point, et ces trois points sont en ligne droite.

On voit que toute équation du quatrième degré peut être mise sous la forme

ttj a, a, a^ — 'A P* ç = o,

ç désignant un polynôme du second degré; car cette équation contient i6 paramètres; on peut même prendre ^ à volonté, puisqu'il reste i4 paramètres. Ainsi, quand on coupe une courbe du quatrième degré par une droite quelconque, qu'aux quatre points d'intersection on mène des tangentes, et qu'on prend les deux autres points où chaque tangente rencontre la courbe, on a huit points situés sur une conique <p = o.

Une courbe du quatrième degré a quatre asymptotes; chacune d'elles coupe la courbe en deux points; les huit points sont sur une conique.