CONDITIONS DE SIMILITUDE DE DEUX FIGURES

S99— Considérons une série de courbes de même espèce, dans la définition desquelles il n'entre qu'un paramètre

34é LlVilE IV, CHAPITRE V.

direclêé, ellei àont mnsi hùmotkiiiquéè iMersêêy ei rétiproquement.

Soient C et C leâ centres des figures (fig. 238), A et A' deux points homologues; jflrenons sur le prolongement de C'A^un poifit Aï tel que C'A^ = C'A', le point Ai appartient aussi à la

seconde figure; or, j^^ = k; donc ==t; puisque les

rayonâ homologuëft CA et GA{ sont dirigés en sens contraire, les deux courbes sont honiothétiques inverses.

11 en résulte qiie ies deux flguteS ont deUl centres de similitude, Tun direct 0 placé sur le prolongement de la ligne des centres, l'autre inverse oii interne CK placé danS l'intervalle CC^

Lorsque trois figures à centre sont homothétiques deux à deux, elles ont trois centres de similitude directe et trois centres de similitude inverse. Les trois centres de similitude directe sont en ligne droite; de même, deux centres de similitude inverse et un centre de similitude directe sont aussi en ligne droite,

584 — Les côtés homologues de deiix polygones homothétiques ayant constamment pour rapport le tiombtë A, leurs périmètres sont dans le même rapport; ainsi le rapport des périmètres de deux polygones homothétiques est égal au rapport de similitude.

Si l'on abaisse de deux sommets homologues de deux triangles homothétiques des perpendiculaires sur les côtés opposés, ces perpendiculaires seront des droites homologues dans les deux systèmes, leur rapport sera égal à A:, et, par suite, le rapport des aires des triangles sera égal à ft*.

En décomposant deux polygones homothétiques en triangles

homotbétiques deux à deux, on Toît que le rapport des aires des figures est encore égal à k-} ainsi h rappùri des aire$ ie deux polygones homoihétiqu€8 iêt égal au carré du rapport de rimililudêé

Les deux théorèmes précédents s'étendent à dés figures planes, terminées par des contours homottiétiques quelconques.

SS!S— EmpLËs. On a vu que l'on obtient toutèë les courbes

homothétiques à une courbe donnée S^ avec iin seul centre de

similitude 0^ pris à Tolontédans son plan. Considérons divers

exemples :

1*^ La courbe S est un cercle. Bî Ton prend le centre du

cercle pour centre de similitude^ la secôtldè

courbe sera un cercle^ dont le l'amen pourra

avoir telle grandeur que l'on voudra.

. 2® La courbe S est une parabole (flg. 289).

La courbe étant rapportée à son axe et à la

tangente au sommet, les coordonnées x et

y à*\in point quelconque M de cette courbe

Fig.239. vérifient l'équation y^=2px. Si l'on prend

le sommet pour centre de similitude et que l'on appelle x'

et y^ les coordonnées du point homotbétique M^ on aura

-y = ^:^ j^ = k, d'où X = kxf, y = ky': la courbe homo-

thétique est représentée par l'équation y'* = -^a;'; c'est une

parabole, dont le paramètre peut avoir telle grandeur que l'on voudr;^ à cause du rapport arbitraire k: on en conclut que imx paraboles quelconqueë iont semblables.

3® La courbe S est Tellipse -; 4* t^ =s= i. Si Ton prend le

centre de la courbe pour centre de similitude, la courbe homotbétique, représentée par l'équation

est une ellipse, dont les axes peuvent avoir des valeurs quelconques proportionnelles à celles des axes de là première

réelles de Téquation (3) sont les abscisses des points communs aux courbes (i) et (2). Cependant, si le système des. équations (i) et (3) était vérifié par une couple de valeurs de la forme a? = a, y = fJ -+- y*^ ^^^^ lequel les quantités a, p, y sont réelles, ces valeurs vérifieraient le système des équations (i) el (2); mais la quantité a ne serait pas Tabscisse d'un point réel commun aux deux courbes. L'exception que nous venons de signaler ne se présente jamais lorsque l'équation (f{x, y)=o est une équation algébrique ne renfermant la variable y qu'au premier degré.

Lorsqu'on veut résoudre une équation f{œ]=ok une seule inconnue, on peut choisir d'une infinité de manières différentes les courbes déterminées par les équations (i) et (2). La seule condition à remplir, c'est que l'élimination de y entre les équations (i) et (2) donne l'équation proposée. Une première combinaison est y=zf{x), y = Oy ce qui revient à considérer les valeurs de l'inconnue comme les abscisses des points de rencontre de la courbe y = f[x) et de l'axe de oî. Cette combinaison est rarement la plus simple. On démontre en algèbre que si l'on élimine une inconnue y entre deux équations algébriques à deux inconnues dont les degrés sont m et n, Téquation en x est généralement du degré mn. Par conséquent, si l'équation proposée est algébrique et que l'on veuille obtenir ses racines par des intersections de courbes algébriques, le produit des degrés des équations des deux courbes devra être égal au degré de Péquation à résoudre. Appliquons celte méthode à la résolution de i'éqOation du quatrième degré.

305— L'équation du quatrième degré se ramène aisément à la forme

(4) x'''^px^-^qx-^r = o;

on peut la considérer comme provenant de l'élimination de y entre les deux équations du second degré

(5) x^ — my = o, (6) m*y*-hpmy-hga;-hr = o,

qui définissent chacune une parabole. L'équation (5) ne renfermant y qu'au premier degré, toutes les racines réelles de

Laissant fixe la courbe S^ transportons la courbe S^ dans le plan^ de manière que Torigine 0 vienne en (V {p, q), et que les axes restent parallèles à leur position primitiTe ; la courbe S^ a pour équation^ par rapport aux axes (ÏX' et (yY^

et, par rapport aux axes fixes OX et OY,

Dans cette nouvelle position, la courbe S' est homothétique à la courbe S ; car les rayons vecteurs menés des points 0 et (V sont parallèles et dans le rapport constant k. L'équation (3) représente donc toutes les courbes bomothétiques à la courbe proposée, quelle que soit la position du centre de similitude.

!n même temps que nous transportons Torigine en (y y faisons tourner les axes de Tangle a; la courbe S' occupera alors une position quelconque dans le plan et sera simplement semblable à la proposée. La courbe S^, rapportée aux axes mobiles CX' et (VT, a pour équation f{ka/, ty')=o; au moven des formules de transformation.

x' = (x — p) cosa H- (y — q) sina, t/=— (a? — p)sina+ (y — q) cosa,

les axes étant supposés rectangulaires, on obtient l'équation de la courbe par rapport aux deux axes fixes OX et OY. Cette équation représente toutes les courbes semblables à la proposée.

3 SS— Comme application, cherchons les conditions pour que deux courbes du second degré

Aic"-hBa;y+Cy*-hDa: + E y-hF=o,

soient bomothétiques. L^équation générale des courbes bomothétiques à la première courbe est (n* 383)

t'4- BJt'a:y + Cky — (B*'q H- 2 A*»p — Dft) a: — (Bft^p -h aCfc'g — Ek)y (A*»p^ -f- B*«pq -4- C^V/^ — DA-p -^ E*? 4- F) = G.

Eo identifiant cette équation avec la seconde, on a

L'élimîiiation des trois paramètres p, q, k, entre ces cinq équationSi donne deux équations de condition; or^ les deux

premières équations T7 = 07 = ?7' '^^ renfermant pas les pa-

ramèires à éliminer, sont précisément les deux équations de condition. Donc, pour que deux courbes du second degré soient homolhétiques, il faut que les coefficients des termes du second degré soient proportionnels.

386 — II reste à examiner si les valeurs des paraniètres p, q, k sont réelles et finies; on évite cette discussion de la manière suivante. Puisque les coefficients des termes du second degré sont proportionnels^ on peut les rendre égaux en multipliant tous les termes de l'une des équations par un facteur convenable; prenons donc les deux équations sous la forme

(4) Ax^-hBxy-hCy^-hî) x-f-E y-+-F =0,

(5) Xx^-i-Bxy^Cy^'+'iyx'hWy + ^^o.

Nous distinguerons plusieurs cas suivant le signe de la quantité B« — 4AC.

1* B* — 4A.C = o. Les deux lieux sont du genre parabole; si ces lieux sont effectivement deux paraboles, ils sont certainement semblables, puisque toutes les paraboles sont semblables; de plus, les axes des deux courbes, ^yant le même coefficient

angulaire ^ » sont parallèles, et, par suite, les courbes sont

homothéliques.

2^ B' — 4AC <o. Les lieux sont du genre ellipse. Si, pour chaque courbe, on transporte les axes parallèlement à euxmêmes au centre de la courbe, les équations (4) et (5) de-

m u similitude:. su

tiennent

(7) Ax*']'Bœy + Cy*'hV\=o.

Le^ ^es d^g courbQSj 0opt le? directions sont déterminées par réquation tanga«=s=- «^^ (a^ i4o)> sont parallèles. Si

L'oD fait tourner les axes des coordonnées de Tangle a, les équations (6) et (7) se réduisent à la forme

(8) Haî«-+-Ny>+Fj=o,

(9) M«'+Nv'-hF4=o.

Les coefficients H et N^ dont les valeurs sont données par les relations

ont le même signe ; pour que les équations (8) et (g) rej^sen-r tent deux ellipses^ il faut que les quantités F^^ F^ soient également de même signe et que, de plus, ce signe soit contraire au précédent. Lorsque cette condition est remplie^ les axes des

/N deux ellipses ayant le même rapport y-n^ les ellipses sont

homothétiques*

3® B*— 4AC > o. Les deux lieux sont du genrq hyperbole. En faisant \&s mêmes transformations que dans le cas précé*dent^ on arrive au|[ équation^ (8) et (9) dans lesquelles M et N ont des signas contraires. Lorsque les quantités F] et F^i sont différentes de zéro^ chaciine des équations représente une by* perbole. SI F, et F^ ont le même signç^ les axç$ ré^te des deux courbes sont parallèles^ et comme le rapport des axes est le même, les courbes sont bomolhéliques. Lorsque F^ et Fi ont des signes contraires. Tune des hyperboles est semblable à la conjuguée de Tautre. Dans tous les cas, les deux courbes ont leurs asymptotes parallèles.

On conclut de ce qui précède que, lorsque deux éqtuitions du second degré ont les coefficients de^ termes du second degré proportionnels y et représentent deux courbes, ces courbes sont homothétiques : cependant, quand les courbes sont des hyperboles, il peut arriver que Vune soit homothétique à la conjuguée de rautre.

Un système est semblable à un système donné, lorsqu'il est égal à Tun des systèmes homothétiques au système donné.

PROPRIÉTÉS DES FIGURES HOMOTHÉTIQUES

Z77 — Puisque les droites OA', OB' sont divisées en A et B dansie même rapport^ la droite A'B' est parallèle à AB, et Ton a

AB OA , A'B'""(yA'""

Ainsi la droite qui joint deux points A et B du premier système et celle qui joint les deux points homologues A' et Bf du second système sont parallèles, et dans le rapport constant k.

Soient A, B, C trois points en ligne droite^ les droites A'B'^ A'C' respectivement parallèles à AB et à AC coïncident; donc, quand trois points sont en ligne droite, leurs homologues sont aussi en ligne droite. Il en résulte que la figure homothétique d'une droite est une droite parallèle à la première. Si la première droite passe par le centre de similitude, les deux droites coïncident. Les droites homothétiques étant parallèles, on voit que l'angle de deux droites est égal à l'angle des droites homothétiques.

Les cordes qui joignent les points homologues de deux courbes homothétiques, étant parallèles, tendent, lorsque les deux points d'une même courbe se rapprochent indéfiniment, vers des directions parallèles; on en conclut que les tangentes à deux courbes] homothétiques aux points homologues sont parallèles.

378 — Si deux systèmes sont tels que les droites menées d'un point I aux différents points du premier système et celles menées d'un point V aux différents points du second soient respectivement parallèles et dans un rapport constant k, ces deux systèmes sont homothétiques. En effet, prenons sur VI un point 0

tel que Ton ait j^ = ky les deux rayons OA, OA' sont en ligne

droite et dans le rapport constant k; donc les deux systèmes sont homothétiques et le point 0 est le centre d'homotbétie.

379 — Deux systèmes homothétiques à un troisième sont homothétiques entre eux.