CHAPITRE I
Des eoordoniiécs»
On détermine la position d^un point dans l'espace au moyen de trois quantités que Ton nomme les coordonnées du point.
400— Soient XOY, YOZ, ZOX (flg. 244) trois plans fixes, qui se coupent deux à deux suivant les droites X^X, Y'Y, Z'Z ; trois
plans mobiles MD^ HE, MF^ paraUèles àces plans flxes^ déterminent par leur intersection un point M de Tespace; la position de chaque plan mobile est déterminée par sa distance au plan fixe auquel il est parallèle^ distance comptée parallèlement à Tintersection des deux autres plans fixes. Les trois distances OD^ OE^ OF^ qui déterminent la position des plans mobiles^ distances affectées du signe + ou du signe —, suivant qu'elles scmt por*-
ir
Fig.S44.
éirecles, elles sont aussi homotkéliques inverses ^ et réciproquement.
Soient C et C les centres des figures (fig. 238), A et A^ deux points homologue^ ; prenons éur le prolongement de C^A'un poirit A{ tel que GA[ = C'A', le point Ai appartient aussi à la
seconde figure; or, j^, = A,- donc —^ = k; puisque les
rayent hômologuëè CA et G k[ sont dirigés en sens contraire, les deux courbes sont honiothétiques inyerses.
Fig. 986.
II en résulte qiie les deux figures ont deux centres de similitude, Tun direct 0 placé sur le prolongement de la ligne des centres, l'autre inverse oii interne CK placé dans l'intervalle
Lorsque trois figures à centre sont homothétiques deux à deux, elles ont trois centres de similitude directe et trois centres de similitude inverse. Les trois centres de similitude directe sont en ligne droite; de même, deux centres de similitude inverse et un centre de similitude directe sont aussi en ligne droite.
âtSii — Les côtés homologues de deiix polygones hotnottiétiques ayant constamment pour rapport le nombre ft, leurs périmètres sont dans le même rapport; ainsi le rapport des périmètres de deux polygones homothéliques est égal au rapport de similitude.
Si Ton abaisse de deux sommets homologues de deux triangles homothétiques des perpendiculaires sur les côtés opposés, ces perpendiculaires seront des droites homologues dans les deux systèmes, leur rapport sera égal à A, et, par suite, le rapport des aires des triangles sera égal à ft*.
En décomposant deux polygones honiolbétiques en triangles
homatfaétiquefi denx à deux, on Toit qud le rapport des aires des figures est encore égal à k-j ainsi h rapport de$ aireê it deuao polygones homothitiqua nî égal au carré du rapport de iimililudêé
Leé deux théorèities précédents s'étendent à dés figures planes^ terminées par des contours homotliétiques quelconques.
S S!S— Exemples. On a ta que l'on obtient touteëlôs courbes
homoihétlques à une courbe donnée S^ avec iin seul centre de
similitude 0^ pris à volonté dans son plan. Considérons divers
exemples :
1* La courbe 8 est un cercle. 8î l'on prend le centre dn
cercle pour centre de similitude^ la seconde courbe sera un cercle^ dont le rayon pourra avoir telle grandeur que l'on voudra.
2° La courbe S est une parabole (flg. 239).
La courbe étant rapportée à son axe et à la
tangente au sommet^ les coordonnées x et
y d'un point quelconque M de cette courbe
Fig.239. vérifient l'équation y'=2px. Si l'on prend
le sommet poar centre de similitude et que l'on appelle a/
et y^ les coordonnées du point bomotbétique M^ on aura
pz=yj=. ™^ = k, d'où X = kx^, y = ky^; la courbe homo-
thétîque est représentée par l'équation ff^ = -^x'y c'est une
parabole^ dont le paramètre peut avoir telle grandeur que l'on Youdr(^ à cause du rapport arbitraire k: on en conclut que deux paraboles quelconques sont semblables,
3* La courbe S est Fellipse -; 4* fc = i. Si l'on prend le
centre de la courbe pour cetitre de similitude^ la courbe bomotbétique^ représentée par l'équation
est une ellipse, dont les axes peuvent avoir des valeurs quelconques proportionnelles à celles des axes de la première
ellipse. On en conclut que detix ellipses sont semblables lorsque leurs axes sont proportionnels.
Le même théorème a lieu pour Phyperbole.
4* La courbe S est la spirale logarithmique p=ae"^. Quand on prend le pôle pour centre de similitude^ les courbes homo-
thétiques ont pour équation p = — v— ; si Ton pose & = «■**,
cette équation devient p = ac**^"*-*^; elle représente la spirale proposée^ que Ton a fait tourner de Tangle a autour du pôle. Il en résulte que la seule courbe semblable à une spirale logarithmique est cette spirale elle-même; à un premier point M de la courbe correspond un autre point M^ de la même courbe^ et Ton peut prendre ce point M^ à yolonté^ à cause du nombre arbitraire k.
