ÉQUATION DES COURBES HOHOTHÉTIQUES

383— Soit

réquation d'une courbe S. Prenons

l'origine pour centre de similitude

r et construisons avec le rapport k

une courbe S^ bomothétique à la

première. Si Ton désigne par x et

y les coordonnées d'un point quel-

Fig. S40. conque M de la première courbe,

par x' et y^ celles du point homologue M' de la seconde, les

triangles semblables OPM, (VFM' donnent

si Ton substitue dans Téquation (i), on a Téquation

qui représente toutes les courbes homolhétiquefs à la courbe proposée et ayant l'origine pour centre d'homothétie. Dans cette équation, on donnera à k une valeur positive lorsque Thomothétie sera directe, une valeur négative lorsque l'homothétie sera inverse.

Laissant fixe la courbe S^ transportons la courbe S^ dans le plan, de manière que Torigine 0 vienne en (K (p, q), et que les axes restent parallèles à leur position primitiye; la courbe S' a pour équation, par rapport aux axes (VX' et (yY^

et, par rapport aux axes fixes OX et OY,

Dans cette nouvelle position, la courbe S' est homothéttque à la courbe S ; car les rayons vecteurs menés des points 0 et (V sont parallèles et dans le rapport constant k, L^équation (3) représente donc toutes les courbes homothétiques à la courbe proposée, quelle que soit la position du centre de similitude.

384 — En même temps que nous transportons Torigine en (y, faisons tourner les axes de l'angle a; la courbe S' occupera alors une position quelconque dans le plan et sera simplement semblable à la proposée. La courbe S^, rapportée aux axes mobiles CX^ et CY', a pour équation f{ka/, ky')=o; au moyen des formules de transformation,

ocl = (x — p) cosa -h (y — q) sina, y' = — (a; — p) si n a H- (y — g) cos a,

les axes étant supposés rectangulaires, on obtient l'équation de la courbe par rapport aux deux axes fixes OX et OY. Cette équation représente toutes les courbes semblables à la proposée.

3SS«— Comme application, cherchons les conditions pour que deux courbes du second degré

A aî*H-Ba?yH-C y«-hDaî-hE y-hF =o, A'a;*-i-B'a;y-hC'y -l-D'y+E'y'+F=o,

soient homothétiques. L'équation générale des courbes homothétiques à la première courbe est (n^* 383)

r'-h Bft'ajy -4- CkY — (Bft'ç -h 2 AA:»p — Dft) ar — (Bft'p 4- lœq — EA:)y M- (Aft*p* -f- B*>q -h CfcV/2 — D A-p -^ Eftqf -f- F) = 0.

Eq identifiant cette équation avec la seconde, on a

A B C -B«-aAp+^ Bp-aC«H-|

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L'élimination des trois paramètres p, q, k, entre ces cinq équations, dopiia deux équations de condition; or^ les deux